Ein einflussreiches Forschungsprogramm und Manifest wurden 1872 von Felix Klein, laut des Titels Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen veröffentlicht. Dieses Erlangen Programm (Erlanger Programm) - Klein war dann am Erlangen-vorgeschlagenen eine neue Lösung des Problems, wie man klassifiziert und Geometrie auf der Grundlage von der projektiven Geometrie und Gruppentheorie charakterisiert.

Damals war eine Familie der neuen nicht-euklidischen Geometrie bereits, ohne entsprechende Erläuterungen ihrer gegenseitigen Hierarchie und Beziehungen erschienen. Der Vorschlag von Klein war auf drei Weisen im Wesentlichen innovativ:

:* projektive Geometrie wurde als der Vereinheitlichen-Rahmen für ganze andere von ihm betrachtete Geometrie betont. Insbesondere der affine, metrische und Euklidische Geometrie ist gerade spezielle und allmählich einschränkendere Fälle der projektiven Geometrie.

:* Klein hat vorgeschlagen, dass Gruppentheorie, ein Zweig der Mathematik, die algebraische Methoden verwendet, die Idee von der Symmetrie zu abstrahieren, die nützlichste Weise war, geometrische Kenntnisse zu organisieren; zurzeit war es bereits in die Gleichungstheorie in der Form der Theorie von Galois eingeführt worden.

:* Klein hat viel ausführlicher die Idee gemacht, dass jede geometrische Sprache seine eigenen, passenden Konzepte, so zum Beispiel projektive Geometrie hatte, die richtig über konische Abteilungen, aber nicht über Kreise oder Winkel geredet ist, weil jene Begriffe nicht invariant unter projektiven Transformationen (etwas Vertrautes in der geometrischen Perspektive) waren. Auf die Weise sind die vielfachen Sprachen der Geometrie dann zurückgekommen zusammen konnte durch den Weg Untergruppen einer mit einander verbundenen Symmetrie-Gruppe erklärt werden.

Schließlich hat Élie Cartan die homogenen Musterräume von Klein zu (Cartan) Verbindungen auf bestimmten Hauptbündeln verallgemeinert, das Problem ins Fachwerk der Geometrie von Riemannian legend.

Die Probleme der Geometrie des neunzehnten Jahrhunderts

Gibt es eine 'Geometrie' oder viele? Seit Euklid hatte Geometrie die Geometrie des Euklidischen Raums von zwei Dimensionen (Flugzeug-Geometrie) oder drei Dimensionen (Raumgeometrie der Körper) bedeutet. In der ersten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts hatte es mehrere Entwicklungen gegeben, die das Bild komplizieren. Mathematische Anwendungen haben Geometrie von vier oder mehr Dimensionen verlangt; die nahe genaue Untersuchung der Fundamente der traditionellen Euklidischen Geometrie hatte die Unabhängigkeit des parallelen Postulates von anderen offenbart, und nicht-euklidische Geometrie war geboren gewesen. Klein hat eine Idee vorgeschlagen, dass ganze diese neue Geometrie gerade spezielle Fälle der projektiven Geometrie, wie bereits entwickelt, durch Poncelet, Möbius, Cayley und andere ist. Klein hat auch stark mathematischen Physikern vorgeschlagen, dass sogar eine gemäßigte Kultivierung des projektiven Bereichs wesentliche Vorteile ihnen bringen könnte.

Mit jeder Geometrie hat Klein eine zu Grunde liegende Gruppe von symmetries vereinigt. Die Hierarchie der Geometrie wird so als eine Hierarchie dieser Gruppen und Hierarchie ihres invariants mathematisch vertreten. Zum Beispiel werden Längen, Winkel und Gebiete in Bezug auf die Euklidische Gruppe von symmetries bewahrt, während nur die Vorkommen-Struktur und das Quer-Verhältnis unter den allgemeinsten projektiven Transformationen bewahrt werden. Ein Konzept des Parallelismus, der in der affine Geometrie bewahrt wird, ist in der projektiven Geometrie nicht bedeutungsvoll. Dann, durch das Entziehen der zu Grunde liegenden Gruppen von symmetries von der Geometrie, können die Beziehungen zwischen ihnen am Gruppenniveau wieder hergestellt werden. Da die Gruppe der affine Geometrie eine Untergruppe der Gruppe der projektiven Geometrie ist, ist jeder Begriff invariant in der projektiven Geometrie a priori in der affine Geometrie bedeutungsvoll; aber nicht andersherum. Wenn Sie erforderlichen symmetries hinzufügen, haben Sie eine stärkere Theorie, aber weniger Konzepte und Lehrsätze (der tiefer und allgemeiner sein wird).

