In der Philosophie und Logik, dem Lügner-Paradox oder dem Paradox des Lügners (pseudomenon in Altem Griechisch), ist die Behauptung "dieser Satz ist falsch." Versuchend, dieser Behauptung zuzuteilen ein klassischer binärer Wahrheitswert führt zu einem Widerspruch (sieh Paradox).

Wenn "dieser Satz falsch ist", ist wahr, dann ist der Satz falsch, der der Reihe nach bedeuten würde, dass es wirklich wahr ist, aber das würde bedeuten, dass es und so weiter ad infinitum falsch ist.

Ähnlich, wenn "dieser Satz falsch ist", ist falsch, dann ist der Satz wahr, der der Reihe nach bedeuten würde, dass es wirklich falsch ist, aber das würde bedeuten, dass es und so weiter ad infinitum wahr ist.

Geschichte

Das Paradox von Epimenides (um 600 v. Chr.) ist als ein Beispiel des Lügner-Paradoxes angedeutet worden, aber sie sind nicht logisch gleichwertig. Der halbmythische Hellseher Epimenides, Cretan, hat wie verlautet festgestellt, dass "Die Cretans immer Lügner sind." Jedoch kann die Behauptung von Epimenides, dass alle Cretans Lügner sind, als falsch aufgelöst werden, vorausgesetzt, dass er von mindestens einem anderem Cretan weiß, der nicht lügt.

Die älteste bekannte Version des wirklichen Lügner-Paradoxes wird dem griechischen Philosophen Eubulides von Miletus zugeschrieben, der im 4. Jahrhundert v. Chr. gelebt hat. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass er von den Wörtern von Epimenides gewusst hat, selbst wenn sie als ein Paradox beabsichtigt waren. Eubulides hat wie verlautet gefragt, "Ein Mann sagt, dass er lügt. Ist, was er wahr oder falsch sagt?"

Das Paradox wurde einmal von St. Jerome in einer Predigt besprochen:

In der frühen islamischen Tradition wurde Lügner-Paradox seit mindestens 5 Jahrhunderten besprochen, die vom Ende des 9. Jahrhunderts anscheinend anfangen, ohne unter Einfluss jeder anderen Tradition zu sein. Naīr al-Dīn al -  ūsī könnte der erste Logiker gewesen sein, um das Lügner-Paradox als Selbstverweisungs-zu identifizieren.

Erklärung des Paradoxes und der Varianten

Das Problem des Lügner-Paradoxes besteht darin, dass es scheint zu zeigen, dass der verbreitete Glaube über die Wahrheit und Unehrlichkeit wirklich zu einem Widerspruch führt. Sätze können gebaut werden, der ein Wahrheitswert nicht durchweg zugeteilt werden kann, wenn auch sie völlig gemäß der Grammatik und den semantischen Regeln sind.

Die einfachste Version des Paradoxes ist der Satz:

Wenn (A) wahr ist, dann "Ist diese Behauptung falsch" ist wahr. Deshalb muss (A) falsch sein. Die Hypothese, die (A) wahr ist, führt zum Beschluss, dass (A), ein Widerspruch falsch ist.

Wenn (A) falsch ist, dann "Ist diese Behauptung falsch" ist falsch. Deshalb muss (A) wahr sein. Die Hypothese, die (A) falsch ist, führt zum Beschluss, dass (A), ein anderer Widerspruch wahr ist. Jeder Weg, (A) ist sowohl wahr als auch falsch, der ein Paradox ist.

Jedoch, dass, wie man zeigen kann, der Lügner-Satz wahr ist, wenn es falsch und falsch ist, wenn es wahr ist, hat einige dazu gebracht zu beschließen, dass es "weder wahr noch falsch ist". Diese Antwort auf das Paradox, ist tatsächlich, die Verwerfung des Anspruchs, dass jede Behauptung entweder wahr oder, auch bekannt als der Grundsatz von bivalence, ein mit dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte verbundenes Konzept falsch sein muss.

