Der Vertrieb von Pareto, genannt nach dem italienischen Wirtschaftswissenschaftler Vilfredo Pareto, ist ein Macht-Gesetzwahrscheinlichkeitsvertrieb, der mit sozialem, wissenschaftlichem, geophysikalischem, versicherungsstatistischem, und viele andere Typen von erkennbaren Phänomenen zusammenfällt. Außerhalb des Feldes der Volkswirtschaft wird es manchmal den Vertrieb von Bradford genannt.

Definition

Wenn X eine zufällige Variable mit Pareto (Typ I) Vertrieb ist, dann wird die Wahrscheinlichkeit, die X größer ist als eine Nummer x, d. h. die Überleben-Funktion (auch genannt Schwanz-Funktion), durch gegeben

:

\left (\frac {x_\mathrm {M}} {x }\\Recht) ^\\Alpha & \text {für} x\ge x_\mathrm {M}, \\

1 & \text {für} x

wo x (notwendigerweise positiv) minimaler möglicher Wert von X ist, und α ein positiver Parameter ist. Der Pareto Vertrieb des Typs I wird durch einen Skala-Parameter x und einen Gestalt-Parameter α charakterisiert, der als der Schwanz-Index bekannt ist. Wenn dieser Vertrieb verwendet wird, um die Vermögensverteilung zu modellieren, dann wird der Parameter α den Index von Pareto genannt.

Eigenschaften

Kumulative Vertriebsfunktion

Aus der Definition, der kumulativen Vertriebsfunktion von Pareto ist die zufällige Variable mit Rahmen α und x

:

1-\left (\frac {x_\mathrm {M}} {x }\\Recht) ^\\Alpha & \text {für} x \ge x_\mathrm {M}, \\

0 & \text {für} x

Wenn geplant, auf geradlinigen Äxten nimmt der Vertrieb die vertraute J-Shaped-Kurve an, die sich jeder der orthogonalen Äxte asymptotisch nähert. Alle Segmente der Kurve sind (Thema selbstähnlich, um Skalenfaktoren zu verwenden). Wenn geplant, in einem Anschlag des Klotz-Klotzes wird der Vertrieb durch eine Gerade vertreten.

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Es folgt (durch die Unterscheidung), dass die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion ist

:

Momente und charakteristische Funktion

• Der erwartete Wert einer zufälligen Variable im Anschluss an einen Vertrieb von Pareto mit α> 1 ist

:

::

:

: (wenn α  1 besteht der erwartete Wert nicht).

• Die Abweichung einer zufälligen Variable im Anschluss an einen Vertrieb von Pareto mit α> 2 ist

::::

: (Wenn α  2 besteht die Abweichung nicht.)

• Die rohen Momente sind

::::

: aber der n-te Moment besteht nur für n

• Die charakteristische Funktion wird durch gegeben

::::

: wo Γ (a, x) die unvollständige Gammafunktion ist.

Degenerierter Fall

Die Dirac Delta-Funktion ist ein Begrenzungsfall der Dichte von Pareto:

:

Bedingter Vertrieb

Der bedingte Wahrscheinlichkeitsvertrieb einer Pareto-verteilten zufälligen Variable, in Anbetracht des Ereignisses, dass es größer oder gleich einer besonderen Nummer x ist, die x zu weit geht, ist ein Vertrieb von Pareto mit demselben Index von Pareto α, aber mit dem Minimum x statt x.

Ein Charakterisierungslehrsatz

Denken Sie X, ich = 1, 2, 3, bin... unabhängige identisch verteilte zufällige Variablen, deren Wahrscheinlichkeitsvertrieb auf dem Zwischenraum x,  für einen x> 0 unterstützt wird. Nehmen Sie an, dass für den ganzen n die zwei zufälligen Variable-Minuten {X..., X} und (X +... + X) / Minute {X..., X} unabhängig sind. Dann ist der allgemeine Vertrieb ein Vertrieb von Pareto.

Verallgemeinerter Pareto Vertrieb

Es gibt eine Hierarchie des Vertriebs von Pareto bekannt als Pareto Typ I, II, III, IV und Feller-Pareto Vertrieb. Pareto Typ IV enthält Pareto Typ I und II als spezielle Fälle. Der Feller-Pareto Vertrieb verallgemeinert Pareto Typ IV.

Pareto Typen I-IV

Die Pareto Vertriebshierarchie wird im Tisch zusammengefasst, der die Überleben-Funktionen (ergänzender CDF) vergleicht. Der Pareto Vertrieb der zweiten Art ist auch bekannt als der Vertrieb von Lomax.

