In der Mathematik ist eine Wiederauftreten-Beziehung eine Gleichung, die rekursiv eine Folge definiert, sobald ein oder mehr anfängliche Begriffe gegeben werden: Jeder weitere Begriff der Folge wird als eine Funktion der vorhergehenden Begriffe definiert.

Die Begriff-Unterschied-Gleichung manchmal (und zu den Zwecken dieses Artikels) bezieht sich auf einen spezifischen Typ der Wiederauftreten-Beziehung. Jedoch "wird Unterschied-Gleichung" oft verwendet, um sich auf jede Wiederauftreten-Beziehung zu beziehen.

Ein Beispiel einer Wiederauftreten-Beziehung ist die logistische Karte:

:

mit einem gegebenen unveränderlichen r; in Anbetracht des anfänglichen Begriffes x jeder nachfolgende Begriff wird durch diese Beziehung bestimmt.

Einige einfach definierte Wiederauftreten-Beziehungen können sehr komplizierte (chaotische) Handlungsweisen haben, und sie sind ein Teil des Feldes der als nichtlineare Analyse bekannten Mathematik.

Das Lösen einer Wiederauftreten-Beziehung bedeutet, eine Lösung der geschlossenen Form zu erhalten: eine nichtrekursive Funktion von n.

Fibonacci-Zahlen

Die Fibonacci-Zahlen sind der Archetyp einer geradlinigen, homogenen Wiederauftreten-Beziehung mit unveränderlichen Koeffizienten (sieh unten). Sie werden mit der geradlinigen Wiederauftreten-Beziehung definiert

:

mit Samen-Werten:

::

Ausführlich gibt Wiederauftreten die Gleichungen nach:

:::

usw.

Wir erhalten die Folge von Fibonacci-Zahlen, die beginnt:

:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...

Es kann durch unter dem Nachgeben des geschlossenen Form-Ausdrucks beschriebene Methoden gelöst werden, die Mächte der zwei Wurzeln des charakteristischen Polynoms t = t + 1 einschließen; die Erzeugen-Funktion der Folge ist die vernünftige Funktion

:

Struktur

Geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehungen mit unveränderlichen Koeffizienten

Ein Auftrag d geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehung mit unveränderlichen Koeffizienten ist eine Gleichung der Form

:

wo die d Koeffizienten c (für den ganzen i) Konstanten sind.

Genauer ist das eine unendliche Liste von gleichzeitigen geradlinigen Gleichungen, ein für jeden n>d−1. Eine Folge, die eine Beziehung dieser Form befriedigt, wird eine geradlinige Wiederauftreten-Folge oder LRS genannt. Es gibt d Grade der Freiheit für LRS, d. h. die Anfangswerte können genommen werden, um irgendwelche Werte zu sein, aber dann bestimmt das geradlinige Wiederauftreten die Folge einzigartig.

Dieselben Koeffizienten geben das charakteristische Polynom (auch "Hilfspolynom") nach

:

wessen D-Wurzeln eine entscheidende Rolle in der Entdeckung und dem Verstehen der Folgen spielen, die das Wiederauftreten befriedigen. Wenn die Wurzeln r, r, alle... verschieden sind, dann nimmt die Lösung des Wiederauftretens die Form an

:

wo die Koeffizienten k bestimmt werden, um die anfänglichen Bedingungen des Wiederauftretens zu passen.

Wenn dieselben Wurzeln mehrmals vorkommen, werden die Begriffe in dieser Formel entsprechend den zweiten und späteren Ereignissen derselben Wurzel durch die Erhöhung von Mächten von n multipliziert. Zum Beispiel, wenn das charakteristische Polynom factored als sein kann (x − r), mit derselben Wurzel r das Auftreten dreimal, dann würde die Lösung die Form annehmen

:

Vernünftige Erzeugen-Funktion

Geradlinige rekursive Folgen sind genau die Folgen, deren Erzeugen der Funktion eine vernünftige Funktion ist: Der Nenner ist das beim Hilfspolynom erhaltene Polynom durch das Umkehren der Ordnung der Koeffizienten, und der Zähler wird durch die Anfangswerte der Folge bestimmt.