Der Vorschlag, dass die Behauptung weder wahr ist noch falsche, hat die folgende, gestärkte Version des Paradoxes verursacht:

Wenn (B) weder wahr noch falsch ist, dann muss es nicht wahr sein. Da das das ist, welchen (B) selbst festsetzt, bedeutet es, dass (B) wahr sein muss. Seitdem am Anfang (B) nicht wahr war und jetzt wahr ist, entsteht ein anderes Paradox.

Eine andere Reaktion zum Paradox von (A) soll postulieren, wie Priester von Graham hat, dass die Behauptung sowohl wahr als auch falsch ist. Dennoch ist sogar die Analyse des Priesters gegen die folgende Version des Lügners empfindlich:

Wenn (C) sowohl wahr als auch falsch ist, dann ist (C) nur falsch. Aber dann ist es nicht wahr. Seitdem am Anfang (C) wahr war und jetzt nicht wahr ist, ist es ein Paradox.

Es gibt auch Mehrsatz-Versionen des Lügner-Paradoxes. Der folgende ist die Zwei-Sätze-Version:

Nehmen Sie (D1) an ist wahr. Dann ist (D2) wahr. Das würde bedeuten, dass (D1) falsch ist. Deshalb ist (D1) sowohl wahr als auch falsch.

Nehmen Sie (D1) an ist falsch. Dann ist (D2) falsch. Das würde bedeuten, dass (D1) wahr ist. So ist (D1) sowohl wahr als auch falsch. Auf jede Weise ist (D1) sowohl wahr als auch - dasselbe Paradox wie (A) oben falsch.

Die Mehrsatz-Version des Lügner-Paradoxes verallgemeinert zu jeder kreisförmigen Folge solcher Behauptungen (worin die letzte Behauptung die Wahrheit/Unehrlichkeit der ersten Behauptung behauptet), vorausgesetzt dass es eine ungerade Zahl von Behauptungen gibt, die die Unehrlichkeit ihres Nachfolgers behaupten; der folgende ist eine Drei-Sätze-Version mit jeder Behauptung, die Unehrlichkeit seines Nachfolgers behauptend:

Nehmen Sie (E1) an ist wahr. Dann ist (E2) falsch, was (E3) bedeutet, ist wahr, und folglich (E1) ist falsch, zu einem Widerspruch führend.

Nehmen Sie (E1) an ist falsch. Dann ist (E2) wahr, was (E3) bedeutet, ist falsch, und folglich (E1) ist wahr. Auf jede Weise ist (E1) sowohl wahr als auch - dasselbe Paradox wie mit (A) und (D1) falsch.

Mögliche Entschlossenheiten

Alfred Tarski

Alfred Tarski hat das Paradox als das Entstehen nur auf Sprachen diagnostiziert, die "semantisch geschlossen werden", durch den er eine Sprache vorgehabt hat, auf der es für einen Satz möglich ist, Wahrheit (oder Lüge) von einem anderen Satz auf derselben Sprache (oder sogar sich) zu behaupten. Um inneren Widerspruch zu vermeiden, ist es notwendig, wenn man Wahrheitswerte bespricht, um sich Niveaus von Sprachen vorzustellen, von denen jede Wahrheit (oder Lüge) nur Sprachen auf niedrigerer Ebene behaupten kann. Also, wenn sich ein Satz auf den Wahrheitswert von einem anderen bezieht, ist es semantisch höher. Der Satz, der darauf verwiesen ist, ist ein Teil der "Gegenstand-Sprache", während, wie man betrachtet, der sich beziehende Satz ein Teil einer "Metasprache" in Bezug auf die Gegenstand-Sprache ist. Es ist für Sätze auf "Sprachen" höher auf der semantischen Hierarchie legitim, sich auf Sätze tiefer in der "Sprach"-Hierarchie, aber nicht dem anderen Weg ringsherum zu beziehen. Das hält ein System davon ab, Selbstverweisungs-zu werden.

