In der Berechenbarkeitstheorie und rechenbetonten Kompliziertheitstheorie ist ein Entscheidungsproblem eine Frage in einem formellen System mit einer Yes-No-Antwort abhängig von den Werten einiger Eingangsrahmen. Zum Beispiel tut das Problem "gegeben zwei Nummern x und y, x gleichmäßig teilen y?" ist ein Entscheidungsproblem. Die Antwort kann entweder 'ja' oder 'nein' sein, und hängt von den Werten von x und y ab.

Entscheidungsprobleme erscheinen normalerweise in mathematischen Fragen der Entscheidbarkeit, d. h. der Frage der Existenz einer wirksamen Methode, die Existenz von einem Gegenstand oder seiner Mitgliedschaft in einem Satz zu bestimmen; viele der wichtigen Probleme in der Mathematik sind unentscheidbar.

Entscheidungsprobleme sind nah verbunden, um Probleme zu fungieren, die Antworten haben können, die komplizierter sind als ein einfacher 'ja' oder 'nein'. Ein entsprechendes Funktionsproblem wird zwei Nummern x und y "gegeben, was ist durch y geteilter x?". Sie sind auch mit Optimierungsproblemen verbunden, die mit Entdeckung der besten Antwort auf ein besonderes Problem beschäftigt sind.

Eine Methode, für ein in der Form eines Algorithmus gegebenes Entscheidungsproblem zu beheben, wird ein Entscheidungsverfahren für dieses Problem genannt. Ein Entscheidungsverfahren für das Entscheidungsproblem "gegeben zwei Nummern x und y, tut x gleichmäßig teilen y?" würde die Schritte geben, um zu bestimmen, ob x gleichmäßig y, gegeben x und y teilt. Ein solcher Algorithmus ist lange Abteilung, die vielen Schulkindern unterrichtet ist. Wenn der Rest Null ist, ist die erzeugte Antwort 'ja', sonst ist es 'nein'. Ein Entscheidungsproblem, das durch einen Algorithmus wie dieses Beispiel gelöst werden kann, wird entscheidbar genannt.

Das Feld der rechenbetonten Kompliziertheit kategorisiert entscheidbare Entscheidungsprobleme dadurch, wie schwierig sie lösen sollen. "Schwierig", in diesem Sinn, wird in Bezug auf die rechenbetonten Mittel beschrieben, die durch den effizientesten Algorithmus für ein bestimmtes Problem erforderlich sind. Das Feld der recursion Theorie kategorisiert inzwischen unentscheidbare Entscheidungsprobleme durch den Grad von Turing, der ein Maß der jeder Lösung innewohnenden Nichtberechenbarkeit ist.

Die Forschung in der Berechenbarkeitstheorie hat sich normalerweise auf Entscheidungsprobleme konzentriert. Wie erklärt, in der Abteilungsgleichwertigkeit mit Funktionsproblemen unten gibt es keinen Verlust der Allgemeinheit.

Definition

Ein Entscheidungsproblem ist jede willkürliche yes-no Frage auf einem unendlichen Satz von Eingängen. Wegen dessen ist es traditionell, das Entscheidungsproblem gleichwertig als zu definieren: Der Satz von Eingängen, für die das Problem ja zurückgibt.

Diese Eingänge können natürliche Zahlen sein, aber können auch Werte einer anderen Art wie Schnuren über das binäre Alphabet {0,1} oder über einen anderen begrenzten Satz von Symbolen sein. Die Teilmenge von Schnuren, für die das Problem "ja" zurückgibt, ist eine formelle Sprache, und häufig werden Entscheidungsprobleme auf diese Weise als formelle Sprachen definiert.

Wechselweise, mit einer Verschlüsselung wie Gödel numberings, kann jede Schnur als eine natürliche Zahl verschlüsselt werden, über die ein Entscheidungsproblem als eine Teilmenge der natürlichen Zahlen definiert werden kann.

