In der Geometrie ist Halbierung die Abteilung von etwas in zwei gleiche oder kongruente Teile gewöhnlich durch eine Linie, die dann eine Halbierungslinie genannt wird. Die meistenteils überlegten Typen von Halbierungslinien sind die Segment-Halbierungslinie (eine Linie, die den Mittelpunkt eines gegebenen Segmentes durchführt) und die Winkelhalbierungslinie (eine Linie die die Spitze eines Winkels durchführt, der es in zwei gleiche Winkel teilt).

Im dreidimensionalen Raum wird Halbierung gewöhnlich durch ein Flugzeug, auch genannt die Halbierungslinie oder das Halbieren-Flugzeug getan.

Liniensegment-Halbierungslinie

Eine Liniensegment-Halbierungslinie führt den Mittelpunkt des Segmentes durch.

Besonders wichtig ist die rechtwinklige Halbierungslinie eines Segmentes, das, gemäß seinem Namen, das Segment rechtwinklig entspricht. Die rechtwinklige Halbierungslinie eines Segmentes hat auch das Eigentum, dass jeder seiner Punkte von den Endpunkten des Segmentes gleich weit entfernt ist. Deshalb bestehen Voronoi Diagramm-Grenzen aus Segmenten solcher Linien oder Flugzeuge.

In der klassischen Geometrie ist die Halbierung ein einfacher Kompass und Haarlineal, dessen Möglichkeit von der Fähigkeit abhängt, Kreise von gleichen Radien und verschiedenen Zentren zu ziehen. Das Segment wird durch die Zeichnung von sich schneidenden Kreisen des gleichen Radius halbiert, dessen Zentren die Endpunkte des Segmentes sind. Die durch die Punkte der Kreuzung bestimmte Linie ist die rechtwinklige Halbierungslinie, und durchquert unser ursprüngliches Segment an seinem Zentrum. Dieser Aufbau wird tatsächlich verwendet, wenn man eine Liniensenkrechte zu einer gegebenen Linie an einem gegebenen Punkt baut: Einen willkürlichen Kreis ziehend, dessen Zentrum ist, dass Punkt, er die Linie in noch zwei Punkten durchschneidet, und ist die zu bauende Senkrechte diejenige, die das durch diese zwei Punkte definierte Segment halbiert.

Winkelhalbierungslinie

Eine Winkelhalbierungslinie teilt den Winkel in zwei Winkel mit gleichen Maßnahmen. Ein Winkel hat nur eine Halbierungslinie. Jeder Punkt einer Winkelhalbierungslinie ist von den Seiten des Winkels gleich weit entfernt.

Die Innenhalbierungslinie eines Winkels ist die Halblinie oder das Liniensegment, das einen Winkel von weniger als 180 ° in zwei gleiche Winkel teilt. Die Außenhalbierungslinie ist die Halblinie, die den entgegengesetzten Winkel (größerer teilt als 180 °) in zwei gleiche Winkel.

Um einen Winkel mit dem Haarlineal und Kompass zu halbieren, zieht man einen Kreis, dessen Zentrum der Scheitelpunkt ist. Der Kreis entspricht den Winkel an zwei Punkten: ein auf jedem Bein. Mit jedem dieser Punkte als ein Zentrum, ziehen Sie zwei Kreise derselben Größe. Die Kreuzung der Kreise (zwei Punkte) bestimmt eine Linie, die die Winkelhalbierungslinie ist.

Der Beweis der Genauigkeit dieser zwei Aufbauten ist ziemlich intuitiv, sich auf die Symmetrie des Problems verlassend. Es ist interessant zu bemerken, dass die Dreiteilung eines Winkels (es in drei gleiche Teile teilend), mit dem Lineal und Kompass allein nicht erreicht werden kann (das wurde zuerst von Pierre Wantzel bewiesen).

Winkelhalbierungslinien eines Dreiecks

Die Winkelhalbierungslinien der Winkel eines Dreiecks sind in einem Punkt genannt den incenter des Dreiecks gleichzeitig.

Wenn die Seitenlängen eines Dreiecks sind, ist der Halbumfang , und A ist die Winkelgegenseite, die Länge der inneren Halbierungslinie des Winkels A ist

:.