Arthur Prior

Arthur Prior behauptet, dass es nichts Paradoxes über das Lügner-Paradox gibt. Sein Anspruch (den er Charles Sanders Peirce und John Buridan zuschreibt) besteht darin, dass jede Behauptung eine implizite Behauptung seiner eigenen Wahrheit einschließt. So, zum Beispiel, ist die Behauptung, "Ist es wahr, dass zwei plus zwei vier gleich ist", enthält keine Information mehr als die Behauptung "zwei plus zwei, vier gleich", weil der Ausdruck "es wahr ist, dass..." immer implizit dort ist. Und im Selbstverweisungsgeist des Lügner-Paradoxes der Ausdruck "ist es wahr, dass..." zu "dieser ganzen Behauptung gleichwertig ist, ist wahr und...".

So sind die folgenden zwei Behauptungen gleichwertig:

Der Letztere ist ein einfacher Widerspruch der Form "A und nicht", und ist folglich falsch. Es gibt deshalb kein Paradox, weil der Anspruch, dass dieser zweiverbundene Lügner falsch ist, zu keinem Widerspruch führt. Eugene Mills und Neil Lefebvre und Melissa Schelein präsentieren ähnliche Antworten.

Aber der Anspruch, dass jede Behauptung wirklich eine Verbindung ist, in der das erste verbundene "diese Behauptung sagt, ist wahr" scheint, mit Standardregeln der Satzlogik, besonders der Regel, manchmal genannt Verbindungsbeseitigung in Konflikt zu geraten, dass von einer Verbindung einige der conjuncts abgeleitet werden kann. So, von, "Ist diese Behauptung wahr und ist diese Behauptung falsch", hieraus folgt dass "diese Behauptung falsch ist", und so haben wir, wieder, einen paradoxen (und nichtverbindend) Behauptung. Es scheint dann, dass der Versuch von Prior der Entschlossenheit irgendeinen eine ganze neue Satzlogik verlangt, oder das Postulat, dass "und" in, "Ist diese Behauptung wahr und diese Behauptung falsch ist", ein spezieller Typ von verbindenden ist, wegen deren Verbindungsbeseitigung nicht gilt. Aber dann brauchen wir, mindestens, eine Vergrößerung der Standardsatzlogik, um für diese neue Art verantwortlich zu sein, "und".

Saul Kripke

Saul Kripke hat dass behauptet, ob ein Satz paradox ist oder nicht von abhängigen Tatsachen abhängen kann. Wenn das einzige Ding, das Smith über Jones sagt, ist

und Jones sagt nur diese drei Dinge über Smith:

Wenn Smith wirklich ein großer Geldverschwender ist, aber auf dem Verbrechen "nicht" weich ist, dann sind sowohl die Bemerkung von Smith über Jones als auch die letzte Bemerkung von Jones über Smith paradox.

Kripke schlägt eine Lösung auf die folgende Weise vor. Wenn ein Wahrheitswert einer Behauptung in einer evaluable Tatsache über die Welt schließlich angebunden wird, wird diese Behauptung "niedergelegt". Wenn nicht, diese Behauptung ist "unbegründet". Unbegründete Behauptungen haben keinen Wahrheitswert. Lügner-Behauptungen und einem Lügner ähnliche Behauptungen sind unbegründet, und haben deshalb keinen Wahrheitswert.

Barwise und Etchemendy

Jon Barwise und John Etchemendy schlagen vor, dass der Lügner-Satz (den sie als synonymisch mit dem Gestärkten Lügner interpretieren) zweideutig ist. Sie stützen diesen Beschluss auf einer Unterscheidung, die sie zwischen einer "Leugnung" und einer "Ablehnung" machen. Wenn der Lügner vorhat, "Ist es nicht der Fall, dass diese Behauptung wahr ist" dann lässt es sich verleugnen. Wenn es bedeutet, "Ist diese Behauptung nicht wahr" dann verneint es sich. Sie setzen fort, gestützt auf der Situationssemantik zu streiten, dass der "Leugnungslügner" ohne Widerspruch wahr sein kann, während der "Ablehnungslügner" ohne Widerspruch falsch sein kann.

