In der mathematischen Disziplin der Mengenlehre ist das Zwingen eine Technik, die von Paul Cohen erfunden ist, um Konsistenz- und Unabhängigkeitsergebnisse zu beweisen. Es wurde zuerst 1963 verwendet, um die Unabhängigkeit des Axioms der Wahl und der Kontinuum-Hypothese von der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre zu beweisen. Das Zwingen wurde beträchtlich nachgearbeitet und in den 1960er Jahren vereinfacht und hat sich erwiesen, eine äußerst starke Technik sowohl innerhalb der Mengenlehre als auch in Gebieten der mathematischen Logik wie Recursion-Theorie zu sein.

Beschreibende Mengenlehre verwendet beide der Begriff des Zwingens aus der recursion Theorie sowie hat das theoretische Zwingen gesetzt. Das Zwingen ist auch in der Mustertheorie verwendet worden, aber es ist in der Mustertheorie üblich, genericity direkt ohne Erwähnung des Zwingens zu definieren.

Intuitionen

Das Zwingen ist zur Methode von GeBoolean-schätzten Modellen gleichwertig, die ein Gefühl begrifflich natürlicher und intuitiv, aber gewöhnlich viel schwieriger ist anzuwenden.

Intuitiv besteht das Zwingen daraus, den Satz theoretisches Weltall V zu einem größeren Weltall V* auszubreiten. In diesem größeren Weltall, zum Beispiel, könnte man viele neue Teilmengen von ω = {0,1,2, …} haben, die nicht dort im alten Weltall waren, und dadurch die Kontinuum-Hypothese verletzen. Während unmöglich, auf dem Gesicht davon ist das gerade eine andere Version des Paradoxes des Kantoren über die Unendlichkeit. Im Prinzip konnte man denken

identifizieren Sie sich damit, und dann führen Sie eine ausgebreitete Mitgliedschaft-Beziehung ein, die die "neuen" Sätze der Form einschließt. Das Zwingen ist eine mehr wohl durchdachte Version dieser Idee, die Vergrößerung zur Existenz eines neuen Satzes reduzierend, und feine Kontrolle über die Eigenschaften des ausgebreiteten Weltalls berücksichtigend.

Die ursprüngliche Technik von Cohen, jetzt genannt das verzweigte Zwingen, ist vom unverzweigten Zwingen erklärt hier ein bisschen verschieden.

Das Zwingen posets

Ein Zwingen poset ist ein bestellter dreifacher

: (P, , 1)

wo "" eine Vorordnung auf P ist, der folgende zerreißende Bedingung befriedigt

:For der ganze p  P, es gibt q, r  P solch dass q, r  p ohne s  P solch dass s  q, r

und 1 ist ein größtes Element, d. h.

:p  1 für den ganzen p  P.

Mitglieder von P werden Bedingungen genannt. Man liest

:p  q

als

:p ist stärker als q.

Intuitiv gibt die "kleinere" Bedingung "mehr" Auskunft, gerade als der kleinere Zwischenraum [3.1415926,3.1415927] mehr Auskunft über die Zahl π gibt, als der Zwischenraum [3.1.3.2] tut.

(Es gibt verschiedene Vereinbarung hier. Einige Autoren verlangen, dass "" auch antisymmetrisch ist, so dass die Beziehung eine teilweise Ordnung ist. Einige gebrauchen den Begriff teilweise Ordnung irgendwie, die Standardfachsprache, während etwas Gebrauch der Begriff Vorordnung kollidierend. Auf das größte Element kann verzichtet werden. Die Rückseite, die bestellt, wird auch, am meisten namentlich von Saharon Shelah und seinen Mitverfassern verwendet.)

Vereinigt mit einem Zwingen poset sind P die P-Namen. P-Namen sind Sätze der Form

: {(u, p): U ist ein P-Name und p  P und (ein Kriterium, das u und p einschließt)}.

