In der Mengenlehre stellt der Lehrsatz von König (genannt nach dem ungarischen Mathematiker Gyula Kőnig, wer unter dem Namen Julius König veröffentlicht hat) umgangssprachlich fest, dass, wenn das Axiom der Wahl hält, ich ein Satz bin, sind M und n Grundzahlen für jeden ich in mir, und

:

Die Summe hier ist der cardinality der zusammenhanglosen Vereinigung der Sätze M und das Produkt sind der cardinality des kartesianischen Produktes.

Jedoch, ohne den Gebrauch des Axioms der Wahl, können die Summe und das Produkt nicht als Grundzahlen definiert werden, und die Bedeutung des Ungleichheitszeichens würde geklärt werden müssen.

Details

Die genaue Behauptung des Ergebnisses: Wenn ich ein Satz, A bin und B Sätze für jeden ich in mir sind, und

wo zu B, aber nicht dem einem Gehen des anderen Wegs. Die beteiligte Vereinigung braucht nicht zusammenhanglos zu sein (eine nichtzusammenhanglose Vereinigung kann etwas nicht größer sein als die zusammenhanglose Version, auch das Axiom der Wahl annehmend). In dieser Formulierung, 'der Lehrsatz von König zum Axiom der Wahl gleichwertig ist.

(Natürlich ist der Lehrsatz von König trivial, wenn die Grundzahlen M und n sind begrenzt und der Index-Satz, ich bin begrenzt. Wenn ich leer bin, dann ist die linke Summe die leere Summe und deshalb 0, während das Produkt der rechten Hand das leere Produkt und deshalb 1) ist.

Der Lehrsatz von König ist wegen der strengen Ungleichheit im Beschluss bemerkenswert. Es gibt viele leichte Regeln für die Arithmetik von unendlichen Summen und Produkte von Kardinälen, in denen nur eine schwache Ungleichheit  zum Beispiel schließen kann: WENN

seitdem zum Beispiel untergehend, & wo der Index-Satz ich die natürlichen Zahlen bin, gibt die Summe für beide Seiten nach, und wir haben eine strenge Gleichheit.

Folgeerscheinungen des Lehrsatzes von König

• Wenn ein Kardinal dann ist

Wenn wir M = 1, und n = 2 für jeden ich in κ nehmen, dann ist die linke Seite der obengenannten Ungleichheit gerade κ, während die rechte Seite 2, der cardinality von Funktionen von κ bis {0,1}, d. h. der cardinality des Macht-Satzes von κ ist. So gibt der Lehrsatz von König uns einen abwechselnden Beweis des Lehrsatzes des Kantoren. (Der Lehrsatz des historisch natürlich Kantoren wurde viel früher bewiesen.)

Axiom der Wahl

Eine Weise, das Axiom der Wahl festzusetzen, ist "Ein willkürliches Kartesianisches Produkt von nichtleeren Sätzen ist nichtleer.". Lassen Sie B ein nichtleerer Satz für jeden ich in mir sein. Lassen Sie = {} für jeden ich in mir. So durch den Lehrsatz von König haben wir:

• Wenn

D. h. das Kartesianische Produkt der gegebenen nichtleeren Sätze, B, hat einen größeren cardinality als die Summe von leeren Sätzen. So ist es nichtleer, der gerade ist, was das Axiom der Wahl festsetzt. Da das Axiom der Wahl aus dem Lehrsatz von König folgt, werden wir das Axiom der Wahl frei und implizit verwenden, wenn wir Folgen des Lehrsatzes besprechen werden.

Der Lehrsatz und cofinality von König

Der Lehrsatz von König hat auch wichtige Folgen für cofinality von Grundzahlen.

• Wenn, dann

Wählen Sie eine ausschließlich Erhöhung vgl (κ)-Folge von Kardinälen, die sich κ nähern. Jeder von ihnen ist weniger als κ, so ist ihre Summe, die κ ist, weniger als das Produkt vgl (κ) Kopien von κ.

Gemäß dem Lehrsatz von Easton ist die folgende Folge des Lehrsatzes von König die einzige nichttriviale Einschränkung auf die Kontinuum-Funktion für regelmäßige Kardinäle.

• Wenn und, dann

Lassen. Nehmen Sie dass gegen diese Folgeerscheinung an. Dann mit der vorherigen Folgeerscheinung,

Ein Beweis des Lehrsatzes von König

Zermelo-Fraenkel Mengenlehre einschließlich besonders des Axioms der Wahl annehmend, können wir den Lehrsatz beweisen. Erinnern Sie sich, dass uns gegeben wird

Erstens zeigen wir, dass es eine Einspritzung von der Summe bis das Produkt gibt. Mit dem Axiom der Wahl für jeden ich wählen wir eine Einspritzung f von bis B. Bemerken Sie, dass f keine Surjektion sein kann, weil dann sein Gegenteil eine Einspritzung von B bis A sein würde. Also, für jeden ich muss es ein Element von B nicht im Rahmen f geben. Mit dem Axiom der Wahl wieder wählen wir solch einen x für jeden ich. Definieren Sie g auf der Summe durch g (ich, a) (j) = f (a) wenn j = ich und eines Elements von A und g (ich, a) (j) = x wenn j  i zu sein und eines Elements von A zu sein. Seitdem f (a)  x für jeden bin ich, g eine Einspritzung von der Summe bis das Produkt.

Zweitens zeigen wir, dass es keine Einspritzung h vom Produkt bis die Summe gibt. Nehmen Sie zum Gegenteil an, dass solch ein h bestanden hat. Auf eine ähnliche Weise zum diagonalen Argument des Kantoren werden wir ein Element e des Produktes bauen, das keinen Wert unter h haben kann. Für jeden ich in mir, bauen Sie eine teilweise Funktion f von bis B durch f (a) = d (i), wenn es einen d im solchem Produkt dass h (d) = (ich, a) gibt. (Das ist eine teilweise Funktion, weil h eine Einspritzung ist, so ist der d einzigartig.) Wenn f eine Surjektion waren, dann, mit dem Axiom der Wahl, konnten wir eine Einspritzung g von B in bauen (g würde ein richtiges Gegenteil von f sein), der Hypothese widersprechend. Folglich, für jeden ich in mir, gibt es Elemente von B nicht im Image von f. So mit dem Axiom der Wahl wieder wählen wir e (i) in B, aber nicht im Image von f., Denken Sie jetzt, den Wert von h (e) = (ich, c) mit c in A. Aber dann f (c) = e (i), dem Aufbau von e widersprechend. Folglich kann keine solche Einspritzung bestehen, und das Produkt ist in cardinality ausschließlich größer als die Summe.

Referenzen

Links

• Der Lehrsatz-Artikel von König über PlanetMath, schließt einen Beweis ein