:Outside-Zahlentheorie, der Begriff 'multiplicative Funktion wird gewöhnlich für völlig multiplicative Funktionen gebraucht. Dieser Artikel bespricht Zahl theoretische Multiplicative-Funktionen.

In der Zahlentheorie ist eine Multiplicative-Funktion eine arithmetische Funktion f (n) von der positiven ganzen Zahl n mit dem Eigentum dass f (1) = 1 und wann auch immer

a und b sind coprime, dann

:f (ab) = f (a) f (b).

Wie man

sagt, ist eine arithmetische Funktion f (n) völlig multiplicative (oder völlig multiplicative), wenn f (1) = 1 und f (ab) = f (a) f (b) für alle positiven ganzen Zahlen a und b halten, selbst wenn sie nicht coprime sind.

Beispiele

Einige Multiplicative-Funktionen werden definiert, um Formeln leichter zu machen, zu schreiben:

• 1 (n): Die unveränderliche Funktion, die durch 1 (n) = 1 (völlig multiplicative) definiert ist

• die Anzeigefunktion des Satzes. Das ist multiplicative, wenn der Satz C das Eigentum hat, das, wenn a und b in C, gcd (a, b) =1 sind, als ab, auch in C ist. Das ist der Fall, wenn C der Satz von Quadraten, Würfeln oder höheren Mächten ist, oder wenn C der Satz von quadratfreien Zahlen ist.
• Id (n): Identitätsfunktion, die von Id (n) = n (völlig multiplicative) definiert ist
• Id (n): Die Potenzfunktionen, die von Id (n) = n für jede komplexe Zahl k (völlig multiplicative) definiert sind. Als spezielle Fälle haben wir
• Id (n) = 1 (n) und
• Id (n) = Id (n).
• (n): die Funktion, die durch (n) = 1 wenn n = 1 und 0 sonst manchmal definiert ist, genannt Multiplikationseinheit nach der Gehirnwindung von Dirichlet oder einfach der Einheitsfunktion; das Delta von Kronecker δ; manchmal schriftlich als u (n), um mit (n) (völlig multiplicative) nicht verwirrt zu sein.

Andere Beispiele von Multiplicative-Funktionen schließen viele Funktionen ein, die in die Zahlentheorie wichtig sind wie:

• gcd (n, k): Der größte allgemeine Teiler von n und k, als eine Funktion von n, wo k eine feste ganze Zahl ist.
• (n): Die Totient-Funktion von Euler, die positiven ganzen Zahlen coprime zu (aber nicht größer aufzählend, als) n
• (n): die Funktion von Möbius, die Gleichheit (−1 für den sonderbaren, +1 für sogar) der Zahl von Hauptfaktoren von quadratfreien Zahlen; 0, wenn n nicht quadratfreier ist
• (n): die Teiler-Funktion, die die Summe der k-th Mächte aller positiven Teiler von n ist (wo k jede komplexe Zahl sein kann). Spezielle Fälle haben wir
• (n) = d (n) die Zahl von positiven Teilern von n,
• (n) = (n), die Summe aller positiven Teiler von n.
• : die Zahl von nichtisomorphen abelian Gruppen des Auftrags n.
• (n): die Funktion von Liouville, λ (n) = (−1) wo Ω (n) ist die Gesamtzahl der Blüte (aufgezählt mit der Vielfältigkeit) dividig n. (völlig multiplicative).
• (n) definiert durch (n) = (−1), wo die zusätzliche Funktion (n) die Zahl der verschiedenen Blüte ist, die sich n teilt.
• Alle Dirichlet Charaktere sind völlig multiplicative Funktionen. Zum Beispiel
• (n/p), das Symbol von Legendre, betrachtet als eine Funktion von n, wo p eine feste Primzahl ist.

Ein Beispiel einer Non-Multiplicative-Funktion ist die arithmetische Funktion r (n) - die Zahl von Darstellungen von n als eine Summe von Quadraten von zwei ganzen Zahlen, positiv, negativ, oder Null, wo im Zählen der Zahl von Wegen der Umkehrung der Ordnung erlaubt wird. Zum Beispiel:

:1 = 1 + 0 = (-1) + 0 = 0 + 1 = 0 + (-1)

und deshalb r (1) = 4  1. Das zeigt, dass die Funktion nicht multiplicative ist. Jedoch r (n) ist/4 multiplicative.

In der Online-Enzyklopädie von Folgen der Ganzen Zahl haben Folgen von Werten einer Multiplicative-Funktion das Schlüsselwort "mult".

Sieh arithmetische Funktion für einige andere Beispiele von Non-Multiplicative-Funktionen.

Eigenschaften

Eine Multiplicative-Funktion wird durch seine Werte an den Mächten von Primzahlen, einer Folge des Hauptsatzes der Arithmetik völlig bestimmt. So, wenn n ein Produkt von Mächten der verschiedenen Blüte ist, sagen Sie n = p q..., dann

f (n) = f (p) f (q)...

Dieses Eigentum von Multiplicative-Funktionen reduziert bedeutsam das Bedürfnis nach der Berechnung, als in den folgenden Beispielen für n = 144 = 2 · 3:

: d (144) = (144) = (2) (3) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) (1 + 3 + 9) = 5 · 3 = 15,

: (144) = (144) = (2) (3) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) (1 + 3 + 9) = 31 · 13 = 403,

: (144) = (2) (3) = (1 + 16) (1 + 9) = 17 · 10 = 170.

Ähnlich haben wir:

: (144) = (2) (3) = 8 · 6 = 48

Im Allgemeinen, wenn f (n) eine Multiplicative-Funktion ist und a, b irgendwelche zwei positiven ganzen Zahlen, dann sind

:f (a) · f (b) = f (gcd (a, b)) · f (lcm (a, b)).

Jeder völlig multiplicative Funktion ist ein Homomorphismus von monoids und wird durch seine Beschränkung zu den Primzahlen völlig bestimmt.

Gehirnwindung

Wenn f und g zwei Multiplicative-Funktionen sind, definiert man eine neue Multiplicative-Funktion f * g, die Gehirnwindung von Dirichlet von f und g durch

:

wo sich die Summe über alle positiven Teiler d von n ausstreckt.

Mit dieser Operation verwandelt sich der Satz aller Multiplicative-Funktionen in eine abelian Gruppe; das Identitätselement ist.

Beziehungen unter den Multiplicative-Funktionen, die oben besprochen sind, schließen ein:

• * 1 = (die Inversionsformel von Möbius)
• (* Id) * Id = (hat Inversion von Möbius verallgemeinert)

• * 1 = Id
• d = 1 * 1

• = Id * 1 = * d

• = Id * 1
• Id = * 1 = *
• Id = *

Die Dirichlet Gehirnwindung kann für allgemeine arithmetische Funktionen definiert werden, und gibt eine Ringstruktur, den Ring von Dirichlet nach.

Reihe von Dirichlet für einige Multiplicative-Funktionen

Mehr Beispiele werden im Artikel über die Reihe von Dirichlet gezeigt.

Siehe auch

• Produkt von Euler
• Glockenreihe
• Reihe von Lambert
• Sieh Kapitel 2 von

Links

• Planet-Mathematik