In der Physik, besonders statistischen Mechanik, beschreibt der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann Partikel-Geschwindigkeiten bei Benzin, wohin sich die Partikeln frei zwischen kurzen Kollisionen bewegen, aber mit einander, als eine Funktion der Temperatur des Systems, der Masse der Partikel und Geschwindigkeit der Partikel nicht aufeinander wirken. Die Partikel in diesem Zusammenhang bezieht sich auf die gasartigen Atome oder Moleküle - kein Unterschied wird zwischen den zwei in seiner Entwicklung und Ergebnis gemacht.

Es ist ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb für die Geschwindigkeit einer Partikel, die das Benzin - der Umfang seines Geschwindigkeitsvektoren einsetzt, bedeutend, dass für eine gegebene Temperatur die Partikel eine Geschwindigkeit zufällig vom Vertrieb auswählen lassen wird, aber mit größerer Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Reihe von einigen Geschwindigkeiten sein wird als andere.

Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann gilt für ideales Benzin in der Nähe vom thermodynamischen Gleichgewicht mit unwesentlichen Quant-Effekten und mit nichtrelativistischen Geschwindigkeiten. Es bildet die Basis der kinetischen Theorie von Benzin, die eine vereinfachte Erklärung von vielen grundsätzlichen gasartigen Eigenschaften, einschließlich des Drucks und der Verbreitung zur Verfügung stellt. Jedoch - gibt es eine Generalisation zu relativistischen Geschwindigkeiten, sieh Vertrieb von Maxwell-Juttner unten.

Der Vertrieb wird nach James Clerk Maxwell und Ludwig Boltzmann genannt.

Physische Anwendungen

Gewöhnlich bezieht sich der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann auf molekulare Geschwindigkeiten, sondern auch gilt für den Vertrieb der Schwünge und die Energie der Moleküle.

Für 3-dimensionale Vektor-Mengen werden die Bestandteile unabhängig und normalerweise verteilt mit dem bösartigen behandelt, der 0 und Standardabweichung dessen gleich ist. Wenn als, dann verteilt werden

:

wird als ein Vertrieb von Maxwell-Boltzmann mit dem Parameter verteilt. Abgesondert vom Skala-Parameter ist der Vertrieb zum chi Vertrieb mit 3 Graden der Freiheit identisch.

Vertrieb (verschiedene Formen)

Die ursprüngliche Abstammung durch Maxwell hat angenommen, dass sich alle drei Richtungen auf dieselbe Mode benehmen würden, aber eine spätere Abstammung durch Boltzmann hat diese Annahme mit der kinetischen Theorie fallen lassen. Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann (für Energien) kann jetzt aus dem Vertrieb von Boltzmann für Energien am meisten sogleich abgeleitet werden (sieh auch die Statistik von Maxwell-Boltzmann der statistischen Mechanik):

:

\frac {N_i} {N} = \frac {g_i \exp\left (-E_i/kT \right)} {\sum_ {j} ^ {} g_j \, {\\exp\left (-E_j/kT\right)} }\

\qquad\qquad (1) </Mathematik>

wo:

• ich bin der Mikrostaat (das Anzeigen, dass Konfigurationspartikel-Quant-Staaten - Teilung sehen fungieren).
• E ist das Energieniveau des Mikrostaates i.
• T ist die Gleichgewicht-Temperatur des Systems.
• g ist der Entartungsfaktor oder Zahl von degenerierten Mikrostaaten, die dasselbe Energieniveau haben
• k ist der unveränderliche Boltzmann.
• N ist die Zahl von Molekülen bei der Gleichgewicht-Temperatur T, in einem Staat i, der Energie E und Entartung g hat.
• N ist die Gesamtzahl von Molekülen im System.

Bemerken Sie, dass manchmal die obengenannte Gleichung ohne den Entartungsfaktor g geschrieben wird. In diesem Fall der Index werde ich einen individuellen Staat, aber nicht eine Reihe von G-Staaten angeben, die dieselbe Energie E hat. Weil Geschwindigkeit und Geschwindigkeit mit der Energie verbunden sind, kann Gleichung 1 verwendet werden, um Beziehungen zwischen der Temperatur und den Geschwindigkeiten von Molekülen in einem Benzin abzuleiten. Der Nenner in dieser Gleichung ist als die kanonische Teilungsfunktion bekannt.

