In der Mengenlehre ist ein unendlicher Satz ein Satz, der nicht ein begrenzter Satz ist. Unendliche Sätze können zählbar oder unzählbar sein. Einige Beispiele sind:

• der Satz aller ganzen Zahlen, {...,-1, 0, 1, 2...}, ist ein zählbar unendlicher Satz; und
• der Satz aller reellen Zahlen ist ein unzählbar unendlicher Satz.

Eigenschaften

Der Satz von natürlichen Zahlen (dessen Existenz durch das Axiom der Unendlichkeit verlangt wird) ist unendlich. Es ist der einzige Satz, der durch die Axiome direkt erforderlich ist, unendlich zu sein. Die Existenz jedes anderen unendlichen Satzes kann in der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre (ZFC) nur durch die Vertretung bewiesen werden, dass es aus der Existenz der natürlichen Zahlen folgt.

Ein Satz ist unendlich, wenn, und nur wenn für jede natürliche Zahl der Satz eine Teilmenge hat, deren cardinality diese natürliche Zahl ist.

Wenn das Axiom der Wahl hält, dann ist ein Satz unendlich, wenn, und nur wenn es eine zählbare unendliche Teilmenge einschließt.

Wenn eine Reihe von Sätzen unendlich ist oder ein unendliches Element enthält, dann ist seine Vereinigung unendlich. Der powerset eines unendlichen Satzes ist unendlich. Jede Obermenge eines unendlichen Satzes ist unendlich. Wenn ein unendlicher Satz in begrenzt viele Teilmengen verteilt wird, dann müssen mindestens ein von ihnen unendlich sein. Jeder Satz, der auf einen unendlichen Satz kartografisch dargestellt werden kann, ist unendlich. Das Kartesianische Produkt eines unendlichen Satzes und eines nichtleeren Satzes ist unendlich. Das Kartesianische Produkt einer unendlichen Zahl von Sätzen ist jeder, mindestens zwei Elemente enthaltend, entweder leer oder unendlich; wenn das Axiom der Wahl hält, dann ist es unendlich.

Wenn ein unendlicher Satz ein gut bestellter Satz ist, dann muss er eine nichtleere Teilmenge haben, die kein größtes Element hat.

In ZF ist ein Satz unendlich, wenn, und nur wenn der powerset seines powerset ein Dedekind-unendlicher Satz ist, eine richtige Teilmenge equinumerous zu sich habend. Wenn das Axiom der Wahl auch wahre, unendliche Sätze ist, sind genau die Dedekind-unendlichen Sätze.

Wenn ein unendlicher Satz gut-orderable Satz ist, dann hat es viele Gut-Einrichtung, die nichtisomorph ist.

Geschichte

Das erste bekannte Ereignis ausführlich unendlicher Sätze ist im letzten Buch von Galileo Zwei Neue schriftliche Wissenschaften, während er unter dem Hausarrest durch die Gerichtliche Untersuchung war.

Galileo behauptet dass der Satz von Quadraten S = {1,4,9,16,25...} ist dieselbe Größe wie N = {1,2,3,4,5...}, weil es eine isomorphe Ähnlichkeit gibt:

1

Und noch, wie er sagt, ist S eine richtige Teilmenge von N, und S wird sogar weniger dicht, wie die Zahlen größer werden.

Siehe auch

• Unendlichkeit
• Zahl von Aleph
• Die zwei neuen Wissenschaften von Galileo