Die einfachsten Fälle sind periodische Folgen, die Folge haben und Funktion eine Summe der geometrischen Reihe erzeugend:

:

\begin {richten }\aus

& \frac {a_0 + a_1 x^1 + \cdots + a_ {d-1} X^ {d-1}} {1-x^d} \\

& = \left (a_0 + a_1 x^1 + \cdots + a_ {d-1} x^ {d-1 }\\Recht) \\

& {} \quad + \left (a_0 + a_1 x^1 + \cdots + a_ {d-1} x^ {d-1 }\\Recht) x^d \\

& {} \quad + \left (a_0 + a_1 x^1 + \cdots + a_ {d-1} x^ {d-1 }\\Recht) x^ {2.} + \cdots.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Mehr allgemein, in Anbetracht der Wiederauftreten-Beziehung:

:

mit dem Erzeugen der Funktion

:

die Reihe wird an und oben durch das Polynom vernichtet:

:

D. h. das Multiplizieren der Erzeugen-Funktion durch das Polynom gibt nach

:

als der Koeffizient darauf, der (durch die Wiederauftreten-Beziehung) dafür verschwindet. So

:

so das Teilen von Erträgen

:

\frac {b_0 + b_1x^1 + b_2 x^2 + \cdots + b_ {d-1} X^ {d-1}} {1-c_1x^1 - c_2 x^2 - \cdots - c_dx^d}, </Mathematik>

das Ausdrücken des Erzeugens fungiert als eine vernünftige Funktion.

Der Nenner ist ein Umgestalten des Hilfspolynoms (gleichwertig, die Ordnung von Koeffizienten umkehrend); man konnte auch jedes Vielfache davon verwenden, aber diese Normalisierung wird sowohl wegen der einfachen Beziehung zum Hilfspolynom, als auch so dass gewählt.

Die Beziehung zu Unterschied-Gleichungen mit knapper Not definiert

In Anbetracht einer bestellten Folge von reellen Zahlen: Der erste Unterschied wird als definiert

:.

Der zweite Unterschied wird als definiert

:

der zu vereinfacht werden kann

:.

Mehr allgemein: Der k Unterschied' der Folge wird geschrieben, wie rekursiv als definiert wird

:

\sum_ {t

0\^k \binom {k} {t} (-1) ^t a_ {n+k-t }\

</Mathematik>.

(Die Folge und seine Unterschiede sind durch ein Binom verbunden verwandeln sich.)

Die einschränkendere Definition der Unterschied-Gleichung ist eine Gleichung, die aus a und seinen k Unterschieden zusammengesetzt ist. (Eine weit verwendete breitere Definition behandelt "Unterschied-Gleichung" als synonymisch mit der "Wiederauftreten-Beziehung". Sieh zum Beispiel vernünftige Unterschied-Gleichung und Matrixunterschied-Gleichung.)

Geradlinige Wiederauftreten-Beziehungen sind Unterschied-Gleichungen, und umgekehrt; da das eine einfache und Standardform des Wiederauftretens ist, gebrauchen einige Autoren die zwei Begriffe austauschbar. Zum Beispiel, die Unterschied-Gleichung

:ist

zur Wiederauftreten-Beziehung gleichwertig

:

So kann man viele Wiederauftreten-Beziehungen lösen, indem man sie als Unterschied-Gleichungen umformuliert, und dann die Unterschied-Gleichung, analog dazu löst, wie man gewöhnliche Differenzialgleichungen löst. Jedoch sind die Zahlen von Ackermann ein Beispiel einer Wiederauftreten-Beziehung, die zu einer Unterschied-Gleichung, viel weniger Punkten auf der Lösung einer Differenzialgleichung nicht kartografisch darstellen.

