:This-Artikel beschreibt den Gebrauch des Begriffes Nichtlinearität in der Mathematik. Für andere Bedeutungen, sieh Nichtlinearität (Begriffserklärung).

In der Mathematik ist ein nichtlineares System dasjenige, das den Überlagerungsgrundsatz oder denjenigen nicht befriedigt, dessen Produktion zu seinem Eingang nicht direkt proportional ist; ein geradliniges System erfüllt diese Bedingungen. Mit anderen Worten ist ein nichtlineares System jedes Problem, wo die Variable (N), die dafür zu lösen ist, als eine geradlinige Kombination von unabhängigen Bestandteilen nicht geschrieben werden kann. Ein nichthomogenes System, das abgesondert von der Anwesenheit einer Funktion der unabhängigen Variablen geradlinig ist, ist gemäß einer strengen Definition nichtlinear, aber solche Systeme werden gewöhnlich neben geradlinigen Systemen studiert, weil sie in ein geradliniges System von vielfachen Variablen umgestaltet werden können.

Nichtlineare Probleme sind von Interesse Ingenieuren, Physikern und Mathematikern, weil die meisten physischen Systeme in der Natur von Natur aus nichtlinear sind. Nichtlineare Gleichungen sind schwierig, zu lösen und interessante Phänomene wie Verwirrung zu verursachen. Das Wetter ist berühmt chaotisch, wo einfache Änderungen in einem Teil des Systems komplizierte Effekten überall erzeugen.

Definition

In der Mathematik ist eine geradlinige Funktion (oder Karte) diejenige, die beide der folgenden Eigenschaften befriedigt:

• Additivität,
• Gleichartigkeit,

(Additivität bezieht Gleichartigkeit für jeden vernünftigen α, und für dauernde Funktionen für jeden echten α ein. Für einen Komplex α folgt Gleichartigkeit aus Additivität nicht; zum Beispiel ist eine antigeradlinige Karte zusätzlich, aber nicht homogen.) Die Bedingungen der Additivität und Gleichartigkeit werden häufig im Überlagerungsgrundsatz verbunden

:

Eine Gleichung schriftlich als

:

wird geradlinig genannt, wenn eine geradlinige Karte (wie definiert, oben) und nichtlinear sonst ist. Die Gleichung wird homogen wenn genannt.

Die Definition ist darin sehr allgemein kann jeder vernünftige mathematische Gegenstand (Zahl, Vektor, Funktion, usw.) sein, und die Funktion kann wörtlich sein, einschließlich der Integration oder Unterscheidung mit verbundenen Einschränkungen (wie Grenzwerte) jeder kartografisch darzustellen. Wenn Unterscheidung dessen enthält, wird das Ergebnis eine Differenzialgleichung sein.

Nichtlineare algebraische Gleichungen

Nichtlineare algebraische Gleichungen, die auch polynomische Gleichungen genannt werden, werden durch die Gleichstellung von Polynomen zur Null definiert. Zum Beispiel,

:

Für eine einzelne polynomische Gleichung können wurzelfindende Algorithmen verwendet werden, um Lösungen der Gleichung zu finden (d. h., Sätze von Werten für die Variablen, die die Gleichung befriedigen). Jedoch,

Systeme von algebraischen Gleichungen sind mehr kompliziert; ihre Studie ist eine Motivation für das Feld der algebraischen Geometrie, einen schwierigen Zweig der modernen Mathematik. Es ist sogar schwierig zu entscheiden, ob ein gegebenes algebraisches System komplizierte Lösungen hat (sieh den Nullstellensatz von Hilbert). Dennoch, im Fall von den Systemen mit einer begrenzten Zahl von komplizierten Lösungen, werden diese Systeme von polynomischen Gleichungen jetzt gut verstanden, und effiziente Methoden bestehen, um sie zu lösen.

Nichtlineare Wiederauftreten-Beziehungen

Eine nichtlineare Wiederauftreten-Beziehung definiert aufeinander folgende Begriffe einer Folge als eine nichtlineare Funktion, Begriffen voranzugehen. Beispiele von nichtlinearen Wiederauftreten-Beziehungen sind die logistische Karte und die Beziehungen, die die verschiedenen Folgen von Hofstadter definieren.

Nichtlineare Differenzialgleichungen

Wie man

sagt, ist ein System von Differenzialgleichungen nichtlinear, wenn es nicht ein geradliniges System ist. Probleme, die nichtlineare Differenzialgleichungen einschließen, sind äußerst verschieden, und Methoden der Lösung oder Analyse sind Problem-Abhängiger. Beispiele von nichtlinearen Differenzialgleichungen sind Navier-schürt Gleichungen in der flüssigen Dynamik, die Lotka-Volterra Gleichungen in der Biologie und den Schwarzen-Scholes PDE in der Finanz.