Vertrieb für den Schwung-Vektoren

Folgender ist eine Abstammung, die von der Abstammung wild verschieden ist, die von James Clerk Maxwell beschrieben ist, und hat später mit weniger Annahmen durch Ludwig Boltzmann beschrieben. Stattdessen ist es der späteren Annäherung von Boltzmann von 1877 nah.

Für den Fall eines "idealen Benzins", aus aufeinander nichtwirkenden Atomen im Boden-Staat bestehend, ist die ganze Energie in der Form der kinetischen Energie, und g ist für alles ich unveränderlich. Die Beziehung zwischen kinetischer Energie und Schwung für massive Partikeln ist

:

E = \frac {p^2} {2-M-}\

\qquad\qquad (2) </Mathematik>

wo p das Quadrat des Schwung-Vektoren ist

p = [p, p, p]. Wir können deshalb Gleichung 1 als umschreiben:

:

\frac {N_i} {N} =

\frac {1} {Z}

\exp \left [

- \frac {p_ {ich, x} ^2 + p_ {ich, y} ^2 + p_ {ich, z} ^2} {2mkT }\

\right]

\qquad\qquad (3) </Mathematik>

wo Z die Teilungsfunktion, entsprechend dem Nenner in der Gleichung 1 ist. Hier ist M die molekulare Masse des Benzins, T ist die thermodynamische Temperatur, und k ist der unveränderliche Boltzmann. Dieser Vertrieb von N/N ist zur Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f proportional, für ein Molekül mit diesen Werten von Schwung-Bestandteilen, so zu finden:

:

f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) =

\frac {c} {Z}

\exp \left [

- \frac {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} {2mkT }\

\right].

\qquad\qquad (4) </Mathematik>

Der normalisierende unveränderliche c, kann durch das Erkennen bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit eines Moleküls, das jeden Schwung hat, 1 sein muss. Deshalb muss das Integral der Gleichung 4 über den ganzen p, p, und p 1 sein.

Es kann dass gezeigt werden:

:

c = \frac {Z} {(2 \pi mkT) ^ {3/2}}.

\qquad\qquad (5) </Mathematik>

Das Ersetzen der Gleichung 5 in die Gleichung 4 gibt:

:f_\mathbf {p} (p_x, p_y, p_z) =

\left (\frac {1} {2 \pi mkT} \right) ^ {3/2 }\

\exp \left [- \frac {p_x^2 + p_y^2 + p_z^2} {2mkT }\\right].

\qquad\qquad (6) </Mathematik>

Wie man

sieht, ist der Vertrieb das Produkt von drei unabhängigen normalerweise verteilte Variablen, und mit der Abweichung. Zusätzlich kann es gesehen werden, dass der Umfang des Schwungs als ein Vertrieb von Maxwell-Boltzmann, damit verteilt wird.

Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann für den Schwung (oder ebenso für die Geschwindigkeiten) kann mehr im Wesentlichen mit dem H-Lehrsatz am Gleichgewicht innerhalb des kinetischen Theorie-Fachwerks erhalten werden.

Vertrieb für die Energie

Das Verwenden p ² = 2mE, und der Vertrieb fungiert für den Umfang des Schwungs (sieh unten), wir bekommen den Energievertrieb:

:

f_E \, dE=f_p\left (\frac {dp} {dE }\\Recht) \, dE =2\sqrt {\\frac {E} {\\Pi}} \left (\frac {1} {kT} \right) ^ {3/2 }\\exp\left [\frac {-E} {kT }\\Recht] \, dE. \qquad

\qquad (7)

</Mathematik>

Da die Energie zur Summe der Quadrate der drei normalerweise verteilten Schwung-Bestandteile proportional ist, ist dieser Vertrieb ein Gammavertrieb und ein chi-karierter Vertrieb mit drei Graden der Freiheit.