Dialetheism

Priester von Graham und andere Logiker, einschließlich J.C. Bealls und Bradley Armour-Garbs haben vorgeschlagen, dass, wie man betrachten sollte, der Lügner-Satz sowohl wahr als auch, ein Gesichtspunkt bekannt als dialetheism falsch ist. Dialetheism ist die Ansicht, dass es wahre Widersprüche gibt. Dialetheism erhebt seine eigenen Probleme. Der Chef unter diesen ist, dass da dialetheism das Lügner-Paradox, einen inneren Widerspruch, als wahr seiend anerkennt, muss es den lange anerkannten Grundsatz ab falso quodlibet verwerfen, der behauptet, dass jeder Vorschlag aus einem Widerspruch abgeleitet werden kann, wenn der dialetheist nicht bereit ist, trivialism - die Ansicht zu akzeptieren, dass alle Vorschläge wahr sind. Da trivialism eine intuitiv falsche Ansicht ist, dialetheists weisen fast immer "ab falso quodlibet" zurück. Logik, die "ab falso quodlibet" zurückweist, wird parakonsequent genannt.

Chris Langan

Chris Langan in seiner Arbeit Die Theorie von Theorie-Staaten:

Logische Struktur des Lügner-Paradoxes

Für ein besseres Verstehen des Lügner-Paradoxes ist es nützlich, es auf eine mehr formelle Weise niederzuschreiben. Wenn "diese Behauptung falsch ist", wird durch A angezeigt, und sein Wahrheitswert wird gesucht, es ist notwendig, eine Bedingung zu finden, die die Wahl von möglichen Wahrheitswerten von A einschränkt. Weil A Selbstverweisungs-ist, ist es möglich, die Bedingung durch eine Gleichung zu geben.

Wenn, wie man annimmt, eine Behauptung, B, falsch ist, schreibt man, "B = falsch". Die Behauptung (C), dass die Behauptung B falsch ist, würde als "C = 'B = falsch'" geschrieben. Jetzt kann das Lügner-Paradox als die Behauptung A, das ausgedrückt werden A ist falsch:

"= '= falsch'"

Das ist eine Gleichung, von der der Wahrheitswert = "diese Behauptung falsch ist", konnte hoffentlich erhalten werden. Im boolean Gebiet "= falsch" ist zu "nicht" gleichwertig, und deshalb ist die Gleichung nicht lösbar. Das ist die Motivation für die Umdeutung von A. Die einfachste logische Annäherung, um die Gleichung lösbar zu machen, ist die Dialetheistic-Annäherung, in welchem Fall die Lösung A ist, der sowohl "wahr" als auch "falsch" ist. Andere Entschlossenheiten schließen größtenteils einige Modifizierungen der Gleichung ein; Arthur Prior behauptet, dass die Gleichung "= '= falsch und = wahr'" sein sollte und deshalb A falsch ist. In der rechenbetonten Verblogik wird das Lügner-Paradox zur Behauptung wie erweitert, "Ich höre, was er sagt; er sagt, was ich nicht höre", wo Verblogik verwendet werden muss, um das Paradox aufzulösen.

Anwendungen

Der erste Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel

Die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel sind zwei Hauptsätze der mathematischen Logik, die innewohnende Beschränkungen von allen außer den meisten trivialen axiomatischen Systemen für die Mathematik festsetzen. Die Lehrsätze wurden von Kurt Gödel 1931 bewiesen, und sind in der Philosophie der Mathematik wichtig. Grob das Sprechen, im Beweis des ersten Unvollständigkeitslehrsatzes, hat Gödel eine ein bisschen modifizierte Version des Lügner-Paradoxes verwendet, das Ersetzen "dieses Satzes ist" mit "diesem Satz falsch ist nicht nachweisbar" hat der "Satz von Gödel G" gerufen. So für eine Theorie "T", "G" ist wahr, aber in "T" nicht nachweisbar. Die Analyse der Wahrheit und provability von "G" sind eine formalisierte Version der Analyse der Wahrheit des Lügner-Satzes.