Eine der größten Schwierigkeiten von nichtlinearen Problemen ist, dass es nicht allgemein möglich ist, bekannte Lösungen in neue Lösungen zu verbinden. In geradlinigen Problemen, zum Beispiel, kann eine Familie von linear unabhängigen Lösungen verwendet werden, um allgemeine Lösungen durch den Überlagerungsgrundsatz zu bauen. Ein gutes Beispiel davon ist eindimensionaler Hitzetransport mit Grenzbedingungen von Dirichlet, von denen die Lösung als eine zeitabhängige geradlinige Kombination von sinusoids von sich unterscheidenden Frequenzen geschrieben werden kann; das macht Lösungen sehr flexibel. Es ist häufig möglich, mehrere sehr spezifische Lösungen nichtlinearer Gleichungen zu finden, jedoch verhindert der Mangel an einem Überlagerungsgrundsatz den Aufbau von neuen Lösungen.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen

Befehlen Sie zuerst, dass gewöhnliche Differenzialgleichungen häufig durch die Trennung von Variablen besonders für autonome Gleichungen genau lösbar sind. Zum Beispiel, die nichtlineare Gleichung

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wird u = (x + C) als eine allgemeine Lösung leicht nachgeben. Die Gleichung ist nichtlinear, weil sie als geschrieben werden kann

:

und die linke Seite der Gleichung ist nicht eine geradlinige Funktion von u und seinen Ableitungen. Bemerken Sie, dass, wenn der U-Begriff durch u ersetzt wurde, das Problem (das Exponentialzerfall-Problem) geradlinig sein würde.

Gewöhnliche Differenzialgleichungen der zweiten und höheren Ordnung (mehr allgemein, Systeme von nichtlinearen Gleichungen) geben selten geschlossene Form-Lösungen nach, obwohl auf implizite Lösungen und Lösungen, die nichtelementare Integrale einschließen, gestoßen wird.

Die übliche Methodik für die qualitative Analyse von nichtlinearen gewöhnlichen Differenzialgleichungen schließt ein:

• Überprüfung irgendwelcher erhaltenen Mengen, besonders in Systemen von Hamiltonian.
• Die Überprüfung von dissipative Mengen (sieh Lyapunov fungieren), analog erhaltenen Mengen.
• Linearization über die Vergrößerung von Taylor.
• Änderung von Variablen in etwas Leichteres, um zu studieren.
• Gabelungstheorie.
• Unruhe-Methoden (kann auf algebraische Gleichungen auch angewandt werden).

Teilweise Differenzialgleichungen

Die allgemeinste grundlegende Annäherung an das Studieren nichtlinearer teilweiser Differenzialgleichungen soll die Variablen ändern (oder sonst das Problem umgestalten), so dass das resultierende Problem (vielleicht sogar geradlinig) einfacher ist. Manchmal kann die Gleichung in eine umgestaltet werden, oder gewöhnlichere Differenzialgleichungen, wie gesehen, in der Ähnlichkeit verwandeln sich oder Trennung von Variablen, die immer nützlich ist, ob die resultierende gewöhnliche unterschiedliche Gleichung (En) lösbar ist.

Ein anderer üblich (obwohl weniger mathematic) Taktik, die häufig in Flüssigkeit und Hitzemechanik gesehen ist, soll Skala-Analyse verwenden, um eine allgemeine, natürliche Gleichung in einem bestimmten spezifischen Grenzwertproblem zu vereinfachen. Zum Beispiel Navier-schürt das (sehr) nichtlineare Gleichungen können in eine geradlinige teilweise Differenzialgleichung im Fall vom Übergangsprozeß, laminar, einem dimensionalem Fluss in einer kreisförmigen Pfeife vereinfacht werden; die Skala-Analyse stellt Bedingungen zur Verfügung, unter denen der Fluss laminar und ein dimensionaler ist und auch die vereinfachte Gleichung nachgibt.

Andere Methoden schließen das Überprüfen der Eigenschaften und Verwenden der Methoden ein, die oben für gewöhnliche Differenzialgleichungen entworfen sind.