Durch den equipartition Lehrsatz wird diese Energie unter allen drei Graden der Freiheit gleichmäßig verteilt, so dass die Energie pro Grad der Freiheit als ein chi-karierter Vertrieb mit einem Grad der Freiheit verteilt wird:

:

f_\epsilon (\epsilon) \, d\epsilon =\sqrt {\\frac {\\Epsilon} {\\Pi kT}} ~ \exp\left [\frac {-\epsilon} {kT }\\Recht] \, d\epsilon

</Mathematik>

wo die Energie pro Grad der Freiheit ist. Am Gleichgewicht wird dieser Vertrieb für jede Zahl von Graden der Freiheit für wahr halten. Zum Beispiel, wenn die Partikeln starre Massendipole sind, werden sie drei Übersetzungsgrade der Freiheit und zwei zusätzliche Rotationsgrade der Freiheit haben. Die Energie in jedem Grad der Freiheit wird gemäß dem obengenannten chi-karierten Vertrieb mit einem Grad der Freiheit beschrieben, und die Gesamtenergie wird gemäß einem chi-karierten Vertrieb mit fünf Graden der Freiheit verteilt. Das hat Implikationen in der Theorie der spezifischen Hitze eines Benzins.

Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann kann auch erhalten werden, indem er das Benzin gedacht wird, ein Typ von Quant-Benzin zu sein.

Vertrieb für den Geschwindigkeitsvektoren

Das Erkennen, dass die Geschwindigkeitswahrscheinlichkeitsdichte f zur Schwung-Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion durch proportional

ist:

f_\mathbf {v} d^3v = f_\mathbf {p} \left (\frac {dp} {dv }\\Recht) ^3 d^3v

</Mathematik>

und mit p = mv bekommen wir

:

f_\mathbf {v} (v_x, v_y, v_z) =

\left (\frac {M} {2 \pi kT} \right) ^ {3/2 }\

\exp \left [-

\frac {M (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2)} {2kT }\

\right],

\qquad\qquad </Mathematik>

der der Geschwindigkeitsvertrieb von Maxwell-Boltzmann ist. Die Wahrscheinlichkeit, eine Partikel mit der Geschwindigkeit im unendlich kleinen Element [dv, dv, dv] über die Geschwindigkeit v = [v, v, v] zu finden, ist

:

f_\mathbf {v} \left (v_x, v_y, v_z\right) \, dv_x \, dv_y \, dv_z.

</Mathematik>

Wie der Schwung, wie man sieht, ist dieser Vertrieb das Produkt von drei unabhängigen normalerweise verteilte Variablen, und, aber mit der Abweichung. Es kann auch dass der Geschwindigkeitsvertrieb von Maxwell-Boltzmann für die Vektor-Geschwindigkeit gesehen werden

[v, v, v] ist das Produkt des Vertriebs für jede der drei Richtungen:

:

f_v \left (v_x, v_y, v_z\right) = f_v (v_x) f_v (v_y) f_v (v_z)

</Mathematik>

wo der Vertrieb für eine einzelne Richtung ist

:

f_v (v_i) =

\sqrt {\\frac {M} {2 \pi kT} }\

\exp \left [

\frac {-mv_i^2} {2kT }\

\right].\qquad\qquad </Mathematik>

Jeder Bestandteil des Geschwindigkeitsvektoren hat eine Normalverteilung mit der Mittel- und Standardabweichung, so hat der Vektor eine 3-dimensionale Normalverteilung, auch genannt einen "mehrnormalen" Vertrieb mit der Mittel- und Standardabweichung.

Vertrieb für die Geschwindigkeit

Gewöhnlich interessieren wir uns mehr für die Geschwindigkeiten von Molekülen aber nicht ihren Teilgeschwindigkeiten. Der Vertrieb von Maxwell-Boltzmann für die Geschwindigkeit folgt sofort vom Vertrieb des Geschwindigkeitsvektoren oben. Bemerken Sie, dass die Geschwindigkeit ist

:

und die Zunahme des Volumens ist

:

wo und der "Kurs" (Azimut des Geschwindigkeitsvektoren) und "Pfad-Winkel" (Erhebungswinkel des Geschwindigkeitsvektoren) sind. Die Integration der normalen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion der Geschwindigkeit, oben, über den Kurs (von 0 bis) und Pfad-Winkel (von 0 bis), mit dem Ersatz der Geschwindigkeit für die Summe der Quadrate der Vektor-Bestandteile, gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion nach

:

für die Geschwindigkeit. Diese Gleichung ist einfach der Vertrieb von Maxwell mit dem Vertriebsparameter.

