In der Mathematik ist eine Gleichung von Diophantine eine Gleichung der Form P (x..., x, y..., y) =0 (hat gewöhnlich P =0 abgekürzt), wo P ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl ist. Ein Diophantine-Satz ist eine Teilmenge S N so dass für eine Gleichung von Diophantine P =0.

D. h. ein Parameter-Wert ist im Satz-S von Diophantine, wenn, und nur wenn die verbundene Gleichung von Diophantine satisfiable unter diesem Parameter-Wert ist. Bemerken Sie, dass der Gebrauch von natürlichen Zahlen sowohl in S als auch in der existenziellen Quantifizierung bloß die üblichen Anwendungen in der Berechenbarkeit und Mustertheorie widerspiegelt. Wir können von Sätzen von Diophantine von ganzen Zahlen ebenso gut sprechen und frei Quantifizierung über natürliche Zahlen mit der Quantifizierung über die ganzen Zahlen ersetzen. Auch es ist genügend anzunehmen, dass P ein zu Ende Polynom ist und multiplizieren Sie P mit den passenden Nennern, um Koeffizienten der ganzen Zahl nachzugeben. Jedoch, ob gegen die Quantifizierung über rationals auch die Quantifizierung über die ganzen Zahlen ausgewechselt werden kann, ist es ein notorisch hartes offenes Problem.

Der MRDP Lehrsatz stellt fest, dass eine Reihe von ganzen Zahlen Diophantine ist, wenn, und nur wenn es berechenbar enumerable ist. Ein Satz S ist rekursiv enumerable genau, wenn es einen Algorithmus gibt, der, wenn gegeben, eine ganze Zahl, schließlich hinkt, wenn dieser Eingang ein Mitglied von S ist und sonst für immer läuft. Das bedeutet, dass das Konzept von General Diophantine gesetzt, anscheinend der Zahlentheorie gehörend, eher in logischen oder recursion-theoretischen Begriffen genommen werden kann. Das ist alles andere als jedoch offensichtlich, und hat den Höhepunkt von einigen Jahrzehnten der Arbeit vertreten.

Die Vollziehung von Matiyasevich des MRDP Lehrsatzes hat das zehnte Problem von Hilbert gesetzt. Das zehnte Problem von Hilbert war, einen allgemeinen Algorithmus zu finden, der entscheiden kann, ob eine gegebene Gleichung von Diophantine eine Lösung unter den ganzen Zahlen hat. Während das zehnte Problem von Hilbert nicht eine formelle mathematische Behauptung als solcher ist, erlaubt die fast universale Annahme der (philosophischen) Identifizierung eines Entscheidungsalgorithmus mit einem berechenbaren Gesamtprädikat uns, den MRDP Lehrsatz zu verwenden, um zu beschließen, dass das zehnte Problem unlösbar ist.

Beispiele

Die weithin bekannte Gleichung von Pell

ist ein Beispiel einer Gleichung von Diophantine mit einem Parameter. Wie lange bekannt gewesen ist, hat die Gleichung eine Lösung im unknowns genau, wenn der Parameter 0 oder nicht ein vollkommenes Quadrat ist. Im gegenwärtigen Zusammenhang sagt man, dass diese Gleichung eine Definition von Diophantine des Satzes zur Verfügung stellt

: {0,2,3,5,6,7,8,10...}

aus 0 und die natürlichen Zahlen bestehend, die nicht vollkommene Quadrate sind. Andere Beispiele von Definitionen von Diophantine sind wie folgt:

• Die Gleichung hat nur Lösungen in wenn nicht eine Macht 2 zu sein.
• Die Gleichung hat nur Lösungen darin, wenn größer zu sein, als 1 und nicht eine Primzahl ist.
• Die Gleichung definiert den Satz von solchen Paaren dass

Der Lehrsatz von Matiyasevich

Der Lehrsatz von Matiyasevich sagt:

:Every berechenbar enumerable Satz ist Diophantine.