Beispiele

Ein klassisches Beispiel eines entscheidbaren Entscheidungsproblems ist der Satz von Primzahlen. Es ist möglich effektiv zu entscheiden, ob eine gegebene natürliche Zahl durch die Prüfung jedes möglichen nichttrivialen Faktors erst ist. Obwohl viel effizientere Methoden der Primality-Prüfung bekannt sind, ist die Existenz jeder wirksamen Methode genug, um Entscheidbarkeit zu gründen.

Entscheidbarkeit

Ein Entscheidungsproblem A wird entscheidbar oder effektiv lösbar genannt, wenn A ein rekursiver Satz ist. Ein Problem wird teilweise entscheidbar, halbentscheidbar, lösbar, oder nachweisbar genannt, wenn A rekursiv enumerable Satz ist. Probleme, die nicht entscheidbar sind, werden unentscheidbar genannt.

Das stockende Problem ist ein wichtiges unentscheidbares Entscheidungsproblem; für mehr Beispiele, sieh Liste von unentscheidbaren Problemen.

Ganze Probleme

Entscheidungsprobleme können gemäß vieleinem reducibility bestellt werden und haben die ausführbaren Verminderungen wie die Polynomisch-maligen Verminderungen verbunden. Wie man sagt, ist ein Entscheidungsproblem P für eine Reihe von Entscheidungsproblemen S abgeschlossen, wenn P ein Mitglied von S ist und jedes Problem in S auf P reduziert werden kann. Ganze Entscheidungsprobleme werden in der rechenbetonten Kompliziertheit verwendet, um Kompliziertheitsklassen von Entscheidungsproblemen zu charakterisieren. Zum Beispiel ist das Problem von Boolean satisfiability für die Klasse NP von Entscheidungsproblemen unter polynomisch-maligem reducibility abgeschlossen.

Geschichte

Der Entscheidungsproblem, Deutsch für "das Entscheidungsproblem", wird David Hilbert zugeschrieben: "Auf [der] 1928-Konferenz hat Hilbert seine Fragen ziemlich genau gemacht. Erstens, war abgeschlossene Mathematik... Zweitens, war konsequente Mathematik... Und drittens war Mathematik entscheidbar? Dadurch hat er vorgehabt, hat wirklich dort eine bestimmte Methode bestanden, die gekonnt hat, im Prinzip auf jede Behauptung angewandt werden, und die, wie man versicherte, eine richtige Entscheidung darüber erzeugt hat, ob diese Behauptung wahr war" (Hodges, p. 91). Hilbert hat geglaubt, dass "in der Mathematik es keine ignorabimus' gibt (Hodges, p. 91ff) Bedeutung 'gibt von ihm keine Grenze dazu, was bekannt sein kann'. Sieh David Hilbert und Stockendes Problem für mehr.

Gleichwertigkeit mit Funktionsproblemen

Ein Funktionsproblem besteht aus einer teilweisen Funktion f; das informelle "Problem" ist, die Werte von f auf den Eingängen zu schätzen, für die es definiert wird.

Jedes Funktionsproblem kann in ein Entscheidungsproblem verwandelt werden; das Entscheidungsproblem ist gerade der Graph der verbundenen Funktion. (Der Graph einer Funktion f ist der Satz von Paaren (x, y) solch dass f (x) = y.), Wenn dieses Entscheidungsproblem dann effektiv lösbar war, würde das Funktionsproblem ebenso sein. Diese Verminderung respektiert rechenbetonte Kompliziertheit jedoch nicht. Zum Beispiel ist es für den Graphen einer Funktion möglich, in der polynomischen Zeit entscheidbar zu sein (in welchem Fall Laufzeit als eine Funktion des Paares (x, y)) geschätzt wird, wenn die Funktion in der polynomischen Zeit nicht berechenbar ist (in welchem Fall Laufzeit als eine Funktion von x allein geschätzt wird). Die Funktion f (x) = 2 hat dieses Eigentum.