Pendula

Ein Klassiker, umfassend studiertes nichtlineares Problem ist die Dynamik eines Pendels unter dem Einfluss des Ernstes. Mit der Lagrangian Mechanik kann es gezeigt werden, dass die Bewegung eines Pendels durch die ohne Dimension nichtlineare Gleichung beschrieben werden kann

: (man sollte das in dieser Gleichung g = L = 1 bemerken)

wo Ernst "abwärts" hinweist und der Winkel die Pendel-Formen mit seiner Rest-Position, wie gezeigt, in der Zahl am Recht ist. Eine Annäherung an "das Lösen" dieser Gleichung soll als ein Integrierungsfaktor verwenden, der schließlich nachgeben würde

:

der eine implizite Lösung ist, die ein elliptisches Integral einschließt. Diese "Lösung" hat allgemein vielen Nutzen nicht, weil der grösste Teil der Natur der Lösung im nichtelementaren Integral (nichtelementar selbst wenn) verborgen wird.

Eine andere Weise, sich dem Problem zu nähern, ist zu linearize irgendwelche Nichtlinearitäten (der Sinusfunktionsbegriff in diesem Fall) an den verschiedenen Punkten von Interesse durch Vergrößerungen von Taylor. Zum Beispiel ist der linearization an, genannt die kleine Winkelannäherung,

:

seitdem dafür. Das ist ein einfacher harmonischer Oszillator entsprechend Schwingungen des Pendels in der Nähe vom Boden seines Pfads. Ein anderer linearization würde an entsprechend dem Pendel sein, das gerade ist:

:

seitdem dafür. Die Lösung dieses Problems schließt hyperbolischen sinusoids ein, und bemerken Sie, dass verschieden von der kleinen Winkelannäherung diese Annäherung nicht stabil ist, bedeutend, dass das gewöhnlich ohne Grenze wachsen wird, obwohl begrenzte Lösungen möglich sind. Das entspricht der Schwierigkeit, ein Pendel aufrecht zu erwägen, es ist wörtlich ein nicht stabiler Staat.

Ein mehr interessanter linearization ist ringsherum, um der möglich:

:

Das entspricht einem Problem des freien Falles. Ein sehr nützliches qualitatives Bild der Dynamik des Pendels kann durch piecing zusammen solcher linearizations, wie gesehen, in der Zahl am Recht erhalten werden. Andere Techniken können verwendet werden (um genaue) Phase-Bildnisse und ungefähre Perioden zu finden.

Typen von nichtlinearen Handlungsweisen

• Indeterminism - das Verhalten eines Systems kann nicht vorausgesagt werden.
• Mehrstabilität - zwischen zwei oder mehr exklusiven Staaten abwechselnd.
• Aperiodische Schwingungen - Funktionen, die Werte nach einer Periode (sonst bekannt als chaotische Schwingungen oder Verwirrung) nicht wiederholen.

Beispiele von nichtlinearen Gleichungen

• AC Macht überflutet Modell
• Algebraische Riccati Gleichung
• Ball und Balken-System
• Gleichung des öffentlichen Ausrufers für die optimale Politik
• Transportgleichung von Boltzmann
• Gleichung von Colebrook
• Allgemeine Relativität
• Ginzburg-Landauer-Gleichung
• Navier-schürt Gleichungen der flüssigen Dynamik
• Korteweg-de Vries Gleichung
• Nichtlineare Optik
• Nichtlineare Gleichung von Schrödinger
• Gleichung von Richards für den ungesättigten Wasserfluss
• Roboter-Einrad, das balanciert
• Gleichung des Sinus-Gordon
• Gleichung des Landauers-Lifshitz
• Gleichung von Ishimori
• Gleichung von Van der Pol
• Gleichung von Liénard
• Gleichung von Vlasov

Siehe auch die Liste von nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen

Software, um nichtlineares System zu lösen

• interalg: Solver von OpenOpt / Fachwerk von FuncDesigner, um entweder irgendwelchen oder alle Lösungen des nichtlinearen algebraischen Gleichungssystems zu suchen
• Eine Sammlung von nichtlinearen Modellen und Demo applets (im Virtuellen Laboratorium der Monash Universität)
• Software von FyDiK für Simulationen von nichtlinearen dynamischen Systemen

Siehe auch

• Wechselwirkung
• Aleksandr Mikhailovich Lyapunov
• Dynamisches System
• Geradliniges System
• Weise-Kopplung
• Reihe von Volterra
• Vektor soliton

Weiterführende Literatur

Links

• Befehl und Kontrollforschungsprogramm (CCRP)
• Komplex-Systeminstitut von Neuengland: Konzepte in komplizierten Systemen
• Nichtlineare Dynamik I: Verwirrung an OpenCourseWare von MIT
• Nichtlineare Modelle nichtlineare Musterdatenbank von physischen Systemen (MATLAB)
• Das Zentrum für nichtlineare Studien an Los Alamos National Laboratory