Synthetische oder axiomatische Geometrie ist der Zweig der Geometrie, die von Axiomen, Lehrsätzen und logischen Argumenten Gebrauch macht, um Schlüsse im Vergleich mit der analytischen und algebraischen Geometrie zu ziehen, die Analyse und Algebra verwendet, um geometrische Berechnung durchzuführen und Probleme zu beheben.

Logische Synthese

Der Prozess der logischen Synthese beginnt mit einem willkürlichen, aber definierten Startpunkt.

• Primitive sind die grundlegendsten Ideen. Normalerweise schließen sie Gegenstände und Beziehungen ein. In der Geometrie sind die Gegenstände Dinge wie Punkte, Linien und Flugzeuge, während die grundsätzliche Beziehung die des Vorkommens - einer Gegenstand-Sitzung oder des Verbindens mit einem anderen ist.
• Axiome sind Behauptungen über diese Primitiven zum Beispiel, dass irgendwelche zwei Punkte zusammen Ereignis mit gerade einer Linie sind (d. h. dass für irgendwelche zwei Punkte, gibt es gerade eine Linie, die sie beide durchführt).

Von einem gegebenen Satz von Axiomen geht Synthese als ein sorgfältig gebautes logisches Argument weiter. Wo ein bedeutendes Ergebnis streng bewiesen wird, wird es ein Lehrsatz.

Jeder gegebene Satz von Axiomen führt zu einem verschiedenen logischen System. Im Fall von der Geometrie führt jeder verschiedene Satz von Axiomen zu einer verschiedenen Geometrie.

Eigenschaften von Axiom-Sätzen

Wenn der Axiom-Satz nicht kategorisch ist (so dass es mehr als ein Modell gibt), hat man die Debatte der Geometrie/Geometrie, um sich niederzulassen. Es ist nicht ein ernstes Problem für einen modernen axiomatischen Mathematiker, da die Implikation des Axioms jetzt ein Startpunkt für die Theorie aber nicht ein selbstverständliches Brett in einer auf der Intuition gestützten Plattform ist. Und seit dem Programm von Erlangen von Klein ist die Natur jeder gegebenen Geometrie als die Verbindung der Symmetrie und der Inhalt von Vorschlägen, aber nicht der Stil der Entwicklung gesehen worden.

Geschichte

Die Geometrie von Euklid war synthetisch, obwohl nicht alle seine Bücher Themen der reinen Geometrie behandelt haben.

betrachten kann, ist der Höhepunkt der synthetischen Geometrie das 19. Jahrhundert gewesen, als analytische Methoden, die auf Koordinaten und Rechnung gestützt sind, durch einen geometers wie Jakob Steiner zu Gunsten von einer rein synthetischen Entwicklung der projektiven Geometrie ignoriert wurden. Zum Beispiel ist die Behandlung des projektiven Flugzeugs, das von Axiomen des Vorkommens anfängt, wirklich eine breitere Theorie (mit mehr Modellen), als es durch das Starten mit einem Vektorraum der Dimension drei gefunden wird. Projektive Geometrie hat tatsächlich den einfachsten und elegantesten synthetischen Ausdruck jeder Geometrie.

In seinem Programm von Erlangen hat Felix Klein die Spannung zwischen synthetischen und analytischen Methoden heruntergespielt:

:: Auf der Entgegenstellung zwischen dem synthetischen und der analytischen Methode in der modernen Geometrie:

Die:The-Unterscheidung zwischen moderner Synthese und moderner analytischer Geometrie muss als notwendig nicht mehr betrachtet werden, weil sowohl Gegenstand als auch Methoden vernünftig zu urteilen eine ähnliche Form in beiden allmählich angenommen haben. Wir wählen deshalb im Text als allgemeine Benennung von ihnen beiden der Begriff projektive Geometrie. Obwohl die synthetische Methode mehr hat, um mit der Raumwahrnehmung zu tun, und dadurch einen seltenen Charme seinen ersten einfachen Entwicklungen gibt, wird der Bereich der Raumwahrnehmung dennoch für die analytische Methode nicht geschlossen, und die Formeln der analytischen Geometrie können als eine genaue und einleuchtende Behauptung von geometrischen Beziehungen betrachtet werden. Andererseits sollte der Vorteil für die ursprüngliche Forschung einer gut formulierten Analyse nicht, - ein Vorteil wegen seines Bewegens unterschätzt werden, um so vor dem Gedanken zu sprechen. Aber es sollte immer bestanden werden, dass ein mathematisches Thema erschöpft nicht betrachtet werden soll, bis es intuitiv offensichtlich geworden ist, und die durch die Hilfe der Analyse gemachten Fortschritte nur ein erster, obwohl ein sehr wichtiger, Schritt sind.

Die nahe axiomatische Studie der Euklidischen Geometrie hat zum Aufbau des Vierseits von Lambert und des Vierseits von Saccheri geführt. Diese Strukturen haben das Feld der nicht-euklidischen Geometrie eingeführt, wo das parallele Axiom von Euklid bestritten wird. Gauss, Bolyai und Lobachevski haben unabhängig Hyperbelgeometrie gebaut, wo parallele Linien einen Winkel des Parallelismus haben, der von ihrer Trennung abhängt. Diese Studie ist weit zugänglich durch das Scheibe-Modell von Poincaré geworden, wo Bewegungen durch Transformationen von Möbius gegeben werden.

Ein anderes Beispiel betrifft umkehrende Geometrie, wie vorgebracht, durch Ludwig Immanuel Magnus, der synthetisch im Geist betrachtet werden kann. Die nah zusammenhängende Operation der Erwiderung drückt Analyse des Flugzeugs aus.

Andererseits wurde die Theorie der speziellen Relativität analytisch über die geradlinige Algebra der Transformation von Lorentz ursprünglich entwickelt; dann 1912 haben Lewis und Wilson eine synthetische Annäherung entwickelt

gestützt auf der affine Geometrie und den Hyperbelfolgen.

1955 haben Herbert Busemann und Paul J. Kelley ein nostalgisches Zeichen für die synthetische Geometrie erklingen lassen:

:Although ungern, geometers muss zugeben, dass die Schönheit der synthetischen Geometrie seine dringende Bitte um die neue Generation verloren hat. Die Gründe sind klar: Nicht so vor langer Zeit war synthetische Geometrie das einzige Feld, in dem das Denken ausschließlich von Axiomen weitergegangen ist, wohingegen diese Bitte — so grundsätzlich für viele mathematisch interessierte Menschen — jetzt durch viele andere Felder gemacht wird.

Dennoch hat die axiomatische Studie der Geometrie durch Mario Pieri und Alfred Tarski moderne synthetische Geometrie gegründet, sieh die Axiome von Tarski.

Rechenbetonte synthetische Geometrie

In Verbindung mit der rechenbetonten Geometrie ist eine rechenbetonte synthetische Geometrie gegründet worden, nahe Verbindung zum Beispiel mit der matroid Theorie habend. Synthetische Differenzialgeometrie ist eine Anwendung der topos Theorie zu den Fundamenten der Differentiable-Sammelleitungstheorie.

Zeichen und Verweisungen

• Hilbert & Cohn-Vossen, Geometrie und die Einbildungskraft.
• Mlodinow, L; das Fenster von Euklid.