Sieh Rechnung des zeitlichen Rahmens für eine Vereinigung der Theorie von Unterschied-Gleichungen mit dieser von Differenzialgleichungen.

Summierungsgleichungen beziehen sich auf Unterschied-Gleichungen, wie sich Integralgleichungen auf Differenzialgleichungen beziehen.

Von Folgen bis Bratrost

Einzeln-variable oder eindimensionale Wiederauftreten-Beziehungen sind über Folgen (d. h. Funktionen, die auf dem eindimensionalen Bratrost definiert sind). Mehrvariable oder n-dimensional Wiederauftreten-Beziehungen sind über den n-dimensional Bratrost. Auf dem N-Bratrost definierte Funktionen können auch mit teilweisen Unterschied-Gleichungen studiert werden.

Das Lösen

Allgemeine Methoden

Für den Auftrag 1, das Wiederauftreten

:

hat die Lösung damit, und die allgemeinste Lösung ist damit. Das charakteristische Polynom hat zur Null entsprochen (die charakteristische Gleichung) ist einfach t &minus; r = 0.

Lösungen solcher Wiederauftreten-Beziehungen der höheren Ordnung werden durch systematische Mittel häufig mit der Tatsache gefunden, dass = r eine Lösung für das Wiederauftreten genau ist, wenn t = r eine Wurzel des charakteristischen Polynoms ist. Dem kann direkt genähert werden oder erzeugende Funktionen (formelle Macht-Reihe) oder matrices verwendend.

Denken Sie zum Beispiel, eine Wiederauftreten-Beziehung der Form

:

Wann hat es eine Lösung derselben allgemeinen Form wie = r? Diese Annahme (ansatz) in der Wiederauftreten-Beziehung einsetzend, finden wir das

: muss für den ganzen n> 1 wahr sein.

Sich durch durch r teilend, bekommen wir das alle diese Gleichungen nehmen zu demselben Ding ab:

::

der die charakteristische Gleichung der Wiederauftreten-Beziehung ist. Lösen Sie für r, um die zwei Wurzeln λ, λ zu erhalten: Diese Wurzeln sind als die charakteristischen Wurzeln oder eigenvalues der charakteristischen Gleichung bekannt. Verschiedene Lösungen werden abhängig von der Natur der Wurzeln erhalten: Wenn diese Wurzeln verschieden sind, haben wir die allgemeine Lösung

:

während, wenn sie identisch sind (wenn + 4B = 0) wir haben

:

Das ist die allgemeinste Lösung; die zwei Konstanten C und D können gestützt auf zwei gegebenen anfänglichen Bedingungen a und gewählt werden, um eine spezifische Lösung zu erzeugen.

Im Fall vom Komplex eigenvalues (der auch komplizierte Werte für die Lösungsrahmen C und den D verursacht) kann der Gebrauch von komplexen Zahlen durch das Neuschreiben der Lösung in der trigonometrischen Form beseitigt werden. In diesem Fall können wir den eigenvalues so Dann schreiben es kann gezeigt werden, dass das umgeschrieben werden kann wie

:

wo

:

M = \sqrt {\\alpha^2 +\beta^2} & \cos \theta =\tfrac {\\Alpha} {M} & \sin \theta = \tfrac {\\Beta} {M} \\

C, D = E \mp F i & & \\

G = \sqrt {E^2+F^2} & \cos \delta = \tfrac {E} {G} & \sin \delta = \tfrac {F} {G }\

\end {ordnen }\

</Mathematik>

Hier sind E und F (oder gleichwertig, G und) echte Konstanten, die von den anfänglichen Bedingungen abhängen.