Der Gestalt-Parameter α ist der Schwanz-Index, μ ist Position, σ ist Skala, γ ist ein Ungleichheitsparameter. Einige spezielle Fälle des Pareto Typs (IV) sind:

:: und

::

Die Existenz des bösartigen, und Abweichung hängt vom Schwanz-Index α (Ungleichheitsindex γ) ab. Insbesondere Bruch-δ-moments bestehen für einen δ> 0, wie gezeigt, im Tisch unten, wo δ nicht notwendigerweise eine ganze Zahl ist.

Feller-Pareto Vertrieb

Feller definiert eine Variable von Pareto durch die Transformation U = Y − 1 eines Betas zufällige Variable Y, dessen Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion ist

::

</Mathematik>

wo B die Beta-Funktion ist. Wenn

::

dann hat W einen Feller-Pareto Vertrieb FP (μ, σ, γ, γ, γ).

Wenn und unabhängige Gammavariablen sind, ist ein anderer Aufbau einer Variable von Feller-Pareto (FP)

:

und wir schreiben W ~ FP (μ, σ, γ, δ, δ). Spezielle Fälle des Feller-Pareto Vertriebs sind

Anwendungen

Pareto hat ursprünglich diesen Vertrieb verwendet, um die Zuteilung des Reichtums unter Personen zu beschreiben, seitdem es geschienen ist, eher gut die Weise zu zeigen, wie ein größerer Teil des Reichtums jeder Gesellschaft von einem kleineren Prozentsatz der Leute in dieser Gesellschaft im Besitz ist. Er hat es auch verwendet, um Vertrieb des Einkommens zu beschreiben. Diese Idee wird manchmal einfacher als der Grundsatz von Pareto oder die "80-20 Regel" ausgedrückt, die sagt, dass 20 % der Bevölkerung 80 % des Reichtums kontrollieren. Jedoch entspricht die 80-20 Regel einem besonderen Wert von α, und tatsächlich, die Daten von Pareto auf britischen Einkommensteuern in seinem Cours d'économie zeigt politique an, dass ungefähr 30 % der Bevölkerung ungefähr 70 % des Einkommens hatten. Der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion (PDF) am Anfang dieses Artikels zeigt, dass die "Wahrscheinlichkeit" oder der Bruchteil der Bevölkerung, die einen kleinen Betrag des Reichtums pro Person besitzt, ziemlich hoch sind, und dann fest abnehmen, als Reichtum zunimmt. Dieser Vertrieb wird auf das Beschreiben des Reichtums oder Einkommens, aber auf viele Situationen nicht beschränkt, in denen ein Gleichgewicht im Vertrieb des "kleinen" zum "großen" gefunden wird. Die folgenden Beispiele werden manchmal, wie ungefähr Pareto-verteilt, gesehen:

• Die Größen von menschlichen Ansiedlungen (wenige Städte, viele kleine Dörfer/Dörfer)
• Der Dateigröße-Vertrieb des Internetverkehrs, der das TCP Protokoll (viele kleinere Dateien, wenige größere) verwendet
• Festplatte-Fehlerraten
• Trauben von Kondensat von Bose-Einstein in der Nähe von der absoluten Null
• Die Werte von Ölreserven in Ölfeldern (einige große Felder, viele kleine Felder)
• Der Länge-Vertrieb in Jobs hat Supercomputer (einige große, viele kleine) zugeteilt
• Der standardisierte Preis kehrt auf individuellen Lagern zurück
• Größen von Sand-Partikeln
• Größen von Meteorsteinen
• Zahlen der Arten pro Klasse (Gibt es beteiligte Subjektivität: Die Tendenz, eine Klasse in zwei oder mehr Zunahmen mit der Zahl der Arten darin zu teilen)

,

• Im Wald verbrannte Gebiete zünden an
• Strenge von großen Unfall-Verlusten für bestimmte Branchen wie allgemeine Verbindlichkeit, kommerzielles Auto und Arbeiter-Entschädigung.
• In der Hydrologie wird der Vertrieb von Pareto auf äußerste Ereignisse wie jährlich maximale eintägige Niederschläge und Flussentladungen angewandt. Das blaue Bild illustriert ein Beispiel, den Vertrieb von Pareto an aufgereihte jährlich maximale eintägige Niederschläge zu passen, die auch den auf dem binomischen Vertrieb gestützten 90-%-Vertrauensriemen zeigen. Die Niederschlag-Daten werden durch das Plotten von Positionen als ein Teil der kumulativen Frequenzanalyse vertreten.

