In der Mathematik, einem autonomen System oder autonomen Differenzialgleichung ist ein System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen, das von der unabhängigen Variable nicht ausführlich abhängt. Wenn die Variable die Zeit ist, werden sie auch Zeit-Invariant System genannt.

Viele Gesetze in der Physik, wo, wie man gewöhnlich annimmt, die unabhängige Variable Zeit ist, werden als autonome Systeme ausgedrückt, weil es die Naturgesetze angenommen wird, die halten, jetzt sind zu denjenigen für jeden Punkt in der Vergangenheit oder Zukunft identisch.

Autonome Systeme sind nah mit dynamischen Systemen verbunden. Jedes autonome System kann in ein dynamisches System und mit sehr schwachen Annahmen umgestaltet werden, ein dynamisches System kann in ein autonomes System umgestaltet werden.

Definition

Ein autonomes System ist ein System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen der Form

:

wo x Werte im n-dimensional Euklidischen Raum nimmt und t gewöhnlich Zeit ist.

Es ist von Systemen von Differenzialgleichungen der Form bemerkenswert

:

in dem das Gesetz, die Rate der Bewegung einer Partikel regelnd, nicht nur von der Position der Partikel, sondern auch rechtzeitig abhängt; solche Systeme sind nicht autonom.

Eigenschaften

Lassen Sie, eine einzigartige Lösung des zu sein

Anfangswert-Problem für ein autonomes System

:.

Dann löst

:.

Tatsächlich Bezeichnung haben wir

und, so

:

f (x_1 (s)) =f (x_2 (t)) </Mathematik>.

Für die anfängliche Bedingung ist die Überprüfung, trivial

:.

Beispiel

Die Gleichung, ist seit der unabhängigen Variable, autonom

lassen Sie uns es nennen, in der Gleichung nicht ausführlich erscheinen.

Um das Steigungsfeld und isocline für diese Gleichung zu planen, kann man den folgenden verwenden

Code im GNU Octave/MATLAB

Ffun = (X, Y) (2-y).*Y; %-Funktion f (x, y) = (2-y) y

[X, Y] =meshgrid (0:.2:6,-1:.2:3); % wählt die Anschlag-Größen

DY=Ffun (X, Y); DX=ones (Größe (DY)); % erzeugt die Anschlag-Werte

Zittern (X, Y, DX, DY); %-Anschlag das Richtungsfeld

halten Sie fest;

Kontur (X, Y, DY, [0 2]); %add der isoclines

Titel ('Steigungsfeld und isoclines für f (x, y) = (2-y) y')

</Quelle>

Man kann vom Anschlag bemerken, dass die Funktion, natürlich,-invariant, und so er die Gestalt der Lösung, d. h. für jede Verschiebung ist.

Das Lösen der Gleichung symbolisch in MATLAB, durch das Laufen

y=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'x'); % löst die Gleichung symbolisch

</Quelle>

wir erhalten zwei Gleichgewicht-Lösungen, und,

und eine dritte Lösung, die eine unbekannte Konstante, einschließt

y (3) =-2 / (exp (C3 - 2*x) - 1)

</Quelle>

Piking einige spezifische Werte für die anfängliche Bedingung, wir können den Anschlag von mehreren Lösungen hinzufügen

y1=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (1) =1', 'x'); % behebt das Anfangswert-Problem symbolisch

y2=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (2) =1', 'x'); % für verschiedene anfängliche Bedingungen

y3=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (3) =1', 'x'); y4=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (1) =3', 'x');

y5=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (2) =3', 'x'); y6=dsolve ('Dy = (2-y) *y', 'y (3) =3', 'x');

ezplot (y1, [0 6]); ezplot (y2, [0 6]); %-Anschlag die Lösungen

ezplot (y3, [0 6]); ezplot (y4, [0 6]); ezplot (y5, [0 6]); ezplot (y6, [0 6]);

Titel ('Steigungsfeld, isoclines und Lösungen für f (x, y) = (2-y) y')

</Quelle>

Qualitative Analyse

Autonome Systeme können qualitativ mit dem Phase-Raum analysiert werden; im Ein-Variable-Fall ist das die Phase-Linie.

Lösungstechniken

Die folgenden Techniken gelten für eindimensionale autonome Differenzialgleichungen. Jede eindimensionale Gleichung der Ordnung ist zu - dimensionales System der ersten Ordnung (wie beschrieben, im Gewöhnlichen Differenzial equation#Reduction zu einem ersten Ordnungssystem), aber nicht notwendigerweise umgekehrt gleichwertig.

