knowledgr.de

Funktion von Möbius

Neues Wissen!

:For die vernünftigen auf den komplexen Zahlen definierten Funktionen, sieh Transformation von Möbius.

Die klassische Funktion von Möbius μ (n) ist eine wichtige Multiplicative-Funktion in der Zahlentheorie und combinatorics. Der deutsche Mathematiker August Ferdinand Möbius hat es 1832 eingeführt. Diese klassische Funktion von Möbius ist ein spezieller Fall eines allgemeineren Gegenstands in combinatorics (sieh unten).

Definition

μ (n) wird für alle positiven ganzen Zahlen n definiert und hat seine Werte in,} abhängig vom factorization von n in Hauptfaktoren. Es wird wie folgt definiert:

μ (n) = 1, wenn n eine quadratfreie positive ganze Zahl mit einer geraden Zahl von Hauptfaktoren ist.
μ (n) = −1, wenn n eine quadratfreie positive ganze Zahl mit einer ungeraden Zahl von Hauptfaktoren ist.
μ (n) = 0, wenn n nicht quadratfrei ist.

Eine gleichwertige Weise, das festzusetzen, ist, die zwei Funktionen zu definieren

ω (n), die Zahl der verschiedenen Blüte, die die Nummer n und den teilt

Ω (n), die Zahl von Hauptfaktoren von n, hat mit der Vielfältigkeit gezählt. Klar, ω (n) Ω (n).

Dann

0& \mbox {wenn }\\; \omega (n)

Das deutet dass μ (1) = 1 an. (1 hat eine gerade Zahl von Hauptfaktoren, nämlich Null). Der Wert von μ (0) ist unbestimmt.

Werte von μ (n) für die ersten 25 positiven Zahlen:

:1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1, −1, 0, −1, 1, 1, 0, −1, 0, −1, 0, 1, 1, −1, 0, 0...

Die ersten 50 Werte der Funktion werden unten geplant:

Eigenschaften und Anwendungen

Die Möbius-Funktion ist multiplicative (d. h. μ (ab) = μ (a) μ (b), wann auch immer a und b coprime sind). Die Summe über alle positiven Teiler von n der Funktion von Möbius ist Null außer, wenn n = 1:

0& \mbox {wenn} n> 1.\end {Fälle} </Mathematik>

(Eine Folge der Tatsache, dass jeder nichtleere begrenzte Satz so viele Teilmengen mit ungeraden Zahlen von Elementen hat wie Teilmengen mit geraden Zahlen von Elementen - ebenso als binomisches mitwirkendes Ausstellungsstück Wechseleinträge der geraden und ungeraden Macht, die symmetrisch resümieren.) Führt das zur wichtigen Inversionsformel von Möbius und ist der Hauptgrund, warum μ der Relevanz in der Theorie von multiplicative und arithmetischen Funktionen ist.

Andere Anwendungen von μ (n) in combinatorics werden mit dem Gebrauch des Enumerationslehrsatzes von Pólya in kombinatorischen Gruppen und kombinatorischen Enumerationen verbunden.

In der Zahlentheorie ist eine andere mit der Funktion von Möbius nah verbundene arithmetische Funktion die Funktion von Mertens, die durch definiert ist

für jede natürliche Zahl n. Diese Funktion wird mit den Positionen von zeroes des Riemanns zeta Funktion nah verbunden. Sieh den Artikel über die Vermutung von Mertens für mehr Information über die Verbindung zwischen der M (n) und der Hypothese von Riemann.

Die gewöhnliche Erzeugen-Funktion für die Funktion von Möbius folgt aus der binomischen Reihe

angewandt auf dreieckigen matrices:

Die Reihe von Lambert für die Funktion von Möbius ist:

Die Dirichlet Reihe, die die Funktion von Möbius erzeugt, ist das (multiplicative) Gegenteil des Riemanns zeta Funktion

Das ist leicht, von seinem Produkt von Euler zu sehen

Es gibt eine Formel, für die Funktion von Möbius zu berechnen, ohne den factorization seines Arguments zu wissen:

d. h. μ (n) ist die Summe der primitiven n Wurzeln der Einheit.

