Das Gesetz von Stefan-Boltzmann, auch bekannt als das Gesetz von Stefan, stellen fest, dass die Gesamtenergie, die pro Einheitsfläche eines schwarzen Körpers pro Einheitszeit (auch bekannt als das Ausstrahlen des schwarzen Körpers oder die emissive Macht), j ausgestrahlt ist, zur vierten Macht der thermodynamischen Temperatur des schwarzen Körpers T (auch genannt absolute Temperatur) direkt proportional ist:

:

Die Konstante der Proportionalität σ, genannt den Stefan-Boltzmann die Konstante des unveränderlichen oder Stefans, ist auf andere bekannte Konstanten der Natur zurückzuführen. Der Wert der Konstante ist

:

\sigma =\frac {2\pi^5 k^4} {15c^2h^3} = 5.670 400 \times 10^ {-8 }\\, \mathrm {J \, s^ {-1} m^ {-2} K^ {-4}},

</Mathematik>

wo k der unveränderliche Boltzmann ist, ist h die Konstante von Planck, und c ist die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Vakuum. So an 100 K ist die Energiestrom-Dichte 5.67 W/m, an 1000 K 56,700 W/m usw.

Ein Körper, der die ganze Ereignis-Radiation nicht absorbiert (manchmal bekannt als ein grauer Körper) strahlt weniger Gesamtenergie aus als ein schwarzer Körper und wird durch ein Emissionsvermögen charakterisiert,

:

Das Ausstrahlen j hat Dimensionen des Energiestroms (Energie pro Zeit pro Gebiet), und die SI-Einheiten des Maßes sind Joule pro Sekunde pro Quadratmeter, oder gleichwertig, Watt pro Quadratmeter. Die SI-Einheit für die absolute Temperatur T ist der kelvin. ist das Emissionsvermögen des grauen Körpers; wenn es ein vollkommener blackbody ist. Noch im allgemeineren (und realistisch) Fall hängt das Emissionsvermögen von der Wellenlänge ab.

Die absolute Gesamtmacht der Energie zu finden, hat für einen Gegenstand ausgestrahlt wir müssen die Fläche, (in m) in Betracht ziehen:

:

Das Gesetz wurde von Jožef Stefan (1835-1893) 1879 auf der Grundlage von experimentellen Maßen abgeleitet, die von John Tyndall gemacht sind, und wurde aus theoretischen Rücksichten, mit der Thermodynamik, von Ludwig Boltzmann (1844-1906) 1884 abgeleitet. Boltzmann hat einen bestimmten idealen Hitzemotor mit dem Licht als eine Arbeitssache statt Benzins gedacht. Das Gesetz ist nur für ideale schwarze Gegenstände, die vollkommenen Heizkörper gültig, hat schwarze Körper genannt. Stefan hat dieses Gesetz im Artikel Über veröffentlicht sterben Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Auf der Beziehung zwischen Thermalradiation und Temperatur) in den Meldungen von den Sitzungen der Wiener Akademie von Wissenschaften.

Abstammung des Gesetzes von Stefan-Boltzmann

Integration der Intensitätsabstammung

Das Gesetz kann durch das Betrachten einer kleinen flachen schwarzen Körperoberfläche abgeleitet werden, die in einen Halbbereich ausstrahlt. Diese Abstammung verwendet kugelförmige Koordinaten, mit φ als der Zenit-Winkel und θ als der scheitelwinklige Winkel; und die kleine Wohnung blackbody Oberfläche liegt auf dem xy-plane, wo φ =/.

Die Intensität des von der Blackbody-Oberfläche ausgestrahlten Lichtes wird durch das Gesetz von Planck gegeben:

::

:where

:* ist der Betrag der Energie pro Einheitsfläche pro Einheitszeit pro Einheitsraumwinkel, der in der Frequenzreihe zwischen ν und ν + dν durch einen schwarzen Körper bei der Temperatur T ausgestrahlt ist

:* ist der unveränderliche von Planck

:* ist die Geschwindigkeit des Lichtes und

der

:* ist die Konstante von Boltzmann.