Diese Definition ist kreisförmig; der in der Mengenlehre bedeutet, dass es wirklich eine Definition durch transfiniten recursion ist. In der langen Form definiert man

::*Name (0) = {};

::*Name (α + 1) = eine bestimmte Teilmenge des Macht-Satzes (Name (α) × P);

::*Name (λ) =  {Name (α): α =  {Name (α): α ist eine Ordnungszahl}.

Die P-Namen, sind tatsächlich, eine Vergrößerung des Weltalls. Gegebener x in V, man definiert

:x

der P-Name zu sein

: {(y,1): y  x\.

Wieder ist das wirklich eine Definition durch transfiniten recursion.

In Anbetracht jeder Teilmenge G P definiert ein folgender die Interpretation oder Schätzungskarte von Namen durch

:val (u, G) = {val (v, G):  p  G, (v, p)  u\.

(Wieder eine Definition durch transfiniten recursion.) Bemerken das, wenn 1 in G, dann ist

:val (x, G) = x.

Man definiert

: = {(p, p): p  G\,

dann

:val (G) = G.

Ein gutes Beispiel eines Zwingens poset ist

: (Bor (I), , I),

wo ich = [0,1] und Bor (I) die Teilmengen von Borel von mir bin, Nichtnullmaß von Lebesgue habend. In diesem Fall kann man über die Bedingungen als seiend Wahrscheinlichkeiten und Bor (I) sprechen - Name teilt Mitgliedschaft in einem probabilistic Sinn zu. Wegen der bereiten Intuition kann dieses Beispiel zur Verfügung stellen, probabilistic Sprache wird manchmal mit dem anderen Zwingen posets verwendet.

Zählbare transitive Modelle und allgemeine Filter

Der Schlüsselschritt im Zwingen, ist in Anbetracht eines ZFC Weltalls V, um passenden G nicht in V zu finden. Die resultierende Klasse aller Interpretationen von P-Namen wird sich erweisen, ein Modell von ZFC zu sein, richtig das Original V (seit GV) erweiternd.

Anstatt mit V zu arbeiten, denkt man eine zählbare transitive MusterM mit (P, , 1)  M. Durch das Modell haben wir ein Modell der Mengenlehre, entweder aller ZFC, oder eines Modells einer großen, aber begrenzten Teilmenge der ZFC Axiome oder einer Variante davon vor. Transitivity meint dass, wenn x  y  M, dann sagt x  M Der Mostowski, der Lehrsatz ohnmächtig wird, das, angenommen werden kann, wenn die Mitgliedschaft-Beziehung wohl begründet ist. Die Wirkung von transitivity besteht darin, dass Mitgliedschaft und andere elementare Begriffe intuitiv behandelt werden können. Countability des Modells verlässt sich auf den Löwenheim-Skolem Lehrsatz.

Da M ein Satz ist, gibt es Sätze nicht in der M - das folgt aus dem Paradox von Russell. Der passende Satz G, um aufzupicken, und an die M anzugrenzen, ist ein allgemeiner Filter auf P. Die Filterbedingung bedeutet das GP und

:*1  G;

:*if p  q  G, dann p  G;

:*if p, q  G, dann r  G, r  p und r  q;

Für G, um allgemein zu sein, bedeutet

:*if D  M ist eine dichte Teilmenge von P (d. h. p  bezieht P q  D, q  p ein) dann GD  0.

Die Existenz eines allgemeinen Filters G folgt aus dem Lemma von Rasiowa-Sikorski. Tatsächlich ist ein bisschen mehr wahr: In Anbetracht einer Bedingung p  P kann man einen allgemeinen Filter G solch dass p  G finden. Wegen der zerreißenden Bedingung, wenn G Filter ist, dann ist P\G dicht. Wenn G in der M dann ist, ist P\G in der M, weil M Modell der Mengenlehre ist. Durch diesen Grund ist allgemeiner Filter nie in der M.

Das Zwingen

In Anbetracht eines allgemeinen Filters GP geht man wie folgt weiter. Die Unterklasse von P-Namen in der M ist angezeigte M Gelassene M [G] = {val (u, G): uM}. Um die Studie der Mengenlehre der M [G] zu dieser der M zu reduzieren, arbeitet man mit der Zwingen-Sprache, die wie gewöhnliche Logik der ersten Ordnung, mit der Mitgliedschaft als binäre Beziehung und alle Namen als Konstanten aufgebaut wird.