In allen Fällen — hat echter verschiedener eigenvalues, echt eigenvalues kopiert, und Komplex konjugiert eigenvalues — die Gleichung ist (d. h. die Variable ein Zusammenlaufen zu einem festen Wert (spezifisch, Null)) stabil; wenn, und nur wenn beide eigenvalues kleiner sind als einer im absoluten Wert. In diesem Fall der zweiten Ordnung, wie man zeigen kann, ist diese Bedingung auf dem eigenvalues zu |A gleichwertig

mit dem unveränderlichen Begriff K kann das in die homogene Form wie folgt umgewandelt werden: Der unveränderliche Staat wird gefunden, indem er b = b = b = b* veranlasst wird, zu erhalten

:

Dann kann das nichthomogene Wiederauftreten in der homogenen Form als umgeschrieben werden

:

der als oben gelöst werden kann.

Die Stabilitätsbedingung, die in Bezug auf eigenvalues für den Fall der zweiten Ordnung angegeben ist, bleibt gültig für den allgemeinen N-Ordnungsfall: Die Gleichung ist stabil, wenn, und nur wenn alle eigenvalues der charakteristischen Gleichung weniger als ein im absoluten Wert sind.

Das Lösen über die geradlinige Algebra

In Anbetracht einer linear rekursiven Folge, lassen Sie C das Umstellen der dazugehörigen Matrix seines charakteristischen Polynoms sein, das ist

0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\

- c_0 &-c_1 &-c_2 & \cdots &-c_ {d-1 }\

\end {bmatrix} </Mathematik>

wo. Nennen Sie diese Matrix C. Beobachten Sie das

\vdots \\

a_ {n + (d-1) }\\Ende {bmatrix }\

C^n\begin {bmatrix} a_0 \\

\vdots \\

a_ {d-1 }\\Ende {bmatrix} </Mathematik>

Bestimmen Sie einen eigenbasis entsprechend eigenvalues. Dann drücken Sie den Samen (die anfänglichen Bedingungen des LRS) als eine geradlinige Kombination der eigenbasis Vektoren aus:

:\vdots \\

a_ {d-1 }\\Ende {bmatrix} = b_1v_1 + \cdots + b_dv_d </Mathematik>

Dann arbeitet es günstig dass aus:

\vdots \\a_ {n + (d-1) }\\Ende {bmatrix }\

C^n\begin {bmatrix} a_0 \\

\vdots \\

a_ {d-1 }\\Ende {bmatrix }\

C^n (b_1v_1 + \cdots + b_dv_d)

\lambda_1^nb_1v_1 + \cdots + \lambda_d^n b_dv_d </Mathematik>

Diese Beschreibung ist wirklich nicht von der allgemeinen Methode oben verschieden, jedoch ist es mehr kurz gefasst. Es arbeitet auch nett für Situationen wie

::

Wo es mehrere verbundene Wiederauftreten gibt.

Das Lösen mit z-transforms

Bestimmte Unterschied-Gleichungen, in besonderen Geradlinigen unveränderlichen mitwirkenden Unterschied-Gleichungen, können mit z-transforms gelöst werden. Die z-transforms sind eine Klasse des Integrals verwandelt sich, die zu günstigeren algebraischen Manipulationen und mehr aufrichtigen Lösungen führen. Es gibt Fälle, in denen das Erreichen einer direkten Lösung fast unmöglich sein würde, noch verwandelt sich das Beheben des Problems über ein nachdenklich gewähltes Integral ist aufrichtig.

Lehrsatz

In Anbetracht einer geradlinigen homogenen Wiederauftreten-Beziehung mit unveränderlichen Koeffizienten des Auftrags d, lassen Sie p (t) das charakteristische Polynom (auch "Hilfspolynom") sein

:

solch, dass jeder c jedem c in der ursprünglichen Wiederauftreten-Beziehung entspricht (sieh die allgemeine Form oben). Denken Sie &lambda; ist eine Wurzel von p (t) Vielfältigkeit r zu haben. Das soll das sagen (t &minus; &lambda) teilt p (t). Die folgenden zwei Eigenschaften halten:

1. Jede der r Folgen befriedigt die Wiederauftreten-Beziehung.
2. Jede Folge, die die Wiederauftreten-Beziehung befriedigt, kann einzigartig als eine geradlinige Kombination von im Teil 1 gebauten Lösungen geschrieben werden, weil sich λ über alle verschiedenen Wurzeln von p (t) ändert.