Die Menge ist die Macht, die durch eine Oberfläche des Gebiets durch einen Raumwinkel dΩ in der Frequenzreihe ausgestrahlt ist.

Das Gesetz von Stefan-Boltzmann gibt die Macht, die pro Einheitsgebiet des Ausstrahlen-Körpers, ausgestrahlt ist

::

Um das Gesetz von Stefan-Boltzmann abzuleiten, müssen wir Ω über den Halbbereich integrieren und ν von 0 bis  integrieren. Außerdem, weil schwarze Körper Lambertian sind (d. h. sie dem Kosinus-Gesetz von Lambert folgen), wird die entlang dem Bereich beobachtete Intensität die wirklichen Intensitätszeiten sein der Kosinus des Zenits biegt φ, und in kugelförmigen Koordinaten, dΩ = Sünde (φ) dφ dθ um.

::

\begin {richten }\aus

\frac {P} & = \int_0^\\infty I (\nu, T) \, d\nu \int_0^ {2\pi} \, d\theta \int_0^ {\\Pi/2} \cos \phi \sin \phi \, d\phi \\

& = \pi \int_0^\\infty I (\nu, T) \, d\nu

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann stecken wir weil ich ein:

::

Um dieses Integral zu tun, tun Sie einen Ersatz,

::::

der gibt:

:

Das Integral kann rechts auf mehrere Weisen getan werden (einer wird in den Anhang dieses Artikels eingeschlossen) - seine Antwort ist π/15, das Ergebnis gebend, die, für einen vollkommenen blackbody erscheinen:

:

Schließlich hat dieser Beweis nur das Betrachten einer kleinen flachen Oberfläche begonnen. Jedoch kann jeder Differentiable-Oberfläche durch ein Bündel von kleinen flachen Oberflächen näher gekommen werden. So lange die Geometrie der Oberfläche den blackbody nicht veranlasst, seine eigene Radiation wiederzuabsorbieren, ist die ausgestrahlte Gesamtenergie gerade die Summe der durch jede Oberfläche ausgestrahlten Energien; und die Gesamtfläche ist gerade die Summe der Gebiete jeder Oberfläche — so hält dieses Gesetz für den ganzen konvexen blackbodies auch, so lange die Oberfläche dieselbe Temperatur überall hat.

Thermodynamische Abstammung

Die Tatsache, dass die Energiedichte des Kastens, der Radiation enthält, dazu proportional ist, kann mit der Thermodynamik abgeleitet werden. Es folgt aus klassischer Elektrodynamik, dass der Strahlendruck mit der inneren Energiedichte verbunden ist:

:

Die innere Gesamtenergie des Kastens, der Radiation enthält, kann so als geschrieben werden:

:

Das Einfügen davon in der grundsätzlichen thermodynamischen Beziehung

:

Erträge

:

so

:

Diese Gleichung kann verwendet werden, um eine Beziehung von Maxwell abzuleiten. Von der obengenannten Gleichung kann es dass gesehen werden:

:und:

Die Symmetrie der zweiten Ableitungen hinsichtlich und bezieht dann ein:

:

Weil der Druck zur inneren Energiedichte proportional ist, hängt es nur von der Temperatur und nicht vom Volumen ab. In der Ableitung auf der rechten Seite ist die Temperatur so eine Konstante. Das Auswerten der Ableitungen gibt die Differenzialgleichung:

:

Das kann durch die Integrierung in Bezug auf T gelöst werden, um zu geben

:

Das bezieht das ein

:

Beispiele

Temperatur der Sonne

Mit seinem Gesetz hat Stefan auch die Temperatur der Oberfläche der Sonne bestimmt. Er hat von den Daten von Charles Soret (1854-1904) erfahren, dass die Energiestrom-Dichte von der Sonne 29mal größer ist als die Energiestrom-Dichte eines gewärmten Metallblättchens. Ein rundes Blättchen wurde in solch einer Entfernung vom Messgerät gelegt, dass es in demselben Winkel wie die Sonne gesehen würde. Soret hat geschätzt, dass die Temperatur des Blättchens etwa 1900 °C zu 2000 °C war. Stefan hat vermutet, dass ⅓ des Energiestroms von der Sonne von der Atmosphäre der Erde gefesselt sind, so hat er für den Energiestrom der richtigen Sonne einen Wert 3/2 Zeiten größer, nämlich 29 &times genommen; 3/2 = 43.5.

Genaue Maße der atmosphärischen Absorption wurden bis 1888 und 1904 nicht gemacht. Die Temperatur, die Stefan erhalten hat, war ein Mittelwert vorheriger, 1950 °C und des Absoluten thermodynamisch 2200 K. Als 2.57 = 43.5 folgt es aus dem Gesetz, dass die Temperatur der Sonne 2.57mal größer ist als die Temperatur eines Blättchens, so hat Stefan einen Wert von 5430 °C bekommen oder 5700 K (der moderne Wert 5778 K ist). Das war der erste vernünftige Wert für die Temperatur der Sonne. Davor wurden Werte im Intervall von mindestens 1800 °C zu nicht weniger als 13,000,000 °C gefordert. Der niedrigere Wert von 1800 °C wurde von Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) 1838 das Verwenden des Dulong-Petit Gesetzes bestimmt. Pouilet hat auch gerade Hälfte des Werts des richtigen Energiestroms der Sonne genommen.

Temperatur von Sternen

Der Temperatur von Sternen außer der Sonne kann mit einem ähnlichen Mittel durch das Behandeln der ausgestrahlten Energie als eine schwarze Körperradiation näher gekommen werden. So:

:

wo L die Lichtstärke ist, ist σ der unveränderliche Stefan-Boltzmann, R ist der Sternradius, und T ist die wirksame Temperatur. Diese dieselbe Formel kann verwendet werden, um den ungefähren Radius eines Hauptfolge-Sterns hinsichtlich der Sonne zu schätzen:

:

wo, der Sonnenradius und so weiter ist.

Mit dem Gesetz von Stefan-Boltzmann können Astronomen die Radien von Sternen leicht ableiten. Das Gesetz wird auch in der Thermodynamik von schwarzen Löchern in der so genannten Jagenden Radiation entsprochen.

Temperatur der Erde

Ähnlich können wir die wirksame Temperatur der Erde T berechnen, indem wir die Energie ausgleichen, die von der Sonne und der Energie erhalten ist, die durch die Erde unter der Annäherung des schwarzen Körpers ausgestrahlt ist. Durch den Betrag der Energie, E, ausgestrahlt durch die Sonne wird gegeben:

:

E_S = 4\pi r_S^2 \sigma T_S^4

</Mathematik>

An der Erde führt diese Energie einen Bereich mit einem Radius von a, der Entfernung zwischen der Erde und der Sonne durch, und die Energie, die jeden Quadratmeter des Bereichs durchführt, wird durch gegeben

:

E_ {a_0} = \frac {E_S} {4\pi a_0^2 }\

</Mathematik>

Die Erde hat einen Radius von r, und hat deshalb einen Querschnitt dadurch. Durch den Betrag der von der Erde gefesselten Sonnenenergie wird so gegeben:

:

E_ {abs} = \pi r_E^2 \times E_ {a_0 }\

: </Mathematik>

Der Betrag der ausgestrahlten Energie muss dem Betrag der Energie absorbiert, und so gleichkommen:

:\begin {richten }\aus

4\pi r_E^2 \sigma T_E^4 &= \pi r_E^2 \times E_ {a_0} \\

&= \pi r_E^2 \times \frac {4\pi r_S^2\sigma T_S^4} {4\pi a_0^2} \\

\end {richten }\aus</Mathematik>

T kann dann gefunden werden:

:\begin {richten }\aus

T_E^4 &= \frac {r_S^2 T_S^4} {4 a_0^2} \\

T_E &= T_S \times \sqrt\frac {r_S} {2 a_0} \\

& = 5780 \; {\\rm K\\times \sqrt {696 \times 10^ {6} \; {\\rm m\\over 2 \times 149.598 \times 10^ {9} \; {\\rm m\} \\

& \approx 279 \; {\\rm K }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

wo T die Temperatur der Sonne, r der Radius der Sonne ist, und der Entfernung zwischen der Erde und der Sonne zu sein. Das gibt eine wirksame Temperatur 6°C auf der Oberfläche der Erde, annehmend, dass es vollkommen die ganze Emission absorbiert, die darauf fällt, und keine Atmosphäre hat.

Die Erde hat einen Rückstrahlvermögen 0.3, bedeutend, dass 30 % der Sonnenstrahlung, die den Planeten schlägt, gestreut zurück in den Raum ohne Absorption werden. Der Wirkung des Rückstrahlvermögens auf der Temperatur kann durch das Annehmen näher gekommen werden, dass die absorbierte Energie mit 0.7 multipliziert wird, aber dass der Planet noch als ein schwarzer Körper ausstrahlt (die Letzteren definitionsgemäß der wirksamen Temperatur, die ist, was wir berechnen). Diese Annäherung reduziert die Temperatur durch einen Faktor 0.7, 255 K (&minus;18 °C) gebend.

Jedoch wird die Langwellenradiation von der Oberfläche der Erde teilweise widerspiegelt (oder absorbiert und wiederausgestrahlt treten zurück) in der Atmosphäre, anstatt weg, durch Treibhausgase, nämlich Wasserdampf, Kohlendioxyd und Methan ausgestrahlt zu werden. Da das Emissionsvermögen mit dem Treibhauseffekt (hat mehr in den längeren Wellenlängen beschwert, wo die Erde ausstrahlt), mehr reduziert wird als die Aufnahmefähigkeit (hat mehr in den kürzeren Wellenlängen der Radiation der Sonne beschwert) wird reduziert, die Gleichgewicht-Temperatur ist höher als die einfachen Berechnungsschätzungen des schwarzen Körpers. Infolgedessen ist die wirkliche durchschnittliche Oberflächentemperatur der Erde ungefähr 288 K (14 °C), der höher ist als die 255 K wirksame Temperatur, und noch höher als die 279 K Temperatur, die ein schwarzer Körper haben würde.

Anhang

In einer der obengenannten Abstammungen ist das folgende Integral erschienen:

:

wo die Polylogarithmus-Funktion ist und der Riemann zeta Funktion ist. Wenn die Polylogarithmus-Funktion und der Riemann zeta Funktion für die Berechnung nicht verfügbar sind, gibt es mehrere Weisen, diese Integration zu tun; ein einfacher wird im Anhang des Gesetzartikels von Planck gegeben. Dieser Anhang tut das Integral durch die Kontur-Integration. Denken Sie die Funktion:

:

Mit der Vergrößerung von Taylor der Sinusfunktion sollte es offensichtlich sein, dass der Koeffizient des K-Begriffes genau-J/6 sein würde.

Indem

wir beide Seiten in Mächten dessen ausbreiten, sehen wir, dass das minus 6mal der Koeffizient von der Reihenentwicklung dessen ist. Also, wenn wir eine geschlossene Form für f (k) finden können, wird seine Vergrößerung von Taylor J geben.

Der Reihe nach ist Sünde (x) der imaginäre Teil von e, so können wir das als neu formulieren:

:

f (k) = \lim_ {\\varepsilon\rightarrow 0\~ \text {Im} ~ \int_\varepsilon^\\infty \frac {\\exp\left (ikx\right)} {\\exp\left (x\right)-1} \, dx.