Definieren Sie p φ (u, …, u) (gelesen "p zwingt φ in der MusterM mit poset P"), wo p eine Bedingung ist, ist φ eine Formel auf der Zwingen-Sprache, und die u sind Namen, um das zu bedeuten, wenn G ein allgemeiner Filter ist, der p, dann M [G]  φ (val (u, G), …, val (u, G)) enthält. Der spezielle Fall 1 φ wird häufig P φ oder φ geschrieben. Solche Behauptungen sind in der M [G] wahr, egal was G ist.

Was wichtig ist, ist, dass diese "Außen"-Definition der Zwingen-Beziehung p φ zu einer "inneren" Definition gleichwertig ist, die durch die transfinite Induktion über die Namen auf Beispielen von u  v und u = v, und dann durch die gewöhnliche Induktion über die Kompliziertheit von Formeln definiert ist. Das hat die Wirkung, dass alle Eigenschaften der M [G] wirklich Eigenschaften der M sind, und die Überprüfung von ZFC in der M [G] aufrichtig wird. Das wird gewöhnlich als drei Schlüsseleigenschaften zusammengefasst:

• Wahrheit: M [G]  φ (val (u, G), …, val (u, G)) wenn, und nur wenn es durch G, d. h. für etwas Bedingung p  G, p φ (u, …, u) gezwungen wird.
• Definability: Die Behauptung "p φ (u, …, u)" ist in der M definierbar.
• Kohärenz: Wenn p φ (u, …, u) und q  p, dann q φ (u, …, u).

Wir definieren die Zwingen-Beziehung in V durch die Induktion auf der Kompliziertheit, in der wir gleichzeitig das Zwingen von Atomformeln durch  - Induktion definieren.

1. p ein  b, wenn für einen q  p es r  q solch gibt, dass es (s, c)  b solch dass r  s und r = c gibt.

2. p = b wenn p ein  b und p b  ein

:where

:p ein  b wenn für den ganzen q  p und für alle (r, c)  wenn q  r dann q c  b.

3. p ¬ f, wenn es keinen q  p solch dass q f gibt.

4. p f  g wenn p f und p g.

5. p  x f wenn p f (a) für jeden Namen a, wo f (a) Ergebnis ist, alle freien Ereignisse von x in f durch a zu ersetzen.

In 1-5 p ist eine willkürliche Bedingung. In 1 und 2 a und b sind willkürliche Namen und in 3-5 f, und g sind willkürliche Formeln. Diese Definition stellt die Möglichkeit des Arbeitens in V ohne jede zählbare transitive MusterM zur Verfügung. Die folgende Behauptung gibt hat definability bekannt gegeben:

p f wenn und nur wenn M  p f.

(Wo keine Verwirrung möglich ist, schreiben wir einfach.)

Konsistenz

Der obengenannte kann durch den Ausspruch zusammengefasst werden, dass das grundsätzliche Konsistenz-Ergebnis das gegeben ein Zwingen poset P ist, können wir annehmen, dass dort ein allgemeiner Filter G besteht, nicht im Weltall V, solch, dass V [G] wieder ein Satz theoretisches Weltall ist, ZFC modellierend. Außerdem können alle Wahrheiten in V [G] auf Wahrheiten in V bezüglich der Zwingen-Beziehung reduziert werden.

Beide Stile, G zu einer zählbaren transitiven MusterM oder zum ganzen Weltall V angrenzend, werden allgemein verwendet. Weniger allgemein gesehen ist die Annäherung mit der "inneren" Definition des Zwingens, und keine Erwähnung des Satzes oder der Klassenmodelle wird gemacht. Das war die ursprüngliche Methode von Cohen, und in einer Weiterentwicklung, es wird die Methode der GeBoolean-schätzten Analyse.

