In der Mathematik ist ein projektiver Raum eine Reihe von Elementen, die dem Satz P (V) von Linien durch den Ursprung eines Vektorraums V ähnlich ist. Die Fälle, wenn V=R oder V=R die projektive Linie und das projektive Flugzeug beziehungsweise sind.

Die Idee von einem projektiven Raum bezieht sich auf die Perspektive genauer auf die Weise, wie ein Auge oder eine Kamera eine 3D-Szene zu einem 2. Image planen. Alle Punkte, die auf einer Vorsprung-Linie (d. h., eine "Gesichtslinie") liegen, sich mit dem Eingangsschüler der Kamera schneidend, werden auf einen allgemeinen Bildpunkt geplant. In diesem Fall ist der Vektorraum R mit dem Kameraeingangsschüler am Ursprung, und der projektive Raum entspricht den Bildpunkten.

Projektive Räume können als ein getrenntes Feld in der Mathematik studiert werden, aber werden auch in verschiedenen angewandten Feldern, Geometrie verwendet insbesondere. Geometrische Gegenstände, wie Punkte, Linien, oder Flugzeuge, können eine Darstellung als Elemente in projektiven auf homogenen Koordinaten gestützten Räumen gegeben werden. Infolgedessen können verschiedene Beziehungen zwischen diesen Gegenständen auf eine einfachere Weise beschrieben werden, als ohne homogene Koordinaten möglich ist. Außerdem können verschiedene Erklärungen in der Geometrie konsequenter und ohne Ausnahmen abgegeben werden. Zum Beispiel in der Standardgeometrie für das Flugzeug schneiden sich zwei Linien immer an einem Punkt außer, wenn die Linien parallel sind. In einer projektiven Darstellung von Linien und Punkten, jedoch, besteht solch ein Kreuzungspunkt sogar für parallele Linien, und er kann ebenso als andere Kreuzungspunkte geschätzt werden.

Andere mathematische Felder, wo projektive Räume eine bedeutende Rolle spielen, sind Topologie, die Theorie von Lüge-Gruppen und algebraischen Gruppen, und ihre Darstellungstheorien.

Einführung

Wie entworfen, oben ist projektiver Raum ein geometrischer Gegenstand, der Behauptungen wie "Parallele Linien formalisiert, schneiden sich an der Unendlichkeit". Für die Greifbarkeit werden wir den Aufbau des echten projektiven Flugzeugs P(R) in einem Detail geben.

Es gibt drei gleichwertige Definitionen:

1. Der Satz aller Linien in R das Durchführen des Ursprungs (0, 0, 0). Jede solche Linie trifft den Bereich des Radius ein in den Mittelpunkt gestellter im Ursprung genau zweimal, sagen Sie in P = (x, y, z) und sein antipodischer Punkt (x, y, z).
2. P(R) kann auch beschrieben werden, um die Punkte auf dem Bereich S zu sein, wo jeder Punkt P und sein antipodischer Punkt nicht bemerkenswert sind. Zum Beispiel wird der Punkt (1, 0, 0) (roter Punkt im Image) mit (1, 0, 0) (hellroter Punkt) usw. identifiziert.
3. Schließlich noch ist eine andere gleichwertige Definition der Satz von Gleichwertigkeitsklassen von R \(0, 0, 0), d. h. 3-Räume-ohne den Ursprung, wo zwei Punkte P = (x, y, z) und P* = (x *, y *, z *) gleichwertiger iff sind, gibt es eine reelle Nichtnullzahl λ solch dass P = λ\· P *, d. h. x = λx *, y = λy *, z = λz*. Die übliche Weise, ein Element des projektiven Flugzeugs, d. h. die Gleichwertigkeitsklasse entsprechend einem ehrlichen Punkt zu schreiben (x, y, z) in R, ist: [x: y: z].

Die letzte Formel geht unter dem Namen von homogenen Koordinaten.

In homogenen Koordinaten, jeder Punkt [x: y: Z] mit z  0 ist zu [x/z gleichwertig: y/z: 1]. Also gibt es zwei zusammenhanglose Teilmengen des projektiven Flugzeugs: das, aus den Punkten [x bestehend: y: z] = [x/z: y/z: 1] für z  0, und dass, aus den restlichen Punkten [x bestehend: y: 0]. Der letzte Satz kann ähnlich in zwei zusammenhanglose Teilmengen, mit Punkten [x/y unterteilt werden: 1: 0] und [x: 0: 0]. Im letzten Fall ist x notwendigerweise Nichtnull, weil der Ursprung nicht ein Teil von P(R) war. Dieser letzte Punkt ist zu [1 gleichwertig: 0: 0]. Geometrisch, die erste Teilmenge, die isomorph ist (nicht nur als ein Satz, sondern auch als eine Sammelleitung, wie später gesehen wird) zu R, ist im Image die gelbe obere Halbkugel (ohne den Äquator), oder gleichwertig die niedrigere Halbkugel. Die zweite Teilmenge, die zu R isomorph ist, entspricht der grünen Linie (ohne die zwei gekennzeichneten Punkte), oder, wieder, gleichwertig der hellgrüne

Linie. Schließlich haben wir den roten Punkt oder den gleichwertigen hellroten Punkt. Wir haben so eine zusammenhanglose Zergliederung

:P(R) = R  R  Punkt.