Beziehung zu anderem Vertrieb

Beziehung zum Exponentialvertrieb

Der Pareto Vertrieb ist mit dem Exponentialvertrieb wie folgt verbunden. Wenn X mit dem Minimum x und Index α, dann Pareto-verteilt wird

:

wird mit der Intensität (Rate-Parameter) α exponential verteilt. Gleichwertig, wenn Y mit der Intensität α, dann exponential verteilt wird

:

wird mit dem Minimum x und Index α Pareto-verteilt.

Das kann mit der Standardänderung von variablen Techniken gezeigt werden:

:

Der letzte Ausdruck ist die kumulative Vertriebsfunktion eines Exponentialvertriebs mit der Intensität α.

Beziehung zum Lognormalvertrieb

Bemerken Sie, dass der Vertrieb von Pareto und Lognormalvertrieb alternativer Vertrieb sind, für dieselben Typen von Mengen zu beschreiben. Eine der Verbindungen zwischen den zwei ist, dass sie beide der Vertrieb der Exponential-von zufälligen Variablen sind, die gemäß anderem allgemeinem Vertrieb, beziehungsweise dem Exponentialvertrieb und der Normalverteilung verteilt sind. (Beider dieses letzten zwei Vertriebs ist im Sinn "grundlegend", dass die Logarithmen ihrer Dichte-Funktionen geradlinig und, beziehungsweise, Funktionen der beobachteten Werte quadratisch sind.)

Beziehung zum verallgemeinerten Vertrieb von Pareto

Der Pareto Vertrieb ist ein spezieller Fall des verallgemeinerten Vertriebs von Pareto, der eine Familie des Vertriebs der ähnlichen Form ist, aber einen Extraparameter auf solche Art und Weise enthaltend, dass die Unterstützung des Vertriebs entweder unten (an einem variablen Punkt) begrenzt wird, oder ist sowohl oben als auch unten gesprungen (wo beide variabel sind), mit dem Vertrieb von Lomax als ein spezieller Fall. Diese Familie enthält auch beide das unausgewechselte und hat Exponentialvertrieb ausgewechselt.

Beziehung zum Gesetz von Zipf

Vertrieb von Pareto ist dauernder Wahrscheinlichkeitsvertrieb. Vom Gesetz von Zipf, auch manchmal genannt den zeta Vertrieb, kann als eine getrennte Kopie des Vertriebs von Pareto gedacht werden.

Beziehung zum "Grundsatz von Pareto"

Das "80-20 Gesetz", gemäß dem 20 % aller Leute 80 % des ganzen Einkommens und 20 % der reichlichsten 20 % erhalten, erhält 80 % dieser 80 % und so weiter, hält genau, wenn der Index von Pareto &alpha ist; = Klotz (5) =log (5)/-Klotz (4), etwa 1.161. Dieses Ergebnis kann aus der Kurve-Formel von Lorenz abgeleitet werden, die unten gegeben ist. Außerdem, der folgende sind gezeigt worden, mathematisch gleichwertig zu sein:

• Einkommen wird gemäß einem Vertrieb von Pareto mit dem Index &alpha verteilt;> 1.
• Es gibt eine Nummer 0  p  1/2 solch, dass 100-Punkt-% aller Leute 100 erhalten (1 &minus; p) % des ganzen Einkommens, und ähnlich für jeden echten (nicht notwendigerweise ganze Zahl) n> 0, 100-Punkt-% aller Leute erhalten 100 (1 &minus; p) % des ganzen Einkommens.

Das gilt nur für das Einkommen, sondern auch für den Reichtum, oder zu nichts anderem, was durch diesen Vertrieb modelliert werden kann.

Das schließt Vertrieb von Pareto in der 0 aus

xf (x) \, dx} {\\int_ {x_\mathrm {M}} ^\\infty xf (x) \, dx }\

\frac {\\int_0^F x (F') \, dF'} {\\int_0^1 x (F') \, dF'} </Mathematik>

wo x (F) das Gegenteil des CDF ist. Für den Vertrieb von Pareto,

:

und die Kurve von Lorenz wird berechnet, um zu sein

:

wo α größer oder gleich der Einheit sein muss, da der Nenner im Ausdruck für L (F) gerade der Mittelwert von x ist. Beispiele der Kurve von Lorenz für mehreren Vertrieb von Pareto werden im Graphen rechts gezeigt.