Infolge dieses Lehrsatzes kann eine geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehung mit unveränderlichen Koeffizienten auf die folgende Weise gelöst werden:

1. Finden Sie das charakteristische Polynom p (t).
2. Finden Sie die Wurzeln von p (t) das Zählen der Vielfältigkeit.
3. Schreiben Sie als eine geradlinige Kombination aller Wurzeln (Vielfältigkeit, wie gezeigt, im Lehrsatz oben aufzählend), mit unbekannten Koeffizienten b.

::

:: Das ist die allgemeine Lösung der ursprünglichen Wiederauftreten-Beziehung.

:: (q ist die Vielfältigkeit &lambda)

:4. Gleichen Sie jeden vom Teil 3 aus (in die allgemeine Lösung der Wiederauftreten-Beziehung einsteckend), mit den bekannten Werten von der ursprünglichen Wiederauftreten-Beziehung. Jedoch müssen die Werte von der ursprünglichen verwendeten Wiederauftreten-Beziehung nicht aneinander grenzend sein, gerade d ihrer sind erforderlich (d. h. für eine ursprüngliche geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehung des Auftrags 3 konnte man die Werte a, a, a verwenden). Dieser Prozess wird ein geradliniges System von d Gleichungen mit d unknowns erzeugen. Das Lösen dieser Gleichungen für die unbekannten Koeffizienten der allgemeinen Lösung und das Einstecken dieser Werte zurück in die allgemeine Lösung werden die besondere Lösung der ursprünglichen Wiederauftreten-Beziehung erzeugen, die die anfänglichen Bedingungen der Beziehung des ursprünglichen Wiederauftretens (sowie alle nachfolgenden Werte der ursprünglichen Wiederauftreten-Beziehung) passt.

Die Methode, um lineare Differenzialgleichungen zu lösen, ist der Methode oben ähnlich — die "intelligente Annahme" (ansatz) für lineare Differenzialgleichungen mit unveränderlichen Koeffizienten ist wo &lambda; ist eine komplexe Zahl, die durch das Ersetzen der Annahme in die Differenzialgleichung bestimmt wird.

Das ist nicht ein Zufall. Das Betrachten der Reihe von Taylor der Lösung einer linearen Differenzialgleichung:

:

\sum_ {n=0} ^\\infin \frac {f^ {(n)} (a)} {n!} (x-a) ^n

</Mathematik>

es kann gesehen werden, dass die Koeffizienten der Reihe durch die n Ableitung von f (x) bewertet am Punkt a gegeben werden. Die Differenzialgleichung stellt eine geradlinige Unterschied-Gleichung zur Verfügung, die diese Koeffizienten verbindet.

Diese Gleichwertigkeit kann verwendet werden, um für die Wiederauftreten-Beziehung für die Koeffizienten in der Macht-Reihe-Lösung einer linearen Differenzialgleichung schnell zu lösen.

Die Faustregel (für Gleichungen, in denen das Polynom, das den ersten Begriff multipliziert, Nichtnull an der Null ist) besteht dass darin:

:

Y^ {[k]} \to f [n+k]

</Mathematik>

und mehr allgemein

:

x^m*y^ {[k]} \to n (n-1) (n-m+1) f [n+k-m]

</Mathematik>

Beispiel: Die Wiederauftreten-Beziehung für die Reihe-Koeffizienten von Taylor der Gleichung:

:

wird durch gegeben

:oder:

Dieses Beispiel zeigt, wie Probleme allgemein das Verwenden der in normalen Differenzialgleichungsklassen unterrichteten Macht-Reihe-Lösungsmethode gelöst haben, kann auf eine viel leichtere Weise gelöst werden.