Intuitiv, und gemacht genau unten, R  Punkt ist selbst die echte projektive Linie P(R). Betrachtet als eine Teilmenge von P(R) wird es Linie an der Unendlichkeit genannt, wohingegen R  P(R) affine Flugzeug, d. h. gerade das übliche Flugzeug genannt wird.

Das folgende Ziel ist, den Ausspruch "parallele Linien zu machen, treffen sich an der Unendlichkeit" genau. Eine natürliche Bijektion zwischen dem Flugzeug z = 1 (der den Bereich am Nordpol N = trifft (0, 0, 1)) und dem affine Flugzeug innerhalb des projektiven Flugzeugs (d. h. die obere Halbkugel) wird durch den stereografischen Vorsprung vollbracht, d. h. jeder Punkt P auf diesem Flugzeug wird zum Kreuzungspunkt der Linie durch den Ursprung und P und den Bereich kartografisch dargestellt. Deshalb werden zwei Linien L und im Flugzeug (blauer) L dazu kartografisch dargestellt, was wie große Kreise aussieht (antipodische Punkte, werden obwohl identifiziert). Große Kreise schneiden sich genau in zwei antipodischen Punkten, die im projektiven Flugzeug identifiziert werden, d. h. irgendwelche zwei Linien genau einen Kreuzungspunkt innerhalb von P(R) haben. Dieses Phänomen ist axiomatized und studiert in der projektiven Geometrie.

Definition des projektiven Raums

Echter projektiver Raum, P(R), wird durch definiert

:P(R): = (R \{0}) / ~,

mit der Gleichwertigkeitsbeziehung (x..., x) ~ (λx..., λx), wo λ eine willkürliche reelle Nichtnullzahl ist. Gleichwertig ist es der Satz aller Linien in R das Durchführen des Ursprungs 0: = (0..., 0).

Statt R kann man jedes Feld oder sogar einen Abteilungsring, k nehmen. Die komplexen Zahlen oder den quaternions nehmend, erhält man den komplizierten projektiven Raum P (C) und quaternionic projektiven Raum P (H).

Wenn n ein oder zwei ist, wird es auch projektive Linie oder projektives Flugzeug beziehungsweise genannt. Die komplizierte projektive Linie wird auch den Bereich von Riemann genannt.

Als im obengenannten speziellen Fall ist die Notation (so genannte homogene Koordinaten) für einen Punkt im projektiven Raum

: [x:...: x].

Ein bisschen mehr allgemein, für einen Vektorraum V (über ein Feld k, oder noch mehr allgemein ein Modul V über einen Abteilungsring), P (V) wird definiert um (V \{0}) / ~ zu sein, wo zwei Nichtnullvektoren v, v in V gleichwertig sind, wenn sie sich durch einen Nichtnullskalar λ, d. h., v = λv unterscheiden. Der Vektorraum braucht nicht endlich-dimensional zu sein; so, zum Beispiel, gibt es die Theorie von projektiven Räumen von Hilbert.

Projektiver Raum als eine Sammelleitung

Die obengenannte Definition des projektiven Raums gibt einen Satz. Zum Zwecke der Differenzialgeometrie, die sich mit Sammelleitungen befasst, ist es nützlich, diesen Satz mit (echt oder kompliziert) mannigfaltige Struktur zu dotieren.

Denken Sie nämlich die folgenden Teilmengen:

:.

Durch die Definition des projektiven Raums ist ihre Vereinigung der ganze projektive Raum. Außerdem ist U in der Bijektion mit R (oder C) über die folgenden Karten:

::

(der Hut bedeutet, dass der i-th Zugang vermisst wird).

Das Beispiel-Image zeigt P(R). (Antipodische Punkte werden in P(R), obwohl identifiziert). Es wird durch zwei Kopien der echten Linie R bedeckt, von denen jeder die projektive Linie außer einem Punkt bedeckt, der (oder a) Punkt an der Unendlichkeit ist.

