In der Topologie ist ein Raum von Urysohn oder T Raum, ein topologischer Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden können. Völlig ist Raum von Hausdorff, oder funktionell Raum von Hausdorff, ein topologischer Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch eine dauernde Funktion getrennt werden können. Diese Bedingungen sind Trennungsaxiome, die etwas stärker sind als das vertrautere Axiom von Hausdorff T.

Definitionen

Nehmen Sie an, dass X ein topologischer Raum ist. Lassen Sie x und y Punkte in X sein.

• Wir sagen, dass x und y durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden können, wenn dort eine geschlossene Nachbarschaft U von x und einer geschlossenen Nachbarschaft V von solchen y besteht, dass U und V (U  V = ) zusammenhanglos sind. (Bemerken Sie, dass eine "geschlossene Nachbarschaft von x" ein geschlossener Satz ist, der einen offenen Satz enthält, der x. enthält)
• Wir sagen, dass x und y durch eine Funktion getrennt werden können, wenn dort eine dauernde Funktion f besteht: X  [0,1] (der Einheitszwischenraum) mit f (x) = 0 und f (y) = 1.

Ein Urysohn Raum oder T Raum, ist ein Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden können.

Völlig ist Raum von Hausdorff, oder funktionell Raum von Hausdorff, ein Raum, in dem irgendwelche zwei verschiedenen Punkte durch eine Funktion getrennt werden können.

Das Namengeben der Vereinbarung

Die Studie von Trennungsaxiomen ist für Konflikte mit dem Namengeben der verwendeten Vereinbarung notorisch. Die in diesem Artikel verwendeten Definitionen sind diejenigen, die von Willard (1970) gegeben sind, und sind die moderneren Definitionen. Steen und Seebach (1970) und verschiedene andere Autoren kehren die Definition von völlig Räumen von Hausdorff und Räumen von Urysohn um. Leser von Lehrbüchern in der Topologie werden gewiss die vom Autor verwendeten Definitionen überprüfen müssen. Sieh Geschichte der Trennungsaxiome für mehr auf diesem Problem.

Beziehung zu anderen Trennungsaxiomen

Es ist eine leichte Übung, um zu zeigen, dass irgendwelche zwei Punkte, die durch eine Funktion getrennt werden können, durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden können. Wenn sie durch die geschlossene Nachbarschaft dann klar getrennt werden können, können sie durch die Nachbarschaft getrennt werden. Hieraus folgt dass jeder völlig Raum von Hausdorff Urysohn ist und jeder Raum von Urysohn Hausdorff ist.

Man kann auch zeigen, dass jeder regelmäßige Raum von Hausdorff Urysohn ist und jeder Raum von Tychonoff (=completely regelmäßiger Raum von Hausdorff) völlig Hausdorff ist. In der Zusammenfassung haben wir die folgenden Implikationen:

Man kann Gegenbeispiele finden, dass keine dieser Implikationen Rückseite zeigend.

Beispiele

Die cocountable Erweiterungstopologie ist die Topologie auf der echten Linie, die von der Vereinigung der üblichen Euklidischen Topologie und der cocountable Topologie erzeugt ist. Sätze sind in dieser Topologie offen, wenn, und nur wenn sie der Form U \sind, wo U in der Euklidischen Topologie und dem A offen ist, zählbar ist. Dieser Raum ist völlig Hausdorff und Urysohn, aber nicht regelmäßig (und so nicht Tychonoff).

Es gibt dunkle Beispiele von Räumen, die Hausdorff, aber nicht Urysohn und Räume sind, die Urysohn, aber nicht völlig Hausdorff oder regelmäßiger Hausdorff sind. Weil Details Steen und Seebach sehen.

Referenzen

• Stephen Willard, Allgemeine Topologie, Addison-Wesley, 1970. Nachgedruckt durch Veröffentlichungen von Dover, New York, 2004. Internationale Standardbuchnummer 0-486-43479-6 (Ausgabe von Dover).