Davon, hieraus folgt dass durch die Funktion von Mertens gegeben wird:

: wo die Folge von Farey des Auftrags n ist.

Diese Formel wird im Beweis des Franel-Landauer-Lehrsatzes verwendet.

Gauss hat bewiesen, dass für eine Primzahl p die Summe seiner primitiven Wurzeln zu μ kongruent ist (p − 1) (mod p).

Wenn F das begrenzte Feld des Auftrags q anzeigt (wo q notwendigerweise eine Hauptmacht ist), dann wird durch die Nummer N von monic nicht zu vereinfachenden Polynomen des Grads n über F gegeben:

Das unendliche symmetrische Matrixstarten:

definiert durch das Wiederauftreten:

kann verwendet werden, um die Funktion von Möbius zu berechnen:

Die Dirichlet Reihe für die Funktion von Mobius hat die Gleichwertigkeit:

Durchschnittliche Ordnung

Die durchschnittliche Ordnung der Funktion von Möbius ist Null. Diese Behauptung ist tatsächlich zum Primzahl-Lehrsatz, gleichwertig.

μ (n) Abteilungen

μ (n) = 0 wenn, und nur wenn n durch ein Quadrat teilbar ist. Die ersten Zahlen mit diesem Eigentum sind:

:4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63....

Wenn n erst ist, dann μ (n) = −1, aber das gegenteilige ist nicht wahr. Das erste nicht erster n, für den μ (n) = −1 30 = 2 ist · 3 · 5. Die ersten derartigen Zahlen mit drei verschiedenen Hauptfaktoren (sphenic Zahlen) sind:

:30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ….

und die ersten derartigen Zahlen mit 5 verschiedenen Hauptfaktoren sind:

:2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ….

Generalisation

In combinatorics wird jeder lokal begrenzte teilweise bestellte Satz (poset) eine Vorkommen-Algebra zugeteilt. Ein ausgezeichnetes Mitglied dieser Algebra ist, dass "Möbius von poset fungiert". Die klassische in diesem Artikel behandelte Funktion von Möbius ist der Funktion von Möbius des Satzes aller positiven durch die Teilbarkeit teilweise bestellten ganzen Zahlen im Wesentlichen gleich. Sieh den Artikel über Vorkommen-Algebra für die genaue Definition und mehrere Beispiele dieser Funktionen von General Möbius.

Physik

Die Möbius-Funktion entsteht auch im primon freien oder Gasgasmodell von Riemann der Supersymmetrie. In dieser Theorie haben die grundsätzlichen Partikeln oder "primons" Energieklotz p. Unter dem zweiten-quantization werden Mehrpartikel-Erregung betrachtet; diese werden durch den Klotz n für jede natürliche Zahl n gegeben. Das folgt aus der Tatsache, dass der factorization der natürlichen Zahlen in die Blüte einzigartig ist.

Im freien Benzin von Riemann kann jede natürliche Zahl vorkommen, wenn die primons als bosons genommen werden. Wenn sie als fermions genommen werden, dann schließt der Ausschluss-Grundsatz von Pauli Quadrate aus. Der Maschinenbediener (−1), der fermions und bosons unterscheidet, ist dann niemand anderer als die Funktion von Möbius μ (n).

Das freie Benzin von Riemann hat mehrere andere interessante Verbindungen zur Zahlentheorie einschließlich der Tatsache, dass die Teilungsfunktion der Riemann zeta Funktion ist. Diese Idee unterliegt dem versuchten Beweis von Alain Connes der Hypothese von Riemann.

Siehe auch

Liouville fungieren
Die Summe von Ramanujan
Zahl von Sphenic

Referenzen

Der Disquisitiones Arithmeticae ist aus Latein ins Englisch und Deutsch übersetzt worden. Die deutsche Ausgabe schließt alle seine Papiere auf der Zahlentheorie ein: alle Beweise der quadratischen Reziprozität, der Entschluss vom Zeichen der Summe von Gauss, der Untersuchungen der biquadratic Reziprozität und unveröffentlichten Zeichen.