Beispiel: Die Differenzialgleichung

:

hat Lösung

:

Die Konvertierung der Differenzialgleichung zu einer Unterschied-Gleichung der Koeffizienten von Taylor ist

:.

Es ist leicht zu sehen, dass die n-te Ableitung von e, der an 0 bewertet ist, ein ist

Das Lösen nichthomogener Wiederauftreten-Beziehungen

Wenn das Wiederauftreten inhomogeneous ist, kann eine besondere Lösung durch die Methode von unentschiedenen Koeffizienten gefunden werden, und die Lösung ist die Summe der Lösung des homogenen und der besonderen Lösungen. Eine andere Methode, ein inhomogeneous Wiederauftreten zu lösen, ist die Methode der symbolischen Unterscheidung. Denken Sie zum Beispiel das folgende Wiederauftreten:

:

Das ist ein inhomogeneous Wiederauftreten. Wenn wir vertreten, erhalten wir das Wiederauftreten

:

Das ursprüngliche Wiederauftreten von dieser Gleichung Abstriche zu machen, gibt nach

:

oder gleichwertig

:

Das ist ein homogenes Wiederauftreten, das durch die Methoden gelöst werden kann, die oben erklärt sind. Im Allgemeinen, wenn ein geradliniges Wiederauftreten die Form hat

:

wo unveränderliche Koeffizienten sind und p (n) die Inhomogenität dann ist, wenn ein Polynom mit dem Grad r ist, dann kann dieses inhomogeneous Wiederauftreten auf ein homogenes Wiederauftreten durch die Verwendung der Methode von symbolischem differencing r Zeiten reduziert werden.

Wenn

:

ist die Erzeugen-Funktion der Inhomogenität, die Erzeugen-Funktion

:

des inhomogeneous Wiederauftretens

:

mit unveränderlichen Koeffizienten wird aus abgeleitet

:

P (x) + \sum_ {n

0\^ {n_r-1} [a_n-p_n] X^n-\sum_ {i=1} ^s C_ix^i\sum_ {n=0} ^ {n_r-i-1} a_nx^n. </math>

Wenn eine vernünftige Erzeugen-Funktion ist, ist auch

ein. Der Fall hat oben besprochen, wo eine Konstante ist, erscheint als ein Beispiel dieser Formel, damit. Die Lösung homogener Wiederauftreten wird als vereinigt.

Außerdem, für die allgemeine erste Ordnung geradlinige inhomogeneous Wiederauftreten-Beziehung mit dem variablen Koeffizienten (En), gibt es auch eine nette Methode, es zu lösen:

::::

: 

:Let,

:Then

:::

Allgemeine geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehungen

Viele geradlinige homogene Wiederauftreten-Beziehungen können mittels der verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe gelöst werden. Spezielle Fälle von diesen führen zu Wiederauftreten-Beziehungen für die orthogonalen Polynome und vielen speziellen Funktionen. Zum Beispiel, die Lösung von

:wird durch gegeben:

die Funktion von Bessel, während

:

wird durch gelöst

:

die zusammenfließende hypergeometrische Reihe.

Das Lösen einer ersten Ordnung vernünftige Unterschied-Gleichung

Eine erste Ordnung vernünftige Unterschied-Gleichung hat die Form. Solch eine Gleichung kann durch das Schreiben als eine nichtlineare Transformation einer anderen Variable gelöst werden, die sich selbst geradlinig entwickelt. Dann können Standardmethoden verwendet werden, um die geradlinige Unterschied-Gleichung darin zu lösen.

Stabilität

Stabilität von geradlinigen höherwertigen Wiederauftreten

Das geradlinige Wiederauftreten des Auftrags d,

:

hat die charakteristische Gleichung

:

Das Wiederauftreten ist stabil, bedeutend, dass das Wiederholen asymptotisch zu einem festen Wert zusammenläuft, wenn, und nur wenn die eigenvalues (d. h., die Wurzeln der charakteristischen Gleichung), entweder echt oder kompliziert, aller weniger als Einheit im absoluten Wert sind.

