In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses E, angezeigt, gewöhnlich auf solche Art und Weise definiert, dass P die Axiome von Kolmogorov, genannt nach Andrey Kolmogorov befriedigt, die unten beschrieben werden.

Diese Annahmen können als zusammengefasst werden: Lassen Sie (Ω, F, P), ein Maß-Raum mit P (Ω) = 1 zu sein. Dann (Ω, F, P) ist ein Wahrscheinlichkeitsraum, mit dem Beispielraum Ω, Ereignis-Raum F und Wahrscheinlichkeit messen P.

Eine alternative Annäherung an das Formalisieren der Wahrscheinlichkeit, die von einem Bayesians bevorzugt ist, wird durch den Lehrsatz von Cox gegeben.

Das erste Axiom

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine nichtnegative reelle Zahl:

:

wo der Ereignis-Raum ist und jedes Ereignis darin ist. Insbesondere ist immer im Vergleich mit der allgemeineren Maß-Theorie begrenzt.

Das zweite Axiom

Das ist die Annahme des Einheitsmaßes: Dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein elementares Ereignis im kompletten Beispielraum vorkommen wird, 1 ist. Mehr spezifisch gibt es keine elementaren Ereignisse außerhalb des Beispielraums.

:.

Das wird häufig in einigen falschen Wahrscheinlichkeitsberechnungen überblickt; wenn Sie den ganzen Beispielraum nicht genau definieren können, dann kann die Wahrscheinlichkeit jeder Teilmenge nicht auch definiert werden.

Das dritte Axiom

Das ist die Annahme

σ-additivity:

: Jede zählbare Folge von pairwise zusammenhanglos (synonymisch mit dem gegenseitig exklusiven) Ereignisse befriedigt

::

Einige Autoren denken bloß begrenzt zusätzliche Wahrscheinlichkeitsräume, in welchem Fall man gerade eine Algebra von Sätzen, aber nicht σ-algebra. braucht

Folgen

Von den Axiomen von Kolmogorov kann man andere nützliche Regeln ableiten, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Monomuskeltonus

:

Die Wahrscheinlichkeit des leeren Satzes

:

Das gebundene numerische

Es folgt sofort aus dem Monomuskeltonus-Eigentum das

:

Beweise

Die Beweise dieser Eigenschaften sind sowohl interessant als auch aufschlussreich. Sie illustrieren die Macht des dritten Axioms,

und seine Wechselwirkung mit den restlichen zwei Axiomen. Wenn sie axiomatische Wahrscheinlichkeitstheorie studieren, folgen viele tiefe Folgen bloß aus diesen drei Axiomen.

Um das Monomuskeltonus-Eigentum nachzuprüfen, gehen wir unter und,

wo dafür. Es ist leicht, dass die Sätze zu sehen

sind pairwise zusammenhanglos und. Folglich,

wir erhalten vom dritten Axiom das

:

Da die linke Seite dieser Gleichung eine Reihe von nichtnegativen Zahlen ist, und dass es zu zusammenläuft

der begrenzt ist, erhalten wir beide und.

Der zweite Teil der Behauptung wird durch den Widerspruch gesehen: Wenn dann die linke Seite nicht weniger ist als

:

Wenn dann wir einen Widerspruch erhalten, weil die Summe nicht zu weit geht, der begrenzt ist. So. Wir haben als ein Nebenprodukt des Beweises des Monomuskeltonus das gezeigt.

Mehr Folgen

Ein anderes wichtiges Eigentum ist:

:

Das wird das Hinzufügungsgesetz der Wahrscheinlichkeit oder die Summe-Regel genannt.

D. h. die Wahrscheinlichkeit, dass A oder B geschehen werden, ist die Summe des

Wahrscheinlichkeiten, dass A geschehen wird, und dass B minus der geschehen wird

Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B geschehen werden. Das kann zum Einschließungsausschluss-Grundsatz erweitert werden.

:

D. h. die Wahrscheinlichkeit, dass jedes Ereignis nicht geschehen wird, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass es wird.

Siehe auch

• Der Lehrsatz des Steuermannes
• Gesetz der Gesamtwahrscheinlichkeit
• Maß-Theorie
• Algebra von Borel

• σ-Algebra
• Wahrscheinlichkeitstheorie
• Mengenlehre
• Bedingte Wahrscheinlichkeit

Weiterführende Literatur

• Von Plato, Jan, 2005, "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" in Grattan-Guinness, I., Hrsg., Merklichen Schriften in der Westmathematik. Elsevier: 960-69. (in Englisch)

Links

• Das Vermächtnis des Lebenslaufs von Andrei Nikolaevich Kolmogorov und der Lebensbeschreibung. Schule von Kolmogorov. Doktorstudenten und Nachkommen von A.N. Kolmogorov. Arbeiten von A.N. Kolmogorov, Bücher, Zeitungen, Artikel. Fotographien und Bildnisse von A.N. Kolmogorov.
• Kolmogorov `s Wahrscheinlichkeitsrechnung, Enzyklopädie von Stanford der Philosophie