In der Geometrie Reiher (oder Hero) stellt Formel, genannt nach dem Reiher Alexandrias, fest, dass Gebiet T eines Dreiecks, dessen Seiten Längen a, b, und c haben, ist

:

wo s der Halbumfang des Dreiecks ist:

:

Die Formel des Reihers kann auch als geschrieben werden:

:::

Die Formel des Reihers ist von anderen Formeln für das Gebiet eines Dreiecks, wie Hälfte der Normalzeiten die Höhe oder Hälfte des Moduls eines Kreuzproduktes von zwei Seiten bemerkenswert, indem sie keine willkürliche Wahl der Seite als Basis oder Scheitelpunkt als Ursprung verlangt wird.

Geschichte

Die Formel wird dem Reiher (oder Hero) von Alexandria kreditiert, und ein Beweis kann in seinem Buch, Metrica, schriftlichem c gefunden werden. 60. Es ist darauf hingewiesen worden, dass Archimedes die Formel gewusst hat, und da Metrica eine Sammlung der mathematischen in der alten Welt verfügbaren Kenntnisse ist, ist es möglich, dass es die in der Arbeit gegebene Verweisung zurückdatiert.

Eine Formel, die zum Reiher nämlich gleichwertig ist:

: wo

wurde von den Chinesen unabhängig von den Griechen entdeckt. Es wurde in Shushu Jiuzhang ("Mathematische Abhandlung in Neun Abteilungen") veröffentlicht, von Qin Jiushao geschrieben und 1247 veröffentlicht.

Beweis

Ein moderner Beweis, der Algebra verwendet und ganz verschieden von derjenigen ist, die vom Reiher (in seinem Buch Metrica) zur Verfügung gestellt ist, folgt. Lassen Sie a, b, c die Seiten des Dreiecks und A, B, C die Winkel gegenüber jenen Seiten sein. Wir haben

:

nach dem Gesetz von Kosinus. Von diesem Beweis bekommen die algebraische Behauptung:

:

Die Höhe des Dreiecks auf der Basis hat Länge b · Sünde (C), und folgt es

:

\begin {richten }\aus

T & = \frac {1} {2} (\mbox {Basis}) (\mbox {Höhe}) \\

& = \frac {1} {2} ab\sin \widehat C \\

& = \frac {1} {4 }\\sqrt {4a^2 b^2 - (a^2 +b^2-c^2) ^2} \\

& = \frac {1} {4 }\\sqrt {(2a b - (a^2 +b^2-c^2)) (2a b + (a^2 +b^2-c^2))} \\

& = \frac {1} {4 }\\sqrt {(c^2 - (ein-b) ^2) ((ein +b) ^2-c^2)} \\

& = \frac {1} {4 }\\sqrt {(c - (ein-b)) (c + (ein-b)) ((ein +b)-c) ((ein +b) +c)} \\

& = \sqrt {\\frac {(c - (ein-b)) (c + (ein-b)) ((ein +b)-c) ((ein +b) +c)} {16}} \\

& = \sqrt {\\frac {(c - (ein-b))} {2 }\\frac {(c + (ein-b))} {2 }\\frac {((ein +b)-c)} {2 }\\frac {((ein +b) +c)} {2}} \\

& = \sqrt {\\frac {(b + c - a)} {2 }\\frac {(+ c - b)} {2 }\\frac {(+ b - c)} {2 }\\frac {(+ b + c)} {2}} \\

& = \sqrt {\\frac {(+ b + c)} {2 }\\frac {(b + c - a)} {2 }\\frac {(+ c - b)} {2 }\\frac {(+ b - c)} {2}} \\

& = \sqrt {s\left (s-a\right) \left (s-b\right) \left (s-c\right)}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Der Unterschied von zwei Quadraten factorization wurde in zwei verschiedenen Schritten verwendet.

Beweis mit dem Pythagoreischen Lehrsatz

Der ursprüngliche Beweis des Reihers hat von zyklischen Vierseiten Gebrauch gemacht, während andere Argumente an die Trigonometrie als oben, oder an den incenter und einen Ex-Kreis des Dreiecks http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/heron/heron.txt appellieren. Das folgende Argument reduziert die Formel des Reihers direkt auf den Pythagoreischen Lehrsatz mit nur elementare Mittel.