Stabilität von geradlinigen Matrixwiederauftreten der ersten Ordnung

In der Matrixunterschied-Gleichung der ersten Ordnung

:

mit dem Zustandvektoren x und der Übergang-Matrix A läuft x asymptotisch zum unveränderlichen Zustandvektoren x* zusammen, wenn, und nur wenn alle eigenvalues der Übergang-Matrix (entweder echt oder kompliziert) einen absoluten Wert haben, der weniger als 1 ist.

Stabilität von nichtlinearen Wiederauftreten der ersten Ordnung

Denken Sie das nichtlineare Wiederauftreten der ersten Ordnung

:

Dieses Wiederauftreten ist lokal stabil, bedeutend, dass es zu einem festen Punkt x* von Punkten genug in der Nähe von x * zusammenläuft, wenn, und nur wenn der Hang von f in der Nachbarschaft von x* kleiner ist als Einheit im absoluten Wert: Das, ist

:

Ein nichtlineares Wiederauftreten konnte vielfache feste Punkte haben, in welchem Fall einige feste Punkte lokal stabil sein können und andere lokal nicht stabil; für dauernden f können zwei angrenzende feste Punkte nicht beide lokal stabil sein.

Eine nichtlineare Wiederauftreten-Beziehung konnte auch einen Zyklus der Periode k für k> 1 haben. Solch ein Zyklus ist stabil, bedeutend, dass es eine Reihe anfänglicher Bedingungen des positiven Maßes anzieht, wenn die zerlegbare Funktion mit f, der k Zeiten erscheint, gemäß demselben Kriterium lokal stabil ist:

:

wo x* jeder Punkt auf dem Zyklus ist.

In einer chaotischen Wiederauftreten-Beziehung bleibt die Variable x in einem begrenzten Gebiet, aber läuft nie zu einem festen Punkt oder einem Anziehen-Zyklus zusammen; irgendwelche festen Punkte oder Zyklen der Gleichung sind nicht stabil. Siehe auch logistische Karte, dyadische Transformation und Zelt-Karte.

Beziehung zu Differenzialgleichungen

Wenn

man eine gewöhnliche Differenzialgleichung numerisch löst, stößt man normalerweise auf eine Wiederauftreten-Beziehung. Zum Beispiel, wenn man das Anfangswert-Problem behebt

:

mit der Methode von Euler und einer Schritt-Größe h berechnet man die Werte

:

durch das Wiederauftreten

:

Systeme der geradlinigen ersten Ordnungsdifferenzialgleichungen können discretized genau analytisch das Verwenden der im discretization Artikel gezeigten Methoden sein.

Anwendungen

Biologie

Einige der am besten bekannten Unterschied-Gleichungen haben ihre Ursprünge im Versuch, Bevölkerungsdynamik zu modellieren. Zum Beispiel wurden die Fibonacci-Zahlen einmal als ein Modell für das Wachstum einer Kaninchen-Bevölkerung verwendet.

Die logistische Karte ist entweder direkt an das Musterbevölkerungswachstum, oder als ein Startpunkt für ausführlichere Modelle gewöhnt. In diesem Zusammenhang werden verbundene Unterschied-Gleichungen häufig verwendet, um die Wechselwirkung von zwei oder mehr Bevölkerungen zu modellieren. Zum Beispiel wird das Nicholson-Außenhof-Modell für eine Wechselwirkung des Gastgeber-Parasiten durch gegeben

::

mit N das Vertreten der Gastgeber und P die Parasiten, in der Zeit t.

Gleichungen von Integrodifference sind eine Form der für die Raumökologie wichtigen Wiederauftreten-Beziehung. Diesen und anderen Unterschied-Gleichungen wird besonders dem Modellieren univoltiner Bevölkerungen angepasst.