Die erste Ordnung

Die erste Ordnung autonome Gleichung

:ist

trennbar, so kann es durch das Umordnen davon in die integrierte Form leicht gelöst werden

:

Die zweite Ordnung

Die zweite Ordnung autonome Gleichung

:ist

schwieriger, aber es kann durch das Einführen der neuen Variable gelöst werden

:

und die zweite Ableitung (über die Kettenregel) als ausdrückend

:

so dass die ursprüngliche Gleichung wird

:

der eine erste Ordnungsgleichung ist, die keine Verweisung auf die unabhängige Variable enthält, und wenn gelöst, als eine Funktion dessen zur Verfügung stellt. Dann, die Definition zurückrufend:

:

der eine implizite Lösung ist.

Spezieller Fall: x

Der spezielle Fall, wo von unabhängig

ist:

Vorteile getrennter Behandlung. Diese Typen von Gleichungen sind in der klassischen Mechanik sehr üblich, weil sie immer Systeme von Hamiltonian sind.

Die Idee ist, von der Identität Gebrauch zu machen (Abteilung durch Nullprobleme verriegelnd)

,:

der aus der Kettenregel folgt. Bemerken Sie beiseite dann, dass, indem man beide Seiten einer ersten Ordnung autonomes System umkehrt, man sofort integrieren kann in Bezug auf:

:

der eine andere Weise ist, die Trennung der Variable-Technik anzusehen. Eine natürliche Frage ist dann: Können wir etwas wie das mit höheren Ordnungsgleichungen tun? Die Antwort ist ja für die zweiten Ordnungsgleichungen, aber es gibt mehr Arbeit, um zu tun. Die zweite Ableitung muss als eine Ableitung in Bezug auf ausgedrückt werden statt:

:\begin {richten }\aus

\frac {d^2 x} {d t^2} &= \frac {d} {d t }\\ist (\frac {d x} {d t }\\Recht) = abgereist

\frac {d} {d x }\\ist (\frac {d x} {d t }\\Recht) \frac {d x} {d t} = abgereist

\frac {d} {d x }\\hat (\left (\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-1 }\\Recht) \left (\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-1} = \\verlassen

& = - \left (\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-2} \frac {d^2 t} {d x^2} \left (\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-1} =

- \left (\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-3} \frac {d^2 t} {d x^2} = \\

& = \frac {d} {d x }\\verlassen (\frac {1} {haben 2 }\\(\frac {d t} {d x }\\Recht) ^ {-2 }\\Recht) verlassen

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wiederzubetonen: Was vollbracht worden ist, ist, dass die zweite Ableitung darin als eine Ableitung darin ausgedrückt worden ist. Die ursprüngliche zweite Ordnungsgleichung kann dann schließlich integriert werden:

:::::

Das ist eine implizite Lösung, und darüber hinaus ist das größte potenzielle Problem Unfähigkeit, die Integrale zu vereinfachen, der Schwierigkeit oder Unmöglichkeit im Auswerten der Integrationskonstanten einbezieht.

Spezieller Fall: x

Mit der obengenannten Mentalität können wir die Technik zur allgemeineren Gleichung erweitern

:

wo ein Parameter ist, der zwei nicht gleich ist. Das wird arbeiten, da die zweite Ableitung in einer Form geschrieben werden kann, die eine Macht dessen einschließt. Das Neuschreiben der zweiten Ableitung, des Umordnens und des Ausdrückens der linken Seite als eine Ableitung:

:::::

Das Recht wird +/-tragen, wenn gleich ist. Die Behandlung muss wenn verschieden sein:

::::

Höhere Ordnungen

Es gibt keine analoge Methode, um Drittel - oder höherwertige autonome Gleichungen zu lösen. Solche Gleichungen können nur genau gelöst werden, wenn sie zufällig ein anderes Vereinfachungseigentum, zum Beispiel Linearität oder Abhängigkeit der richtigen Seite der Gleichung auf der abhängigen Variable nur (d. h., nicht seine Ableitungen) haben. Das sollte nicht überraschend sein, denkend, dass nichtlineare autonome Systeme in drei Dimensionen aufrichtig chaotisches Verhalten wie der Lorenz attractor und Rössler attractor erzeugen können.

Mit dieser Mentalität ist es auch nicht zu überraschend, dass allgemeine nichtautonome Gleichungen der zweiten Ordnung ausführlich nicht gelöst werden können, da diese auch chaotisch sein können (ein Beispiel davon ist ein regelmäßig erzwungenes Pendel).

Siehe auch

• Zeit-Invariant System