Sphärische Geometrie ist die Geometrie der zweidimensionalen Oberfläche eines Bereichs. Es ist ein Beispiel einer Geometrie, die nicht Euklidisch ist. Zwei praktische Anwendungen der Grundsätze der sphärischen Geometrie sind zur Navigation und Astronomie.

In der Flugzeug-Geometrie sind die grundlegenden Konzepte Punkte und (gerade) Linien. Auf dem Bereich werden Punkte im üblichen Sinn definiert. Die Entsprechungen von Linien werden im üblichen Sinn "der Gerade" in der Euklidischen Geometrie, aber im Sinne "der kürzesten Pfade zwischen Punkten nicht definiert," die geodesics genannt werden. Auf dem Bereich sind die geodesics die großen Kreise; andere geometrische Konzepte werden als in der Flugzeug-Geometrie, aber mit durch große Kreise ersetzten Geraden definiert. So, in Winkeln der sphärischen Geometrie werden zwischen großen Kreisen definiert, auf eine kugelförmige Trigonometrie hinauslaufend, die sich von der gewöhnlichen Trigonometrie in vieler Hinsicht unterscheidet; zum Beispiel überschreitet die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180 Grade.

Sphärische Geometrie ist nicht elliptische Geometrie, aber teilt mit dieser Geometrie das Eigentum, dass eine Linie keine Parallelen durch einen gegebenen Punkt hat. Stellen Sie dem mit der Euklidischen Geometrie gegenüber, in der eine Linie eine Parallele durch einen gegebenen Punkt und Hyperbelgeometrie hat, in der eine Linie zwei Parallelen und eine unendliche Zahl von Ultraparallelen durch einen gegebenen Punkt hat.

Eine wichtige mit diesem des Bereichs verbundene Geometrie ist die des echten projektiven Flugzeugs; es wird erhalten, indem es antipodische Punkte (Paare von entgegengesetzten Punkten) auf dem Bereich identifiziert wird. (Das ist elliptische Geometrie.) Lokal hat das projektive Flugzeug alle Eigenschaften der sphärischen Geometrie, aber es hat verschiedene globale Eigenschaften. Insbesondere es ist non-orientable, oder einseitig.

Konzepte der sphärischen Geometrie können auch auf den länglichen Bereich angewandt werden, obwohl geringe Modifizierungen auf bestimmten Formeln durchgeführt werden müssen.

Hoch-dimensionale kugelförmige Geometrie besteht; sieh elliptische Geometrie.

Geschichte

Kugelförmige Trigonometrie wurde von frühen griechischen Mathematikern wie Menelaus Alexandrias studiert, der ein Buch auf der kugelförmigen Trigonometrie genannt Sphaerica geschrieben hat und den Lehrsatz von Menelaus entwickelt hat.

Islamische Welt

Moslems, gemäß Carra de Vaux, waren "unzweifelhaft die Erfinder des Flugzeugs und der sphärischen Geometrie, die genau genommen unter den Griechen nicht bestanden hat". Wie man betrachtet, ist das Buch von unbekannten Kreisbogen eines vom islamischen Mathematiker Al-Jayyani geschriebenen Bereichs die erste Abhandlung auf der kugelförmigen Trigonometrie. Das Buch enthält Formeln für rechtshändige Dreiecke, das allgemeine Gesetz von Sinus und die Lösung eines kugelförmigen Dreiecks mittels des polaren Dreiecks.

Das Buch Auf Dreiecken durch Regiomontanus, geschrieben 1463, ist die erste reine trigonometrische Arbeit in Europa. Jedoch hat Gerolamo Cardano ein Jahrhundert später bemerkt, dass so viel vom Material dort auf der kugelförmigen Trigonometrie von der Arbeit des zwölften Jahrhunderts des spanischen islamischen Gelehrten Jabir ibn Aflah genommen wurde.

Beziehung zu den Postulaten von Euklid

Sphärische Geometrie folgt zwei der Postulate von Euklid: Das zweite Postulat ("um zu erzeugen [erweitern] eine begrenzte Gerade unaufhörlich in einer Gerade"), und das vierte Postulat ("dass ganz richtig Winkel einander" gleich sind). Jedoch verletzt es die anderen drei: Gegen das erste Postulat gibt es nicht einen einzigartigen kürzesten Weg zwischen irgendwelchen zwei Punkten (antipodische Punkte wie die Nord- und Südpole auf einem kugelförmigen Erdball sind Gegenbeispiele); gegen das dritte Postulat enthält ein Bereich Kreise des willkürlich großen Radius nicht; und gegen das fünfte (parallele) Postulat gibt es nichts, durch den eine Linie gezogen werden kann, der nie eine gegebene Linie durchschneidet.

Eine Behauptung, die zum parallelen Postulat logisch gleichwertig ist, ist, dass dort ein Dreieck besteht, dessen sich Winkel auf 180 ° belaufen. Da sphärische Geometrie das parallele Postulat verletzt, dort besteht kein solches Dreieck auf der Oberfläche eines Bereichs. Tatsächlich ist die Summe der Winkel eines Dreiecks auf einem Bereich 180 ° (1+4f), wo f der Bruchteil der Oberfläche des Bereichs ist, die durch das Dreieck eingeschlossen wird. Für jeden positiven Wert von f überschreitet das 180 °.

Siehe auch

• Kugelförmige Entfernung
• Kugelförmiges Polyeder
• Halbseitenformel

Links

• Die Geometrie der Bereich-Reisuniversität
• Navigationsspreadsheets: Navigationsdreiecke