In der Form 4T = 4s (s &minus; a) (s &minus; b) (s &minus; c) nimmt die Formel des Reihers links zu (ch), oder ab

: der dasselbe als ist

das Verwenden b &minus; d = h durch den Pythagoreischen Lehrsatz, und rechts zu

:

über die Identität (p + q) &minus; (p &minus; q) = 4pq. Es genügt deshalb, um zu zeigen

:und:

Dann Erweiterung vom ersteren bekommen Sie den folgenden:

:

und das nimmt zu durch das Ersetzen 2s = (+ b + c) und Vereinfachung ab. Das Einreichen für s der letzte s (s &minus; a) &minus; (s &minus; b) (s &minus; c) nimmt nur so weit ab (b + c &minus; a)/2. Aber wenn wir b durch d + h und dadurch ersetzen (c &minus; d) + h, beide durch Pythagoras, erzeugt Vereinfachung dann cd, wie erforderlich.

Numerische Stabilität

Die Formel des Reihers, ist wie gegeben, oben für Dreiecke mit einem sehr kleinen Winkel numerisch nicht stabil. Eine stabile Alternative

schließt das Ordnen der Längen der Seiten so dass ein und rechnend

:

Die Klammern in der obengenannten Formel sind erforderlich, um numerische Instabilität in der Einschätzung zu verhindern.

Generalisationen

Die Formel des Reihers ist ein spezieller Fall der Formel von Brahmagupta für das Gebiet eines zyklischen Vierseits. Die Formel des Reihers und die Formel von Brahmagupta sind beide spezielle Fälle der Formel von Bretschneider für das Gebiet eines Vierseits. Die Formel des Reihers kann bei der Formel von Brahmagupta oder der Formel von Bretschneider durch das Setzen von einer der Seiten des Vierseits zur Null erhalten werden.

Die Formel des Reihers ist auch ein spezieller Fall der Formel des Gebiets des Trapezoids gestützt nur auf seinen Seiten. Die Formel des Reihers wird durch das Setzen der kleineren parallelen Seite auf die Null erhalten.

Das Ausdrücken der Formel des Reihers mit einer Cayley-Menger Determinante in Bezug auf die Quadrate der Entfernungen zwischen den drei gegebenen Scheitelpunkten,

:

0 & a^2 & b^2 & 1 \\

a^2 & 0 & c^2 & 1 \\

b^2 & c^2 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 0

\end {vmatrix}} </Mathematik>

illustriert seine Ähnlichkeit zur Formel von Tartaglia für das Volumen eines drei-Simplexe-.

Eine andere Generalisation der Formel des Reihers zum Pentagon und den in einem Kreis eingeschriebenen Sechsecken wurde von David P. Robbins entdeckt.

Formel des Reiher-Typs für das Volumen eines Tetraeders

Wenn U, V, W, u, v, w Längen von Rändern des Tetraeders sind (zuerst drei, bilden ein Dreieck; u gegenüber U und so weiter), dann

:

\text {Volumen} = \frac {\\sqrt {\\, (-+ b + c + d) \, (-b + c + d) \, (+ b - c + d) \, (+ b + c - d)}} {192 \, u \, v \, w} </Mathematik>

wo

: \begin {richten }\aus

\begin {richten} a & = \sqrt {xYZ} \\b & = \sqrt {yZX} \\c & = \sqrt {zXY} \\d & = \sqrt {xyz} \\X & = (w - U + v) \, (U + v + w) \\x & = (U - v + w) \, (v - w + U) \\Y & = (u - V + w) \, (V + w + u) \\y & = (V - w + u) \, (w - u + V) \\Z & = (v - W + u) \, (W + u + v) \\z & = (W - u + v) \, (u - v + W) {aus}. \end {richten} {aus}

\end {richten }\aus</Mathematik>

Siehe auch

• Die Formel von Brahmagupta
• Dreieck von Heronian
• Synthetische Geometrie

Zeichen

Außenverbindungen

• Ein Beweis des Pythagoreischen Lehrsatzes Von der Formel des Reihers an der Knoten-Kürzung
• Interaktiver applet und Bereichsrechenmaschine mit der Formel des Reihers
• Diskussion von J.H. Conway über die Formel des Reihers
• Ein geometrischer Beweis der Formel des Reihers