Ein Satz S ganzer Zahlen ist berechenbar enumerable, wenn es einen Algorithmus gibt, der sich wie folgt benimmt: Wenn gegeben, wie eingegeben, eine ganze Zahl n, wenn n ein Mitglied von S ist, dann hinkt der Algorithmus schließlich; sonst läuft es für immer. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass es einen Algorithmus gibt, der für immer läuft und die Mitglieder von S verzeichnet. Ein Satz S ist Diophantine genau, wenn es ein Polynom mit Koeffizienten der ganzen Zahl f (n, x..., x) gibt

solch, dass eine ganze Zahl n in S ist, wenn, und nur wenn dort einige ganze Zahlen bestehen

x..., x

solch dass f (n, x..., x) = 0.

Es ist nicht hart zu sehen, dass jeder Satz von Diophantine rekursiv enumerable ist:

denken Sie eine Gleichung von Diophantine f (n, x..., x) = 0.

Jetzt machen wir einen Algorithmus, der einfach alle möglichen Werte für versucht

n, x..., x, in der zunehmenden Ordnung der Summe ihrer absoluten Werte,

und Drucke n jedes Mal f (n, x..., x) = 0.

Dieser Algorithmus wird offensichtlich für immer laufen und wird genau den n verzeichnen

für den f (n, x..., x) = 0 eine Lösung hat

in x..., x.

Probetechnik

Yuri Matiyasevich hat eine Methode verwertet, die Fibonacci-Zahlen einschließt, um zu zeigen, dass Lösungen von Gleichungen von Diophantine exponential wachsen können. Die frühere Arbeit von Julia Robinson, Martin Davis und Hilary Putnam hatte gezeigt, dass das genügt, um zu zeigen, dass jeder berechenbar enumerable Satz Diophantine ist.

Anwendung auf das Zehnte Problem von Hilbert

Das zehnte Problem von Hilbert bittet um einen allgemeinen Algorithmus, die Lösbarkeit von Gleichungen von Diophantine entscheidend. Die Verbindung des Lehrsatzes von Matiyasevich mit früheren Ergebnissen bekannt insgesamt als der MRDP Lehrsatz deutet an, dass eine Lösung des zehnten Problems von Hilbert unmöglich ist.

Verbesserungen

Spätere Arbeit hat gezeigt, dass die Frage der Lösbarkeit einer Gleichung von Diophantine unentscheidbar ist, selbst wenn die Gleichung nur 9 Variablen der natürlichen Zahl (Matiyasevich, 1977) oder 11 Variablen der ganzen Zahl (Zhi Wei Sun, 1992) hat.

Weitere Anwendungen

Der Lehrsatz von Matiyasevich ist seitdem verwendet worden, um zu beweisen, dass viele Probleme von der Rechnung und den Differenzialgleichungen unlösbar sind.

Man kann auch die folgende stärkere Form des ersten Unvollständigkeitslehrsatzes von Gödel vom Ergebnis von Matiyasevich ableiten:

:Corresponding zu jedem gegebenen konsequenten axiomatization der Zahlentheorie, man kann eine Gleichung von Diophantine ausführlich bauen, die keine Lösungen, aber solch hat, dass diese Tatsache innerhalb des gegebenen axiomatization nicht bewiesen werden kann.

Zeichen

• Englische Übersetzung in der sowjetischen Mathematik 11 (2), Seiten 354-357.
• M. Davis. "Das Zehnte Problem von Hilbert ist Unlösbar." Amerikanische Mathematische Monatliche 80, Seiten 233-269, 1973.
• Yuri Matiyasevich. Das 10. Problem-Vorwort von Hilbert von Martin Davis und Hilary Putnam, Der MIT-Presse. Internationale Standardbuchnummer 0-262-13295-8
• Zhi-Wei Sun, die Verminderung von unknowns in Darstellungen von Diophantine, Sci. Chinesischer Ser. A, 35:3 (1992), Seiten 257-269.

Außenverbindungen

• Lehrsatz-Artikel von Matiyasevich über Scholarpedia.
• Artikel Diophantine Set über PlanetMath.