</Mathematik>

Um das Integral in dieser Gleichung zu bewerten, betrachten wir die Kontur als integriert:

:

\oint_ {C (\varepsilon, R) }\\frac {\\exp\left (ikz\right)} {\\exp\left (z\right)-1} \, dz

</Mathematik>

wo die Kontur von zu, dann zu, dann dazu ist, dann gehen wir zum Punkt, den Pol an durch die Einnahme im Uhrzeigersinn Viertel-Kreis mit dem Radius und Zentrum vermeidend. Von dort gehen wir zu, und schließlich kehren wir zurück zu, den Pol an der Null vermeidend, indem wir im Uhrzeigersinn Viertel-Kreis mit dem Radius und der Zentrum-Null nehmen.

Weil es keine Pole in der Integrationskontur gibt, haben wir:

:

\oint_ {C (\varepsilon, R) }\\frac {\\exp\left (ikz\right)} {\\exp\left (z\right)-1} \, dz = 0.

</Mathematik>

Wir nehmen jetzt die Grenze. In dieser Grenze neigt der Beitrag vom Segment von dazu zur Null. Die Einnahme zusammen der Integrationen über die Segmente von zu und von zu und das Verwenden der Tatsache, dass die Integrationen im Uhrzeigersinn Viertel-Kreise withradius über einfache Pole bis zur Ordnung durch minus Zeiten die Rückstände an den Polen gegeben werden, die wir finden:

:

\left [1-\exp\left (-2\pi k\right) \right] \int_\varepsilon^\\infty \frac {\\exp\left (ikx\right)} {\\exp\left (x\right)-1} \, dx = ich \int_\varepsilon^ {2\pi-\varepsilon} \frac {\\exp\left (-ky\right)} {\\exp\left (iy\right)-1} \, dy + i\frac {\\Pi} {2 }\\ist [1 + \exp \left (-2\pi k\right) \right] + \mathcal {O} \left (\varepsilon\right) \qquad \text {(1) }\abgereist

</Mathematik>

Die linke Seite ist die Summe des Integrals von zu und von dazu. Wir können den integrand des Integrals auf dem r.h.s. wie folgt umschreiben:

:

\frac {1} {\\exp\left (iy\right)-1} = \frac {\\exp\left (-i\frac {y} {2 }\\Recht)} {\\exp \left (ich \frac {y} {2 }\\Recht) - \exp\left (-i\frac {y} {2 }\\Recht)} = \frac {1} {2i} \frac {\\exp\left (-i\frac {y} {2 }\\Recht)} {\\sin\left (\frac {y} {2 }\\Recht) }\

</Mathematik>

Wenn wir jetzt den imaginären Teil von beiden Seiten von Eq nehmen. (1) und nehmen die Grenze, die wir finden:

:</Mathematik>

nach dem Verwenden der Beziehung:

:

Das Verwenden, durch das die Reihenentwicklung dessen gegeben wird:

:

\coth (x) = \frac {1} {x} + \frac {1} {3} x-\frac {1} {45} x^ {3} + \cdots

</Mathematik>

wir sehen, dass der Koeffizient der Reihenentwicklung dessen ist. Das deutet dann dass und das Ergebnis an

:

folgt.

Thermalhyperleitvermögen

Metamaterials kann entworfen werden, um das Gesetz von Stefan-Boltzmann zu überschreiten.

Siehe auch

• Das Versetzungsgesetz von Wien
• Rayleigh-Jeans-Gesetz
• Strahlen
• Nulldimensionale Modelle
• Schwarzer Körper
• Sakuma-Hattori Gleichung

Referenzen

• Stefan, J.: Über sterben Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, in: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391-428.
• Boltzmann, L.: Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend sterben Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie, in: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22 (1884), S. 291-294