Cohen, der zwingt

Das einfachste nichttriviale Zwingen poset ist (Flosse (ω, 2), , 0), die begrenzten teilweisen Funktionen von ω bis 2 = {0,1} unter der Rückeinschließung. D. h. eine Bedingung p ist im Wesentlichen zwei nehmen begrenzte Teilmengen p [1] und p [0] von ω auseinander, um gedacht zu werden, weil "ja-" und Nein-Teile von p, ohne Auskunft, die über Werte außerhalb des Gebiets von p. q gegeben ist, stärker sind, als p bedeutet, dass q  p, mit anderen Worten, "ja" und Nein-Teile von q Obermengen von "ja" und Nein-Teile von p, und in diesem Sinn sind, mehr Auskunft geben.

Lassen Sie G ein allgemeiner Filter für diesen poset sein. Wenn p und q beide in G sind, dann ist pq eine Bedingung, weil G ein Filter ist. Das bedeutet, dass g =  G eine bestimmte teilweise Funktion von ω bis 2 ist, weil sich irgendwelche zwei Bedingungen in G über ihr allgemeines Gebiet einigen.

g ist tatsächlich eine Gesamtfunktion. Gegebener n  ω, lassen Sie D = {p: p wird (n)} definiert, dann ist D dicht. (Gegeben jeder p, wenn n nicht im Gebiet von p ist, grenzen an einen Wert für n an, das Ergebnis ist in D.) Eine Bedingung p  GD hat n in seinem Gebiet, und da p  g g (n) definiert wird.

Lassen Sie X=g [1], der Satz von allen "ja" Mitglieder der allgemeinen Bedingungen. Es ist möglich, einen Namen für X direkt zu geben. Lassen Sie = {(n, p): p (n) =1}, dann val (G) = X. Nehmen Sie jetzt Einen ω in V an. Wir fordern das XA. Lassen Sie D = {p: n, ndom (p) und p (n) =1 wenn und nur wenn nA}. D ist dicht. (Gegeben jeder p, wenn n nicht im Gebiet von p ist, grenzen an einen Wert für n gegen den Status von "nA" an.) Dann bezeugt jeder pGD XA., X zusammenzufassen, ist eine neue Teilmenge von ω, notwendigerweise unendlich.

Das Ersetzen ω mit × denkt d. h. stattdessen begrenzte teilweise Funktionen, deren Eingänge von der Form (n, α) mit n sind, und dessen Produktionen 0 oder 1 sind, bekommt man ω neue Teilmengen von ω. Sie sind alle durch ein Dichte-Argument verschieden: Gegebener α, lassen Sie D = {p:  n, p (n, α)  p (n, β)}, dann ist jeder D dicht, und eine allgemeine Bedingung darin beweist, dass der αth neue Satz irgendwo mit dem βth neuen Satz nicht übereinstimmt.

Das ist noch nicht die Fälschung der Kontinuum-Hypothese. Man muss beweisen, dass keine neuen Karten eingeführt worden sind, die ω auf ω oder ω auf ω kartografisch darstellen. Zum Beispiel, wenn man stattdessen Flosse (ω,ω), begrenzte teilweise Funktionen von ω bis ω, die erste unzählbare Ordnungszahl denkt, kommt man in V [G] eine Bijektion von ω bis ω. Mit anderen Worten ist ω, und in der Zwingen-Erweiterung zusammengebrochen, ist eine zählbare Ordnungszahl.

Der letzte Schritt in der Vertretung der Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese soll dann zeigen, dass Cohen, der zwingt, Kardinäle nicht ohnmächtig wird. Dafür besteht ein genügend kombinatorisches Eigentum darin, dass alle Antiketten dieses poset zählbar sind.

Die zählbare Kettenbedingung

Eine Antikette P ist eine solche Teilmenge, dass, wenn p und q in A sind, dann sind p und q (schriftlicher p  q) unvereinbar, bedeutend, es keinen r in solchem P dass r  p und r  q gibt. Im Borel führt Beispiel an, Inkompatibilität bedeutet, dass pq Maß-Null hat. Im begrenzten teilweisen Funktionsbeispiel bedeutet Inkompatibilität, dass pq nicht ist, teilen eine Funktion, mit anderen Worten, p und q verschiedene Werte einem Bereichseingang zu.