Homogene Räume

Mit anderen Worten sind die "traditionellen Räume" homogene Räume; aber nicht für eine einzigartig entschlossene Gruppe. Das Ändern der Gruppenwechsel die passende geometrische Sprache.

Auf der heutigen Sprache sind die in der klassischen Geometrie betroffenen Gruppen alle sehr gut bekannt, wie Gruppen Liegen: die klassischen Gruppen. Die spezifischen Beziehungen werden ganz einfach mit der Fachsprache beschrieben.

Beispiele

Zum Beispiel ist die Gruppe der projektiven Geometrie in n Dimensionen die Symmetrie-Gruppe des n-dimensional projektiven Raums (die allgemeine geradlinige Gruppe des Grads n + 1, quotiented durch den Skalar matrices). Die affine Gruppe wird das Untergruppe-Respektieren sein (zu sich kartografisch darstellend, pointwise nicht befestigend), das gewählte Hyperflugzeug an der Unendlichkeit. Diese Untergruppe hat eine bekannte Struktur (halbdirektes Produkt der allgemeinen geradlinigen Gruppe des Grads n mit der Untergruppe von Übersetzungen). Diese Beschreibung erzählt uns dann, welche Eigenschaften 'affine' sind. In Euklidischen Flugzeug-Geometrie-Begriffen, ein Parallelogramm seiend, ist affine, da affine Transformationen immer ein Parallelogramm in einen anderen bringen. Ein Kreis zu sein, ist nicht affine, da ein affine mäht, wird einen Kreis in eine Ellipse nehmen.

Um genau die Beziehung zwischen affine und Euklidischer Geometrie zu erklären, müssen wir jetzt unten die Gruppe der Euklidischen Geometrie innerhalb der affine Gruppe befestigen. Die Euklidische Gruppe ist tatsächlich (die vorherige Beschreibung der affine Gruppe verwendend), das halbdirekte Produkt des orthogonalen (Folge und Nachdenken) Gruppe mit den Übersetzungen.

Einfluss auf die spätere Arbeit

Die langfristigen Effekten des Programms von Erlangen können überall in der reinen Mathematik gesehen werden (sieh stillschweigenden Gebrauch an der Kongruenz (Geometrie), zum Beispiel); und die Idee von Transformationen und von Synthese-Verwenden-Gruppen der Symmetrie ist natürlich jetzt auch in der Physik normal.

Wenn Topologie in Bezug auf Eigenschaften invariant unter homeomorphism alltäglich beschrieben wird, kann man die zu Grunde liegende Idee in der Operation sehen. Die beteiligten Gruppen werden in fast allen Fällen unendlich-dimensional sein - und nicht Lügen Gruppen - aber die Philosophie sind dasselbe. Natürlich spricht das größtenteils mit dem pädagogischen Einfluss von Klein. Bücher wie diejenigen durch H.S.M. Coxeter haben alltäglich die Programm-Annäherung von Erlangen verwendet, um zu helfen, Geometrie 'zu legen'. In pädagogischen Begriffen ist das Programm Transformationsgeometrie, ein Mischsegen im Sinn geworden, dass es auf stärkere Intuitionen baut als der Stil von Euklid, aber wird in ein logisches System weniger leicht umgewandelt.

In seinem Buch Strukturalismus (1970) sagt Jean Piaget, "In den Augen von zeitgenössischen Strukturalist-Mathematikern, wie Bourbaki, beläuft sich das Erlangen Programm auf nur einen teilweisen Sieg für den Strukturalismus, da sie die ganze Mathematik, nicht nur Geometrie zur Idee von der Struktur unterordnen wollen."

Für eine Geometrie und seine Gruppe wird ein Element der Gruppe manchmal eine Bewegung der Geometrie genannt. Zum Beispiel kann man über das Halbflugzeug-Modell von Poincaré der Hyperbelgeometrie durch eine auf Hyperbelbewegungen gestützte Entwicklung erfahren. Solch eine Entwicklung ermöglicht demjenigen, den ultraparallelen Lehrsatz durch aufeinander folgende Bewegungen methodisch zu beweisen.

Das Erlangen Programm wird in die mathematische Logik von Alfred Tarski in seiner Analyse der Satzwahrheit getragen.

Abstrakter Umsatz aus dem Programm von Erlangen

Ganz häufig scheint es, dass es zwei oder mehr verschiedene Geometrie mit isomorphen automorphism Gruppen gibt. Dort entsteht die Frage, das Programm von Erlangen von der abstrakten Gruppe zur Geometrie zu lesen.