Wir interessieren uns häufig mehr für Mengen wie die durchschnittliche Geschwindigkeit der Partikeln aber nicht des wirklichen Vertriebs. Die Mittelgeschwindigkeit, wahrscheinlichste Geschwindigkeit (Weise) und Effektivwert kann bei Eigenschaften des Vertriebs von Maxwell erhalten werden.

Vertrieb für die Verhältnisgeschwindigkeit

Verhältnisgeschwindigkeit wird als definiert, wo die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist. Der Vertrieb von Verhältnisgeschwindigkeiten erlaubt Vergleich von unterschiedlichem gasses, der des Temperatur- und Molekulargewichtes unabhängig ist.

Typische Geschwindigkeiten

Obwohl die obengenannte Gleichung den Vertrieb für die Geschwindigkeit oder, mit anderen Worten, der Bruchteil der Zeit gibt das Molekül hat eine besondere Geschwindigkeit, interessieren wir uns häufig mehr für Mengen wie die durchschnittliche Geschwindigkeit aber nicht der ganze Vertrieb.

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit, v, ist die Geschwindigkeit, um am wahrscheinlichsten durch jedes Molekül (von derselben Masse m) im System besessen zu werden, und entspricht dem maximalen Wert oder der Weise von f (v). Um es zu finden, berechnen wir df/dv, setzen es auf die Null und lösen für v:

:

der trägt:

:

Wo R die Gaskonstante ist und M = N M die Mahlzahn-Masse der Substanz ist.

Für den diatomic Stickstoff (N, der primäre Bestandteil von Luft) bei der Raumtemperatur (300 K), gibt das m/s

Die Mittelgeschwindigkeit ist der mathematische Durchschnitt des Geschwindigkeitsvertriebs

:

Die Wurzel ist Mittelquadratgeschwindigkeit, v die Quadratwurzel der durchschnittlichen karierten Geschwindigkeit:

:

Die typischen Geschwindigkeiten sind wie folgt verbunden:

:

Vertrieb für relativistische Geschwindigkeiten

Da das Benzin heißer wird und sich kT nähert oder mc überschreitet, wird der Wahrscheinlichkeitsvertrieb für in diesem relativistischen Benzin von Maxwellian durch den Vertrieb von Maxwell-Juttner gegeben:

:

\mathrm {exp}

\left (

- \frac {\\Gamma} {\\theta}

\right)

\qquad (11)

</Mathematik>

wo und die modifizierte Funktion von Bessel der zweiten Art ist.

Wechselweise kann das in Bezug auf den Schwung als geschrieben werden

:</Mathematik>

wo. Die Gleichung von Maxwell-Juttner, ist aber nicht offenbar so kovariant, und die Temperatur des Benzins ändert sich mit der groben Geschwindigkeit des Benzins nicht.

Siehe auch

• Statistik von Maxwell-Boltzmann
• Vertrieb von Boltzmann
• Geschwindigkeitsvertrieb von Maxwell
• Faktor von Boltzmann
• Vertrieb von Rayleigh
• Ideales Gasgesetz
• Büroangestellter von James Maxwell
• Ludwig Eduard Boltzmann
• Kinetische Theorie

Weiterführende Literatur

• Physik für Wissenschaftler und Ingenieure - mit der Modernen Physik (6. Ausgabe), P. A. Tipler, G. Mosca, Ehrenbürger, 2008, internationale Standardbuchnummer 0 7167 8964 7
• Thermodynamik, Von Konzepten bis Anwendungen (2. Ausgabe), A. Shavit, C. Gutfinger, CRC Presse (Taylor und Francis Group, die USA), 2009, internationale Standardbuchnummer (13-) 978-1-4200-7368-3
• Chemische Thermodynamik, D.J.G. Ives, Universitätschemie, Macdonald Technisch und Wissenschaftlich, 1971, internationale Standardbuchnummer 0356-03736-3
• Elemente der Statistischen Thermodynamik (2. Ausgabe), L.K. Nash, Grundsätze der Chemie, Addisons-Wesleys, 1974, internationale Standardbuchnummer 0-201-05229-6

Links

• "Der Geschwindigkeitsvertrieb von Maxwell" aus dem Wolfram-Demonstrationsprojekt an Mathworld