P befriedigt die zählbare Kettenbedingung (c.c.c). wenn jede Antikette in P zählbar ist. (Der Name, der offensichtlich unpassend ist, ist ein Überbleibsel von der älteren Fachsprache. Einige Mathematiker schreiben "c.a.c." für die "zählbare Antikettenbedingung".)

Es ist leicht zu sehen, dass Bor (I) den c.c.c befriedigt., weil sich die Maßnahmen höchstens 1 belaufen. Flosse (E, 2) ist auch c.c.c., aber der Beweis ist schwieriger.

In Anbetracht einer unzählbaren Unterfamilie W  Flosse (E, 2), lassen W zu einer unzählbaren Unterfamilie W von Sätzen der Größe zusammenschrumpfen, weichen n, für einen n) =b für unzählbar viele p  W, zu dieser unzählbaren Unterfamilie W und Wiederholung zurück, einen begrenzten Satz {(e, b), …, (e, b)}, und eine unzählbare Familie W von unvereinbaren Bedingungen der Größe n−k solch bekommend, dass jeder e in höchstens zählbar vielen dom (p) für p  W ist. Picken Sie jetzt einen willkürlichen p  W auf, und picken Sie von W jeden q auf, der nicht eines der zählbar vielen Mitglieder ist, die ein Bereichsmitglied genau wie p haben. Dann sind p  {(e, b), …, (e, b)} und q  {(e, b), …, (e, b)} vereinbar, so ist W nicht eine Antikette. Mit anderen Worten, Flosse (E, 2) sind Antiketten zählbar.

Die Wichtigkeit von Antiketten im Zwingen besteht darin, dass zu den meisten Zwecken dichte Sätze und maximale Antiketten gleichwertig sind. Eine maximale Antikette A ist diejenige, die nicht erweitert werden und noch eine Antikette sein kann. Das bedeutet, dass jedes Element von p  P mit einem Mitglied von A vereinbar ist. Ihre Existenz folgt aus dem Lemma von Zorn. In Anbetracht einer maximalen Antikette A, lassen Sie D = {p: pq, ein qA}. D, ist und GD0 wenn und nur wenn GA0 dicht. Umgekehrt, in Anbetracht eines dichten Satzes D, bestehen die Lemma-Shows von Zorn dort eine maximale Antikette AD, und dann GD0 wenn und nur wenn GA0.

Nehmen Sie an, dass P c.c.c ist. Gegebener x, y  V, mit f:xy in V [G], kann man f innerhalb V wie folgt näher kommen. Lassen Sie u ein Name für f (durch die Definition V [G]) sein und p eine Bedingung sein zu lassen, die u zwingt, eine Funktion von x bis y zu sein. Definieren Sie eine Funktion F, dessen Gebiet x durch F (a) = {b ist:  q  p zwingt q u (a) = b}. Durch definability des Zwingens hat diese Definition Sinn innerhalb V. Durch die Kohärenz des Zwingens, verschiedener vom unvereinbaren p's gekommener b's. Durch c.c.c., F ist (a) zählbar.

In der Zusammenfassung ist f in V unbekannt, da es von G abhängt, aber es ist für ein C.c.c.-Zwingen nicht wild unbekannt. Man kann einen zählbaren Satz von Annahmen dafür identifizieren, was der Wert von f an jedem Eingang ist, der von G unabhängig ist.

Das hat die folgende sehr wichtige Folge. Wenn in V [G] f:α β eine Surjektion von einer unendlicher Ordnungszahl bis einen anderen ist, dann gibt es eine Surjektion g:ω×α β in V und folglich eine Surjektion h:α β in V. Insbesondere Kardinäle können nicht ohnmächtig werden. Der Beschluss besteht dass 2   in V [G] darin.