Jedes Entscheidungsproblem kann ins Funktionsproblem umgewandelt werden, die charakteristische Funktion des zum Entscheidungsproblem vereinigten Satzes zu schätzen. Wenn diese Funktion dann berechenbar ist, ist das verbundene Entscheidungsproblem entscheidbar. Jedoch ist diese Verminderung liberaler als die Standardverminderung, die in der rechenbetonten Kompliziertheit verwendet ist (manchmal hat polynomisch-malig vieleine Verminderung genannt); zum Beispiel ist die Kompliziertheit der charakteristischen Funktionen eines NP-complete Problems und seiner co-NP-complete Ergänzung genau dasselbe, wenn auch die zu Grunde liegenden Entscheidungsprobleme gleichwertig in einigen typischen Modellen der Berechnung nicht betrachtet werden dürfen.

Praktische Entscheidung

Praktische Entscheidungsverfahren für Klassen von logischen Formeln zu haben, ist von beträchtlichem Interesse für die Programm-Überprüfung und Stromkreis-Überprüfung. Reine Boolean logische Formeln werden gewöhnlich mit GESESSEN LÖSENDEN auf dem DPLL Algorithmus gestützten Techniken entschieden. Verbindende Formeln über die geradlinige echte oder vernünftige Arithmetik können mit dem Simplexalgorithmus entschieden werden, Formeln in der geradlinigen Arithmetik der ganzen Zahl (Arithmetik von Presburger) können mit dem Algorithmus von Cooper oder dem Omega-Test von William Pugh entschieden werden. Formeln mit Ablehnungen, Verbindungen und Trennungen verbinden die Schwierigkeiten von satisfiability, der mit dieser der Entscheidung von Verbindungen prüft; sie werden allgemein heutzutage mit dem SMT-Lösen der Technik entschieden, die GESESSEN LÖSENDEN mit Entscheidungsverfahren für Verbindungen und Fortpflanzungstechniken verbinden. Echte polynomische Arithmetik, auch bekannt als die Theorie von echten geschlossenen Feldern, sind zum Beispiel mit der Zylindrischen algebraischen Zergliederung entscheidbar; leider ist die Kompliziertheit dieses Algorithmus für den grössten Teil praktischen Gebrauches übermäßig.

Eine wissenschaftliche Hauptkonferenz in diesem Feld ist CAV.

Siehe auch

• GANZER (Kompliziertheit)
• Rechenbetontes Problem
• Entscheidbarkeit (Logik) - für das Problem des Entscheidens, ob eine Formel eine Folge einer logischen Theorie ist.
• Alternativfrage
• Optimierungsproblem
• Suchen Sie Problem
• Das Aufzählen des Problems (Kompliziertheit)
• Funktionsproblem
• Wortproblem (Mathematik)
• Hanika, Jiri. Suchen Sie Probleme und begrenzte Arithmetik. Doktorarbeit, Charles University, Prag.

• Hodges, A., Alan Turing: Das Mysterium, Simon und Schuster, New York. Vgl Kapitel "Der Geist der Wahrheit" für noch etwas Geschichte, die zur Arbeit von Turing geführt hat.

:: Hodges bringt in einer Lebensbeschreibung von David Hilbert Verweise an: Constance Reid, Hilbert (George Allen & Unwin; Springer-Verlag, 1970). Es gibt anscheinend neuere Ausgaben.

• Kozen, D.C. (1997), Automaten und Berechenbarkeit, Springer.
• Hartley Rogers der Jüngere. Die Theorie von Rekursiven Funktionen und Wirksamer Berechenbarkeit, MIT Presse, internationaler Standardbuchnummer 0-262-68052-1 (Paperback), internationale Standardbuchnummer 0-07-053522-1
• Sipser, M. (1996), Einführung in die Theorie der Berechnung, PWS Publishing Co.
• Robert I. Soare (1987), Rekursiv Enumerable Sätze und Grade, Springer-Verlag, internationale Standardbuchnummer 0-387-15299-7

Wirksame Entscheidung

• Daniel Kroening & Ofer Strichman, Entscheidungsverfahren, Springer, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-74104-6
• Aaron Bradley & Zohar Manna, Die Rechnung der Berechnung, des Springers, der internationalen Standardbuchnummer 978-3-540-74112-1