Wenn die Halbierungslinie des Winkels im Dreieck-Abc Länge hat, und wenn diese Halbierungslinie die Seite gegenüber in Segmente von Längen M und n, dann teilt

wo b und c die Seitenlängen entgegengesetzte Scheitelpunkte B und C sind; und die Seite gegenüber A wird im Verhältnis b:c geteilt.

Wenn die Halbierungslinien von Winkeln A, B, und C Längen und, dann haben

Der Winkelhalbierungslinie-Lehrsatz ist mit den Verhältnislängen der zwei Segmente beschäftigt, dass eine Seite eines Dreiecks in durch eine Linie geteilt wird, die den entgegengesetzten Winkel halbiert. Es gleicht ihre Verhältnislängen zu den Verhältnislängen der anderen zwei Seiten des Dreiecks aus.

Winkelhalbierungslinien eines Rhombus

Jede Diagonale eines Rhombus halbiert entgegengesetzte Winkel.

Bereichshalbierungslinien und Bereichsumfang-Halbierungslinien eines Dreiecks

Es gibt eine Unendlichkeit von Linien, die das Gebiet eines Dreiecks halbieren. Drei von ihnen sind die Mittellinien des Dreiecks (die die Mittelpunkte der Seiten mit den entgegengesetzten Scheitelpunkten verbinden), und diese am centroid des Dreiecks gleichzeitig sind; tatsächlich sind sie die einzigen Bereichshalbierungslinien, die den centroid durchgehen. Drei andere Bereichshalbierungslinien sind zu den Seiten des Dreiecks parallel; jeder von diesen schneidet die anderen zwei Seiten durch, um sie in Segmente mit den Verhältnissen zu teilen. Diese sechs Linien sind drei auf einmal gleichzeitig: Zusätzlich zu den drei Mittellinien, die gleichzeitig sind, ist irgendwelche Mittellinie mit zwei der seitenparallelen Bereichshalbierungslinien gleichzeitig.

Der Umschlag der Unendlichkeit von Bereichshalbierungslinien ist ein Deltamuskel (weit gehend definiert als eine Zahl mit drei Scheitelpunkten, die durch Kurven verbunden sind, die zum Äußeren des Deltamuskels konkav sind, die Innenargumente ein nichtkonvexer Satz anbringend). Die Scheitelpunkte des Deltamuskels sind an den Mittelpunkten der Mittellinien; alle Punkte innerhalb des Deltamuskels sind auf drei verschiedenen Bereichshalbierungslinien, während alle Punkte außerhalb dessen auf gerade ein sind.

Die Seiten des Deltamuskels sind Kreisbogen von Hyperbeln, die zu den verlängerten Seiten des Dreiecks asymptotisch sind.

Jede Linie durch ein Dreieck, das sowohl das Gebiet des Dreiecks als auch seinen Umfang entzwei spaltet, geht den incenter des Dreiecks (das Zentrum seines incircle) durch. Es gibt entweder ein, zwei, oder drei von diesen für jedes gegebene Dreieck. Eine Linie durch den incenter halbiert eines des Gebiets oder Umfangs, wenn, und nur wenn es auch den anderen halbiert.

Gebiet und diagonale Halbierungslinien eines Parallelogramms

Jede Linie durch den Mittelpunkt eines Parallelogramms halbiert das Gebiet. Außerdem halbieren die Diagonalen eines Parallelogramms einander.

Winkelhalbierungslinie-Lehrsatz

In der Geometrie ist der Winkelhalbierungslinie-Lehrsatz mit den Verhältnislängen der zwei Segmente beschäftigt, dass eine Seite eines Dreiecks in durch eine Linie geteilt wird, die den entgegengesetzten Winkel halbiert. Es gleicht ihre Verhältnislängen zu den Verhältnislängen der anderen zwei Seiten des Dreiecks aus.

Links

• Die Winkelhalbierungslinie an der Knoten-Kürzung
• Winkelhalbierungslinie-Definition. Offene Matheverweisung Mit interaktivem applet
• Linienhalbierungslinie-Definition. Offene Matheverweisung Mit interaktivem applet
• Lotlinie-Halbierungslinie. Mit interaktivem applet
• Belebte Instruktionen, für einen Winkel zu halbieren und eine Linie mit einem Kompass und Haarlineal zu halbieren