Das Zwingen von Easton

Der genaue Wert des Kontinuums im obengenannten Modell von Cohen und die Varianten wie Flosse (ω × κ, 2) für Kardinäle κ im Allgemeinen, wurde von Robert M. Solovay ausgearbeitet, der auch ausgearbeitet hat, wie man GCH (die verallgemeinerte Kontinuum-Hypothese), für regelmäßige Kardinäle nur, eine begrenzte Zahl von Zeiten verletzt. Zum Beispiel, im obengenannten Modell von Cohen, wenn CH in V hält, dann 2 = hält  in V [G].

W. B. Easton hat die unendliche und richtige Klassenversion ausgearbeitet, den GCH für regelmäßige Kardinäle zu verletzen, grundsätzlich zeigend, dass die bekannten Beschränkungen (Monomuskeltonus, der Lehrsatz des Kantoren und der Lehrsatz von König) die einzigen ZFC nachweisbaren Beschränkungen waren. Sieh den Lehrsatz von Easton.

Die Arbeit von Easton war darin bemerkenswert sie hat das Zwingen mit einer richtigen Klasse von Bedingungen eingeschlossen. Im Allgemeinen wird die Methode, mit einer richtigen Klasse von Bedingungen zu zwingen, scheitern, ein Modell von ZFC zu geben. Zum Beispiel, Flosse (ω × auf, 2), wo "Darauf" die richtige Klasse aller Ordnungszahlen ist, wird das Kontinuum eine richtige Klasse machen. Flosse (ω, Auf) wird eine zählbare Enumeration der Ordnungszahlen einführen. In beiden Fällen ist das resultierende V [G] sichtbar nicht ein Modell von ZFC.

Auf einmal wurde es gedacht, dass das hoch entwickeltere Zwingen auch willkürliche Schwankung in den Mächten von einzigartigen Kardinälen erlauben würde. Aber das hat sich erwiesen, ein schwieriges, feines und sogar überraschendes Problem mit noch mehreren Beschränkungen zu sein, die in ZFC, und mit den Zwingen-Modellen abhängig von der Konsistenz von verschiedenen großen grundsätzlichen Eigenschaften nachweisbar sind. Viele offene Probleme bleiben.

Zufälliger reals

In den Sätzen von Borel (Bor (I), , I) Beispiel, läuft der allgemeine Filter zu einer reellen Zahl r, genannt einen zufälligen echten zusammen. Ein Name für die dezimale Vergrößerung von r (im Sinne des kanonischen Satzes von dezimalen Zwischenräumen, die zu r zusammenlaufen) kann durch das Lassen = {(E, E) gegeben werden: E = [k10, (k + 1) 10], 0  k\. Das, ist in einem Sinn, gerade ein Subname dessen.

Um G von r wieder zu erlangen, nimmt man jene Teilmengen von Borel von mir, die r "enthalten". Seit dem Zwingen ist poset in V, aber r ist nicht in V, diese Eindämmung ist wirklich unmöglich. Aber es gibt einen natürlichen Sinn, in dem der Zwischenraum [0.5, 0.6] in V einen zufälligen echten "enthält", dessen dezimale Vergrößerung 0.5 beginnt. Das wird durch den Begriff des "Codes von Borel" formalisiert.

Jeder Borel ist untergegangen kann nichteinzigartig aufgebaut werden, von Zwischenräumen mit vernünftigen Endpunkten anfangend und die Operationen der Ergänzung und zählbaren Vereinigungen, einer zählbaren Zahl von Zeiten anwendend. Die Aufzeichnung solch eines Aufbaus wird einen Code von Borel genannt. In Anbetracht eines Satzes von Borel B in V erlangt man einen Code von Borel wieder, und wendet dann dieselbe Baufolge in V [G] an, das Bekommen eines Borels hat B* gesetzt. Man kann beweisen, dass man denselben Satz bekommt, der des Aufbaus von B unabhängig ist, und dass grundlegende Eigenschaften bewahrt werden. Zum Beispiel, wenn BC, dann B *  C*. Wenn B Maß-Null hat, dann hat B* Maß-Null.