Digitalsignalverarbeitung

In der Digitalsignalverarbeitung können Wiederauftreten-Beziehungen Feed-Back in einem System modellieren, wo Produktionen auf einmal Eingänge für die zukünftige Zeit werden. Sie entstehen so in der unendlichen Impuls-Antwort (IIR) Digitalfilter.

Zum Beispiel ist die Gleichung für einen "feedforward" IIR Kamm-Filter der Verzögerung T:

:

Wo der Eingang in der Zeit t ist, die Produktion in der Zeit t ist und kontrolliert, wie viel des verzögerten Signals zurück in die Produktion gefüttert wird. Davon können wir das sehen

::usw.

Volkswirtschaft

Wiederauftreten-Beziehungen, besonders geradlinige Wiederauftreten-Beziehungen, werden umfassend sowohl in der theoretischen als auch in empirischen Volkswirtschaft verwendet. Insbesondere in der Makrovolkswirtschaft könnte man ein Modell von verschiedenen breiten Sektoren der Wirtschaft entwickeln (der Finanzsektor, der Ware-Sektor, der Arbeitsmarkt, usw.), in dem Handlungen einiger Agenten von isolierten Variablen abhängen. Das Modell würde dann für aktuelle Werte von Schlüsselvariablen (Zinssatz, echtes BIP, usw.) in Bezug auf exogenous Variablen gelöst und hat endogene Variablen isoliert. Siehe auch Zeitreihe-Analyse.

Siehe auch

• Wiederholte Funktion
• Matrixunterschied-Gleichung
• Orthogonale Polynome
• Recursion
• Recursion (Informatik)
• Isolierter Fibonacci Generator
• Master-Lehrsatz
• Kreis spitzt Segment-Beweis an
• Fortlaufender Bruchteil
• Rechnung des zeitlichen Rahmens
• Gleichung von Integrodifference
• Kombinatorische Grundsätze
• Unendliche Impuls-Antwort
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest und Clifford Stein. Einführung in Algorithmen, die Zweite Ausgabe. MIT Presse und McGraw-Hügel, 1990. Internationale Standardbuchnummer 0-262-03293-7. Kapitel 4: Wiederauftreten, Seiten 62-90.
• Ian Jacques. Mathematik für die Volkswirtschaft und das Geschäft, die Fünfte Ausgabe. Prentice Hall, 2006. Internationale Standardbuchnummer 0-273-70195-9. Kapitel 9.1: Unterschied-Gleichungen, Seiten 551-568.
• Paul M. Batchelder, Eine Einführung in geradlinige Unterschied-Gleichungen, Veröffentlichungen von Dover, 1967.
• Kenneth S. Miller, Geradlinige Unterschied-Gleichungen. W.A. Benjamin, 1968.
• Unterschied und funktionelle Gleichungen: Genaue Lösungen an EqWorld - die Welt von mathematischen Gleichungen.
• Unterschied und funktionelle Gleichungen: Methoden an EqWorld - die Welt von mathematischen Gleichungen.

• Angewandte Econometric Zeitreihe, die Zweite Ausgabe. Walter Enders.
• Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik. Konkrete Mathematik: Ein Fundament für die Informatik, die Zweite Ausgabe. Addison-Wesley Professional, 1994. Internationale Standardbuchnummer 0-201-55802-5.
• Ausschuss, Paul; Flahive, Mary; und Robson, Robbie. Unterschied-Gleichungen: Von Kaninchen zur Verwirrung, dem Springer, 2005, Kapitel 7; internationale Standardbuchnummer 0-387-23234-6.

Außenverbindungen

• Einleitende getrennte Mathematik

• OEIS Index zu einigen tausend Beispielen von geradlinigen Wiederauftreten, die durch die Ordnung (Zahl von Begriffen) und Unterschrift (Vektor von Werten der unveränderlichen Koeffizienten) sortiert sind