Wir definieren zuerst eine Topologie auf dem projektiven Raum, indem wir erklären, dass diese Karten homeomorphisms sein sollen, d. h. ist eine Teilmenge von U offener iff sein Image unter dem obengenannten Isomorphismus ist eine offene Teilmenge (im üblichen Sinn) von R. Eine willkürliche Teilmenge P(R) ist offen, wenn alle Kreuzungen Ein  U offen sind. Das definiert einen topologischen Raum.

Die mannigfaltige Struktur wird durch die obengenannten Karten auch gegeben.

Eine andere Weise, an die projektive Linie zu denken, ist der folgende: Nehmen Sie zwei Kopien der affine Linie mit Koordinaten x und y beziehungsweise, und kleben Sie sie zusammen entlang den Teilmengen x  0 und y  0 über die Karten

:

Die resultierende Sammelleitung ist die projektive Linie. Die durch diesen Aufbau gegebenen Karten sind dasselbe als diejenigen oben. Ähnliche Präsentationen bestehen für hoch-dimensionale projektive Räume.

Die obengenannte Zergliederung in zusammenhanglosen Teilmengen liest in dieser Allgemeinheit:

:P(R) = R  R   R  R,

diese so genannte Zellzergliederung kann verwendet werden, um den einzigartigen cohomology des projektiven Raums zu berechnen.

Der ganze obengenannte hält für den komplizierten projektiven Raum auch. Die komplizierte projektive Linie P (C) ist ein Beispiel einer Oberfläche von Riemann.

Projektive Räume in der algebraischen Geometrie

Die Bedeckung durch die obengenannten offenen Teilmengen zeigt auch, dass projektiver Raum eine algebraische Vielfalt ist (oder Schema), wird es durch n + 1 affine N-Räume bedeckt. Der Aufbau des projektiven Schemas ist ein Beispiel des Aufbaus von Proj.

Projektive Räume in der algebraischen Topologie

Echter projektiver N-Raum hat eine ziemlich aufrichtige CW komplizierte Struktur. D. h. jeder n-dimensional echte projektive Raum hat nur eine n-dimensional Zelle.

Projektiver Raum und affine Raum

Es gibt einige Vorteile des projektiven Raums gegen den affine Raum (z.B. P(R) dagegen. A(R)). Aus diesen Gründen ist es wichtig zu wissen, wenn eine gegebene Sammelleitung oder Vielfalt projektiv sind, d. h. in einbetten (ist eine geschlossene Teilmenge) projektiver Raum. (Sehr) große Linienbündel werden entworfen, um diese Frage anzupacken.

Bemerken Sie, dass ein projektiver Raum durch den projectivization eines Vektorraums als Linien durch den Ursprung gebildet werden kann, aber von einem affine Raum ohne eine Wahl von basepoint nicht gebildet werden kann. D. h. affine Räume sind offene Subräume von projektiven Räumen, die Quotienten von Vektorräumen sind.

1). Jedoch, innerhalb von P, wird der projektive Verschluss der Kurve durch die homogene Gleichung gegeben

der die Linie (gegeben innerhalb von P durch x = z) in drei Punkten durchschneidet: [1: 1: 1], [1: 1: 1] (entsprechend den zwei Punkten, die oben erwähnt sind), und [0: 1: 0]. </li>

</ul>

Axiome für den projektiven Raum

Ein projektiver Raum S kann axiomatisch als ein Satz P (der Satz von Punkten), zusammen mit einem Satz L von Teilmengen von P (der Satz von Linien) definiert werden, diese Axiome befriedigend:

• Jeder zwei verschiedene Punkte p und q ist in genau einer Linie.
• Das Axiom von Veblen: Wenn a, b, c, d verschiedene Punkte und die Linien durch ab sind und sich cd, dann so die Linien durch ac und bd treffen.
• Jede Linie hat mindestens 3 Punkte darauf.

Das letzte Axiom beseitigt reduzierbare Fälle, die als eine zusammenhanglose Vereinigung von projektiven Räumen zusammen mit 2-Punkte-Linien geschrieben werden können, die sich irgendwelchen zwei Punkten in verschiedenen projektiven Räumen anschließen. Abstrakter kann es als eine Vorkommen-Struktur (P, L, I) definiert werden, aus einem Satz P Punkte, ein Satz L Linien und einer Vorkommen-Beziehung ich bestehend, festsetzend, welche Punkte auf der Linien liegen.

Ein Subraum des projektiven Raums ist eine Teilmenge X, solch, dass jede Linie, die zwei Punkte X enthält, eine Teilmenge X (d. h. völlig enthalten in X) ist. Der volle Raum und der leere Raum sind immer Subräume.