So gegeben r, ein zufälliger echter, kann man dass G = {B (in V) zeigen: rB* (in V [G])}. Wegen des gegenseitigen interdefinability zwischen r und G schreibt man allgemein V[r] für V [G].

Eine verschiedene Interpretation von reals in V [G] wurde von Dana Scott zur Verfügung gestellt. Rationale Zahlen in V [G] haben Namen, die zählbar vielen verschiedenen vernünftigen Werten entsprechen, die einer maximalen Antikette von Sätzen von Borel, mit anderen Worten, einer bestimmten vernünftig geschätzten Funktion auf mir = [0,1] zugeteilt sind. Reelle Zahlen in V [G] entsprechen dann Kürzungen von Dedekind solcher Funktionen, d. h. messbarer Funktionen.

GeBoolean-schätzte Modelle

:Main-Artikel: GeBoolean-schätztes Modell

Vielleicht klarer kann die Methode in Bezug auf GeBoolean-schätzte Modelle erklärt werden. In diesen wird jede Behauptung zugeteilt ein Wahrheitswert von einigen vollendet atomless Algebra von Boolean, aber nicht gerade einen wahren/falschen Wert. Dann wird ein Ultrafilter in dieser Algebra von Boolean aufgepickt, die zu Behauptungen unserer Theorie wahre/falsche Werte zuteilt. Es ist nämlich so, dass die resultierende Theorie ein Modell hat, das diesen Ultrafilter enthält, der als ein neues erhaltenes Modell durch das Verlängern des alten mit diesem Ultrafilter verstanden werden kann. Indem wir ein GeBoolean-schätztes Modell auf eine passende Weise aufpicken, können wir ein Modell bekommen, das das gewünschte Eigentum hat. Darin werden nur Behauptungen, die wahr sein müssen (werden "gezwungen", wahr zu sein), gewissermaßen wahr sein (da es dieses extension/minimality Eigentum hat).

Meta-mathematische Erklärung

Im Zwingen bemühen wir uns gewöhnlich zu zeigen, dass ein Satz mit ZFC (oder fakultativ etwas Erweiterung von ZFC) im Einklang stehend ist. Eine Weise, das Argument zu interpretieren, besteht darin, dass wir annehmen, dass ZFC entspricht und verwenden Sie es, um zu beweisen, dass mit unserem neuen Satz verbundener ZFC auch entspricht.

Jede "Bedingung" ist eine begrenzte Information - die Idee besteht darin, dass nur begrenzte Stücke für die Konsistenz wichtig sind, seitdem durch den Kompaktheitslehrsatz ist eine Theorie satisfiable, wenn, und nur wenn jede begrenzte Teilmenge seiner Axiome satisfiable ist. Dann können wir einen unendlichen Satz von konsequenten Bedingungen aufpicken, unser Modell zu erweitern. So, Konsistenz der Mengenlehre annehmend, beweisen wir Konsistenz der mit diesem unendlichen Satz erweiterten Theorie.

Logische Erklärung

Durch den Unvollständigkeitslehrsatz von Godel kann man nicht die Konsistenz von ZFC das Verwenden nur der Axiome von ZFC beweisen, und folglich kann man die Konsistenz von ZFC+H für keine Hypothese H mit nur ZFC+H beweisen. Aus diesem Grund ist das Ziel eines Konsistenz-Beweises, die Konsistenz von ZFC + H hinsichtlich der Konsistenz von ZFC zu beweisen. Solche Probleme sind als Probleme der Verhältniskonsistenz bekannt. Tatsächlich beweist man

(*)

Wir werden das allgemeine Diagramm von Verhältniskonsistenz-Beweisen geben. Weil jeder Beweis begrenzt ist, verwendet er begrenzte Zahl von Axiomen.

Für jeden gegebenen Beweis kann ZFC Gültigkeit dieses Beweises nachprüfen. Das ist durch die Induktion durch die Länge des Beweises nachweisbar.

