In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Ereignis eine Reihe von Ergebnissen (eine Teilmenge des Beispielraums), dem eine Wahrscheinlichkeit zugeteilt wird. Gewöhnlich, wenn der Beispielraum begrenzt ist, ist jede Teilmenge des Beispielraums ein Ereignis (d. h. alle Elemente des Macht-Satzes des Beispielraums werden als Ereignisse definiert). Jedoch arbeitet diese Annäherung gut in Fällen nicht, wo der Beispielraum am meisten namentlich unzählbar unendlich ist, wenn das Ergebnis eine reelle Zahl ist. Also, wenn man einen Wahrscheinlichkeitsraum definiert, ist es möglich, und häufig notwendig, um bestimmte Teilmengen des Beispielraums davon auszuschließen, Ereignisse zu sein (sieh Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsräumen, unten).

Ein einfaches Beispiel

Wenn wir ein Deck von 52 Spielkarten ohne Spaßvögel sammeln, und eine einzelne Karte vom Deck ziehen, dann ist der Beispielraum ein 52-Elemente-Satz, wie jede Karte ein mögliches Ergebnis ist. Ein Ereignis ist jedoch jede Teilmenge des Beispielraums, einschließlich jedes Singleton-Satzes (ein elementares Ereignis), der leere Satz (ein unmögliches Ereignis, mit der Wahrscheinlichkeitsnull) und des Beispielraums selbst (ein bestimmtes Ereignis, mit der Wahrscheinlichkeit eine). Andere Ereignisse sind richtige Teilmengen des Beispielraums, die vielfache Elemente enthalten. Also, zum Beispiel schließen potenzielle Ereignisse ein:

• "Rot und schwarz zur gleichen Zeit, ohne ein Spaßvogel" (0 Elemente), zu sein
• "5 von Herzen" (1 Element),
• "Ein König" (4 Elemente),
• "Eine Gesichtskarte" (12 Elemente),
• "Ein Spaten" (13 Elemente),
• "Eine Gesichtskarte oder eine rote Klage" (32 Elemente),
• "Eine Karte" (52 Elemente).

Da alle Ereignisse Sätze sind, werden sie gewöhnlich als Sätze (z.B {1, 2, 3}) geschrieben, und haben grafisch Verwenden-Venn-Diagramme vertreten. In Anbetracht dessen, dass jedes Ergebnis im Beispielraum Ω ebenso wahrscheinlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A

diese Regel kann auf jedes der Beispiel-Ereignisse oben sogleich angewandt werden.

Ereignisse in Wahrscheinlichkeitsräumen

Das Definieren aller Teilmengen des Beispielraums als Ereignisse arbeitet gut, wenn es nur begrenzt viele Ergebnisse gibt, aber verursacht Probleme, wenn der Beispielraum unendlich ist. Für vielen Standardwahrscheinlichkeitsvertrieb, wie die Normalverteilung, ist der Beispielraum der Satz von reellen Zahlen oder eine Teilmenge der reellen Zahlen. Versuche, Wahrscheinlichkeiten für alle Teilmengen der reellen Zahlen zu definieren, geraten in Schwierigkeiten, wenn man 'schlecht benommene' Sätze, wie diejenigen denkt, die nichtmessbar sind. Folglich ist es notwendig, Aufmerksamkeit auf eine mehr beschränkte Familie von Teilmengen einzuschränken. Für die Standardwerkzeuge der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie gemeinsame und bedingte Wahrscheinlichkeiten, um zu arbeiten, ist es notwendig, σ-algebra, d. h. eine Familie zu verwenden, die unter der Fertigstellung und den zählbaren Vereinigungen seiner Mitglieder geschlossen ist. Die natürlichste Wahl ist die messbare Menge von Borel ist auf Vereinigungen und Kreuzungen von Zwischenräumen zurückzuführen gewesen. Jedoch erweist sich die größere Klasse von messbaren Mengen von Lebesgue nützlicher in der Praxis.

In der allgemeinen mit dem Maß theoretischen Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsräumen kann ein Ereignis als ein Element eines ausgewählten σ-algebra von Teilmengen des Beispielraums definiert werden. Laut dieser Definition ist jede Teilmenge des Beispielraums, der nicht ein Element des σ-algebra ist, nicht ein Ereignis, und hat keine Wahrscheinlichkeit. Mit einer angemessenen Spezifizierung des Wahrscheinlichkeitsraums, jedoch, sind alle Ereignisse von Interesse Elemente des σ-algebra.

Ein Zeichen auf der Notation

Wenn auch Ereignisse Teilmengen von einem Beispielraum Ω sind, werden sie häufig als Satzformeln geschrieben, die zufällige Variablen einschließen. Zum Beispiel, wenn X eine reellwertige zufällige Variable ist, die auf dem Beispielraum Ω, das Ereignis definiert ist

kann günstiger als, einfach, geschrieben werden

Das ist in Formeln für eine Wahrscheinlichkeit wie besonders üblich

Der Satz u wenn und nur wenn

Siehe auch

• Ergänzungsereignis
• Elementares Ereignis

Referenzen