Der Gini Koeffizient ist ein Maß der Abweichung der Kurve von Lorenz von der equidistribution Linie, die ein Linienanschließen [0, 0] und [1, 1] ist, der im Schwarzen (α = ) im Anschlag von Lorenz rechts gezeigt wird. Spezifisch ist der Koeffizient von Gini zweimal das Gebiet zwischen der Kurve von Lorenz und der equidistribution Linie. Der Gini Koeffizient für den Vertrieb von Pareto wird dann berechnet, um zu sein

:

(sieh Aaberge 2005).

Parameter-Bewertung

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Vertriebsrahmen von Pareto α und x, in Anbetracht einer Probe x = (x, x..., x), ist

:

Deshalb ist die logarithmische Wahrscheinlichkeitsfunktion

:

Es kann gesehen werden, dass das monotonically ist, der damit zunimmt, d. h. je größer der Wert dessen, desto größer der Wert der Wahrscheinlichkeit fungieren. Folglich, seitdem, schließen wir das

:

Um den Vorkalkulatoren für α zu finden, schätzen wir die entsprechende partielle Ableitung und bestimmen, wo es Null ist:

:

So ist der maximale Wahrscheinlichkeitsvorkalkulator für α:

:

Der erwartete statistische Fehler ist:

:

Grafische Darstellung

Die Eigenschaft gekrümmter 'Langer Schwanz' Vertrieb, wenn geplant, auf einer geradlinigen Skala, maskiert die zu Grunde liegende Einfachheit der Funktion, wenn geplant, auf einem Graphen des Klotz-Klotzes, der dann die Form einer Gerade mit dem negativen Anstieg annimmt.

Zufällige Beispielgeneration

Zufällige Proben können mit dem Gegenteil erzeugt werden gestalten Stichprobenerhebung um. In Anbetracht eines zufälligen variate U gezogen von der Rechteckverteilung auf dem Einheitszwischenraum (0, 1], der variate T gegeben durch

:

wird Pareto-verteilt. Wenn U auf [0, 1 gleichförmig verteilt wird), kann er gegen (1 - U) ausgetauscht werden.

Varianten

Begrenzter Pareto Vertrieb

Das begrenzte (oder gestutzt) Vertrieb von Pareto hat drei Rahmen α, L und H. Als im Standardvertrieb von Pareto bestimmt α die Gestalt. L zeigt den minimalen Wert an, und H zeigt den maximalen Wert an.

(Die Abweichung im Tisch sollte rechts als 2. Moment interpretiert werden).

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion ist

:

wo L  x  H, und α> 0.

Das Erzeugen hat Pareto zufällige Variablen begrenzt

Wenn U auf gleichförmig verteilt wird

(0, 1, dann

:

wird Pareto-verteilt begrenzt.

Symmetrischer Pareto Vertrieb

Der symmetrische Vertrieb von Pareto kann durch die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion definiert werden:

:

(\alpha x_\mathrm {M} ^\\Alpha/2) |x |^ {-\alpha-1} & \text {für} |x |> x_\mathrm {M} \\

0 & \text {sonst}.

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Es hat eine ähnliche Gestalt zu einem Vertrieb von Pareto dafür und ist über die vertikale Achse symmetrischer Spiegel.

Siehe auch

• Das Gesetz von Bradford
• Analyse von Pareto
• Leistungsfähigkeit von Pareto
• Interpolation von Pareto
• Macht-Gesetzwahrscheinlichkeitsvertrieb
• Verkehrsgenerationsmodell

Referenzen

• Pareto V (1965) "La Courbe de la Repartition de la Richesse" (Ursprünglich veröffentlicht 1896). In: Busino G, Redakteur. Oevres Completes de Vilfredo Pareto. Genf: Seiten von Librairie Droz. 1-5.
• Pareto, V. (1895). La legge della domanda. Giornale degli Economisti, 10, 59-68. Englische Übersetzung in Rivista di Politica Economica, 87 (1997), 691-700.
• Pareto, V. (1897). Cours d'économie politique. Lausanne: Hrsg.-Rouge.

Links

• Der Pareto, Zipf und die anderen Macht-Gesetze / William J. Reed - PDF
• Die Kernfamilie von Gini / Rolf Aabergé. - In: Internationale Konferenz, um Zwei Bedeutende Soziale Wissenschaftler, Mai 2005 - PDF Zu ehren
• syntraf1.c ist ein C Programm, um synthetischen Paket-Verkehr mit der begrenzten Platzen-Größe von Pareto und Exponentialzwischenplatzen-Zeit zu erzeugen.
• "Selbstähnlichkeit im Verkehr des World Wide Web: Beweise und Mögliche Ursachen" / Kennzeichnen E. Crovella und Azer Bestavros