In der Mathematik der Klassiker wurde Inversionsformel von Möbius in die Zahlentheorie während des 19. Jahrhunderts von August Ferdinand Möbius eingeführt.

Andere Möbius Inversionsformeln werden erhalten, wenn verschiedene lokale begrenzte teilweise bestellte Sätze den klassischen Fall der durch die Teilbarkeit bestellten natürlichen Zahlen ersetzen; auf eine Rechnung von denjenigen, sieh Vorkommen-Algebra.

Behauptung der Formel

Die klassische Version stellt das fest, wenn g (n) und f (n) arithmetische Funktionen sind, die befriedigen

:

dann

:

wo μ die Funktion von Möbius ist und sich die Summen über alle positiven Teiler d von n ausstrecken. Tatsächlich kann der ursprüngliche f (n) gegeben g (n) durch das Verwenden der Inversionsformel bestimmt werden. Wie man sagt, sind die zwei Folgen Möbius verwandelt sich einander.

Die Formel ist auch richtig, wenn f und g Funktionen von den positiven ganzen Zahlen in eine abelian Gruppe (angesehen als ein Z-Modul) sind.

Auf der Sprache von Gehirnwindungen von Dirichlet kann die erste Formel als geschrieben werden

:

wo * anzeigt, dass die Gehirnwindung von Dirichlet, und 1 die unveränderliche Funktion ist. Die zweite Formel wird dann als geschrieben

:

Viele spezifische Beispiele werden im Artikel über Multiplicative-Funktionen angeführt.

Wiederholte Transformationen

In Anbetracht einer arithmetischen Funktion kann man eine bi-infinite Folge anderer arithmetischer Funktionen erzeugen, indem man die erste Summierung wiederholt anwendet.

Zum Beispiel, wenn man mit der Totient-Funktion von Euler anfängt, und wiederholt den Transformationsprozess anwendet, herrscht man vor:

1. die totient fungieren
2. wo die Identitätsfunktion ist
3. , die Teiler-Funktion

Wenn die Startfunktion die Funktion von Möbius selbst ist, ist die Liste von Funktionen:

1. , Möbius fungieren
2. wo die Einheitsfunktion ist
3. , die unveränderliche Funktion
4. , wo die Zahl von Teilern von n ist, (sieh Teiler fungieren).

Beide dieser Listen von Funktionen strecken sich ungeheuer in beiden Richtungen aus. Die Möbius Inversionsformel ermöglicht diesen Listen, umgekehrt überquert zu werden. Die erzeugten Folgen können vielleicht leichter durch das Betrachten der entsprechenden Reihe von Dirichlet verstanden werden: Jede wiederholte Anwendung des Umgestaltens entspricht Multiplikation durch den Riemann zeta Funktion.

Generalisationen

Eine gleichwertige Formulierung der in combinatorics nützlicheren Inversionsformel ist wie folgt: Nehmen Sie F (x) an, und G (x) werden Funktionen Komplex-geschätzt, die auf dem solchem Zwischenraum dass definiert sind

:dann:

Hier strecken sich die Summen über alle positiven ganzen Zahlen n aus, die weniger sind als oder gleich x.

Das ist der Reihe nach ein spezieller Fall einer allgemeineren Form. Wenn eine arithmetische Funktion ist, die ein Gegenteil von Dirichlet, dann besitzt, wenn man definiert

:dann:

Die vorherige Formel entsteht im speziellen Fall der unveränderlichen Funktion, deren Gegenteil von Dirichlet ist.

Notation von Multiplicative

Da Möbius Inversion für jede abelian Gruppe gilt, macht sie keinen Unterschied, ob die Gruppenoperation als Hinzufügung oder als Multiplikation geschrieben wird. Das verursacht die folgende notational Variante der Inversionsformel:

:

\mbox {Wenn} F (n) = \prod_ {d|n} f (d), \mbox {dann} f (n) = \prod_ {d|n} F (n/d) ^ {\\mu (d)}. \,

</Mathematik>

Siehe auch

• Reihe von Lambert
• K. Irland, M Rosen. Eine klassische Einführung in die moderne Zahlentheorie, (1990) Springer-Verlag.