Jetzt erhalten wir

Wenn wir uns im Anschluss an erweisen

(**)

wir können das schließen

der zu gleichwertig

der (*) gibt. Der Kern des Verhältniskonsistenz-Beweises erweist sich (**). Man muss ZFC Beweis von Con (T + H) für jeden gegebenen begrenzten Satz T ZFC Axiome (durch ZFC Instrumente natürlich) bauen. (Kein universaler Beweis von Con (T + H) natürlich.)

In ZFC ist nachweisbar, dass für jede Bedingung p der Satz von Formeln (bewertet durch Namen) gezwungen durch p geschlossen deduktiv ist. Außerdem für jedes ZFC Axiom beweist ZFC, dass dieses Axiom durch 1 gezwungen wird. Dann Beweis, dass es mindestens eine Bedingung gibt, die H zwingt, genügt.

Im Falle Booleans geschätzten Zwingen-Verfahrens ist ähnlich - man muss beweisen, dass der Wert von Boolean von H nicht 0 ist.

Eine andere Annäherung verwendet Nachdenken-Lehrsatz. Für jeden gegebenen begrenzten Satz von ZFC Axiomen gibt es ZFC Beweis, dass dieser Satz von Axiomen zählbares transitives Modell hat. Für jeden gegebenen begrenzten Satz T ZFC Axiome gibt es begrenzten Satz T' ZFC solcher Axiome, dass ZFC beweist, dass, wenn zählbare transitive MusterM T' dann befriedigt, M [G] T befriedigt. Man muss beweisen, dass es begrenzten Satz T" ZFC solcher Axiome gibt, dass, wenn zählbare transitive MusterM T" dann befriedigt, M [G] betrachtete Hypothese H befriedigt. Dann für jeden gegebenen begrenzten Satz T ZFC Axiome beweist ZFC Con (T + H).

Manchmal in (**) wird eine stärkere Theorie S als ZFC verwendet, um Con (T + H) zu beweisen. Dann haben wir Beweis der Konsistenz von ZFC + H hinsichtlich der Konsistenz von S. Bemerken Sie das, wo ZFL ZF + V = L (Axiom von constructibility) ist.

Siehe auch

• Liste, Begriffe zu zwingen
• Netter Name
• Glocke, J. L. (1985) GeBoolean-schätzte Modelle und Unabhängigkeitsbeweise in der Mengenlehre, Oxford. Internationale Standardbuchnummer 0-19-853241-5

Außenverbindungen

• Der Artikel A Beginner's Guide to Forcing von Tim Chow ist eine gute Einführung in die Konzepte des Zwingens, das viel technisches Detail vermeidet. Dieses Papier ist aus dem newsgroup Artikel Forcing von Chow für Modepuppen gewachsen. Zusätzlich zur verbesserten Ausstellung schließt der Führer des Anfängers eine Abteilung auf Boolean Geschätzte Modelle ein.
• Siehe auch den Artikel A Cheerful Introduction to Forcing von Kenny Easwaran und die Kontinuum-Hypothese, die auch auf den Anfänger gerichtet wird, aber mehr technische Details einschließt als der Artikel von Chow.
• Die Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese Paul J. Cohen, Verhandlungen der Nationalen Akademie von Wissenschaften der Vereinigten Staaten von Amerika, Vol. 50, Nr. 6. (Am 15. Dez 1963), Seiten 1143-1148.
• Die Unabhängigkeit der Kontinuum-Hypothese, Verhandlungen von II Paul J. Cohen der Nationalen Akademie von Wissenschaften der Vereinigten Staaten von Amerika, Vol. 51, Nr. 1. (Am 15. Januar 1964), Seiten 105-110.
• Paul Cohen hat einem historischen Vortrag Die Entdeckung gegeben Zu zwingen (der Felsige Berg J. Mathematik. Band 32, Nummer 4 (2002), 1071-1100) darüber, wie er seinen Unabhängigkeitsbeweis entwickelt hat. Die verbundene Seite hat eine Download-Verbindung für einen offenen Zugang PDF, aber Ihr Browser muss einen referer Kopfball von der verbundenen Seite senden, um es wiederzubekommen.