Ein Beispiel: Orientiert (d. h., Nachdenken nicht eingeschlossen) elliptische Geometrie (d. h., die Oberfläche eines N-Bereichs mit entgegengesetzten Punkten identifiziert) und orientierte sphärische Geometrie (dieselbe nicht-euklidische Geometrie, aber mit entgegengesetzten Punkten nicht identifiziert) hat isomorphe automorphism Gruppe, SO (n+1) für sogar n. Diese können scheinen, verschieden zu sein. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Geometrie sehr nah in einem Weg verbunden ist, der genau gemacht werden kann.

Um ein anderes Beispiel zu nehmen, hat die elliptische Geometrie mit verschiedenen Radien der Krümmung isomorphe automorphism Gruppen. Das zählt als eine Kritik nicht wirklich, weil die ganze Geometrie isomorph ist. Geometrie von General Riemannian fällt außerhalb der Grenzen des Programms.

Einige weitere bemerkenswerte Beispiele sind in der Physik heraufgekommen.

Erstens, n-dimensional Hyperbelgeometrie, Raum von n-dimensional de Sitter und (n−1) - dimensionale umkehrende Geometrie haben alle isomorphe automorphism Gruppen,

die orthochronous Gruppe von Lorentz, für n  3. Aber das ist anscheinend verschiedene Geometrie. Hier gehen einige interessante Ergebnisse von der Physik herein. Es ist gezeigt worden, dass Physik-Modelle in jeder der drei Geometrie für einige Modelle "Doppel-" sind.

Wieder, Raum von n-dimensional anti de Sitter und (n−1) - der dimensionale conformal Raum mit "der Lorentzian" Unterschrift (im Vergleich mit dem conformal Raum mit "der Euklidischen" Unterschrift, die zur umkehrenden Geometrie für drei Dimensionen identisch oder größer ist) hat isomorphe automorphism Gruppen, aber ist verschiedene Geometrie. Wieder gibt es Modelle in der Physik mit "Dualitäten" zwischen beiden Räumen. Sieh AdS/CFT für mehr Details.

Die Bedeckungsgruppe von SU (2,2) ist zur Bedeckungsgruppe SO (4,2) isomorph, der die Symmetrie-Gruppe 4D conformal Raum von Minkowski und 5D Raum von anti de Sitter und ein komplizierter vierdimensionaler twistor Raum ist.

Das Erlangen Programm kann deshalb noch fruchtbar in der Beziehung mit Dualitäten in der Physik betrachtet werden.

Beziehungen des Programms von Erlangen mit der Arbeit von C. Ehresmann auf groupoids in der Geometrie werden im Artikel unten von Pradines betrachtet.

Siehe auch

• Geometrie von Klein
• Heinrich Guggenheimer (1977) Differenzialgeometrie, Dover, New York, internationale Standardbuchnummer 0-486-63433-7.

:Covers die Arbeit der Lüge, Kleins und Cartans. Auf p. 139 Guggenheimer summiert das Feld, indem er bemerkt, "Eine Geometrie von Klein ist die Theorie von geometrischem invariants einer transitiven Transformationsgruppe (Programm von Erlangen, 1872)".

• Thomas Hawkins (1984) "Das Erlanger Programm von Felix Klein: Nachdenken über Seinen Platz In der Geschichte der Mathematik", Historia Mathematica 11:442-70.
• Felix Klein, 1872. "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ('Eine vergleichende Rezension von neuen Forschungen in der Geometrie'), Mathematische Annalen, 43 (1893) Seiten 63-100 (Auch: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, Seiten 460-497).

Die englische:An-Übersetzung von Mellen Haskell ist im Stier erschienen. N. Y. Math. Soc 2 (1892-1893): 215-249.

:The ursprünglicher deutscher Text des Erlangen Programms kann an der Universität Michigans Online-Sammlung an http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN7632, und auch an http://www.xs4all.nl/~jemebius/ErlangerProgramm.htm im HTML-Format angesehen werden.

:A Hauptinformationsseite auf dem Erlangen von John Baez aufrechterhaltenen Programm ist an

• Felix Klein, 2004 Elementare Mathematik von einer Fortgeschrittenen Einstellung: Geometrie, Dover, New York, internationale Standardbuchnummer 0-486-43481-8

: (Übersetzung von Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teil II: Geometrie, Bar. 1924 durch Springer). Hat eine Abteilung auf dem Erlangen Programm.

• Jean Pradines, ``In den Schritten von Ehresmann: von der Gruppengeometrie bis groupoid Geometrie (englische Zusammenfassung) Geometrie und Topologie von Sammelleitungen, 87-157, Banach Zentrum Publ. 76, polnischer Acad. Sci. Warschau, 2007.