Um den ersten Unvollständigkeitslehrsatz zu beweisen, hat Gödel Behauptungen durch Zahlen vertreten. Dann beweist die Theorie in der Nähe, die, wie man annimmt, bestimmte Tatsachen über Zahlen beweist, auch Tatsachen über seine eigenen Behauptungen. Fragen über den provability von Behauptungen werden als Fragen über die Eigenschaften von Zahlen vertreten, die durch die Theorie entscheidbar sein würden, wenn es abgeschlossen wäre. In diesen Begriffen stellt der Satz von Gödel fest, dass keine natürliche Zahl mit einem bestimmten, fremden Eigentum besteht. Eine Zahl mit diesem Eigentum würde einen Beweis der Widersprüchlichkeit der Theorie verschlüsseln. Wenn es solch eine Zahl dann gäbe, würde die Theorie gegen die Konsistenz-Hypothese inkonsequent sein. Also, unter der Annahme, dass die Theorie entspricht, gibt es keine solche Zahl.

Es ist nicht möglich, "nicht nachweisbar" durch "den falschen" in einem Satz von Gödel zu ersetzen, weil das Prädikat "Q die Zahl von Gödel einer falschen Formel ist", kann als eine Formel der Arithmetik nicht vertreten werden. Dieses Ergebnis, das als der undefinability Lehrsatz von Tarski bekannt ist, wurde unabhängig von Gödel entdeckt (als er am Beweis des Unvollständigkeitslehrsatzes arbeitete), und durch Alfred Tarski.

George Boolos hat einen alternativen Beweis des ersten Unvollständigkeitslehrsatzes seitdem skizziert, der das Paradox von Berry aber nicht das Lügner-Paradox verwendet, um eine wahre, aber unbeweisbare Formel zu bauen.

In der populären Kultur

In Pfort-2 versucht GLaDOS, dieses Paradox zu verwenden, um Wheatley auf der Annahme zu vereiteln, dass Paradoxe die ganze Zentraleinheitsmacht bringen in einer Prozession zu gehen. Aber, weil Wheatley programmiert wird, um "der stummste Idiot zu sein, der jemals gelebt hat", betrifft das Paradox ihn nicht, obwohl das nahe gelegene "Frankenturrets" kurze auf das Hören des Paradoxes, und es GLaDOS eine enorme Anstrengung nicht zum kurzen selbst nimmt.

In der Episode I, Mudd, wird das Lügner-Paradox durch die Charaktere von Kapitän Kirk und Harry Mudd verwendet, um einen Androiden zu verwechseln und schließlich unbrauchbar zu machen.

In der Vorkosigan Saga von Lois McMaster Bujold sinnt Cordelia Naismith oft über das Axiom Alle Cretans sind Lügner in ihrem inneren Monolog.

Siehe auch

• Karte-Paradox
• Insolubilia
• Liste von Paradoxen
• Paradox von Pinocchio
• Das Paradox von Quine
• Sokratisches Paradox
• Das Paradox von Yablo
• Paradox von Epimenides

Referenzen

• Jon Barwise und John Etchemendy (1987) der Lügner. Presse der Universität Oxford.
• Greenough, Nachmittags, (2001) "," amerikanische Philosophische Vierteljährliche 38:
• Hughes, G.E. (1992) John Buridan auf der Selbstverweisung: Kapitel Acht der Sophismata von Buridan, mit einer Übersetzung, und Einführung und einem Philosophischen Kommentar, Cambridge Univ. Presse, internationale Standardbuchnummer 0-521-28864-9. Die ausführliche Lösung von Buridan mehrerer solcher Paradoxe.
• Kirkham, Richard (1992) Theorien der Wahrheit. MIT Presse. Besonders Kapitel 9.
• Saul Kripke (1975) "Ein Umriss einer Theorie der Wahrheit," Zeitschrift der Philosophie 72: 690-716.
• Lefebvre, Neil und Schelein, Melisse (2005) "Der Lügner, haben" Philosophie Jetzt Ausgabe 51 Gelogen.
• Priester von Graham (1984) "Die Logik des Wieder besuchten Paradoxes," Zeitschrift der Philosophischen Logik 13: 153-179.
• A. N. Vorherig (1976) Papiere in der Logik und Ethik. Duckworth.
• Smullyan, Raymond (19nn) Wie ist der Name dieses Buches?. Internationale Standardbuchnummer 0-671-62832-1. Eine Sammlung von Logikrätseln, dieses Thema erforschend.
• Pfort-2: Kapitel 7 Die Wiedervereinigung (2011) Valve Corporation

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