Wie man

sagt, ist die geometrische Dimension des Raums n, wenn das die größte Zahl ist, für die es eine ausschließlich steigende Kette von Subräumen dieser Form gibt:

:

Klassifikation

• Dimension 0 (keine Linien): Der Raum ist ein einzelner Punkt.
• Dimension 1 (genau eine Linie): Alle Punkte liegen auf der einzigartigen Linie.
• Dimension 2: Es gibt mindestens 2 Linien, und irgendwelche zwei Linien treffen sich. Ein projektiver Raum für n = 2 ist zu einem projektiven Flugzeug gleichwertig. Diese sind viel härter zu klassifizieren, als sind nicht sie alle mit einer Parentalen Guidance (d, K) isomorph. Die Desarguesian Flugzeuge (diejenigen, die mit einer Parentalen Guidance isomorph sind (2, K)) befriedigen den Lehrsatz von Desargues und sind projektive Flugzeuge über Abteilungsringe, aber es gibt viele non-Desarguesian Flugzeuge.
• Dimension mindestens 3: Zwei sich nichtschneidende Linien bestehen. bewiesen der Lehrsatz von Veblen-Young dass jeder projektive Raum der Dimension n &ge; 3 ist mit einer Parentalen Guidance (n, K) isomorph, der n-dimensional projektive Raum über eine Abteilung rufen K an.

Begrenzte projektive Räume und Flugzeuge

Ein begrenzter projektiver Raum ist ein projektiver Raum, wo P ein begrenzter Satz von Punkten ist. In jedem begrenzten projektiven Raum enthält jede Linie dieselbe Zahl von Punkten, und die Ordnung des Raums wird als ein weniger definiert als diese allgemeine Zahl. Für begrenzte projektive Räume der Dimension mindestens drei deutet der Lehrsatz von Wedderburn an, dass der Abteilungsring, über den der projektive Raum definiert wird, ein begrenztes Feld, GF (q) sein muss, dessen Ordnung (d. h. Zahl der Elemente) q (eine Hauptmacht) ist. Ein begrenzter projektiver über solch ein begrenztes Feld definierter Raum wird q + 1 Punkte auf einer Linie haben, so werden die zwei Konzepte der Ordnung zusammenfallen. Notationally, Parentale Guidance (n, GF (q)) wird gewöhnlich als Parentale Guidance (n, q) geschrieben.

Alle begrenzten Felder derselben Ordnung, sind so bis zum Isomorphismus isomorph, es gibt nur einen begrenzten projektiven Raum für jede Dimension größer oder gleich drei. Jedoch in der Dimension zwei gibt es non-Desarguesian Flugzeuge. Bis zum Isomorphismus gibt es

: 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 4, 0, …

begrenzte projektive Flugzeuge von Aufträgen 2, 3, 4, …, 10, beziehungsweise. Die Zahlen außer dem sind sehr schwierig zu rechnen und werden abgesehen von einigen Nullwerten wegen des Bruck-Ryser Lehrsatzes nicht bestimmt.

Das kleinste projektive Flugzeug ist das Flugzeug von Fano, Parentale Guidance (2,2) mit 7 Punkten und 7 Linien.

Morphisms

Injective geradlinige Karten T  L (V, W) zwischen zwei Vektorräumen V und W über dasselbe Feld k veranlassen mappings der entsprechenden projektiven Räume P (V)  P (W) über:

:: [v]  [T (v)],

wo v ein Nichtnullelement V ist und [...] die Gleichwertigkeitsklassen eines Vektoren unter der Definieren-Identifizierung der jeweiligen projektiven Räume anzeigt. Da sich Mitglieder der Gleichwertigkeitsklasse durch einen Skalarfaktor unterscheiden, und geradlinige Karten Skalarfaktoren bewahren, ist diese veranlasste Karte bestimmt. (Wenn T nicht injective ist, wird er einen ungültigen Raum haben, der größer ist als {0}; in diesem Fall ist die Bedeutung der Klasse von T (v) problematisch, wenn v Nichtnull und im ungültigen Raum ist. In diesem Fall erhält man eine so genannte vernünftige Karte, sieh auch birational Geometrie).

Zwei geradlinige Karten S und T in L (V, W) veranlassen dieselbe Karte zwischen P (V) und P (W), wenn, und nur wenn sie sich durch ein Skalarvielfache der Identität unterscheiden, dieser wenn T =λS für einen λ &ne ist; 0. So, wenn man die Skalarvielfachen der Identitätskarte mit dem zu Grunde liegenden Feld identifiziert, ist der Satz von k-linear morphisms von P (V) zu P (W) einfach P (L (V, W)).

Der automorphisms P (V)  P (V) kann konkreter beschrieben werden. (Wir befassen uns nur mit automorphisms Bewahrung des Grundfeldes k). Mit dem Begriff von durch globale Abteilungen erzeugten Bündeln kann es gezeigt werden, dass irgendwelcher algebraisch (nicht notwendigerweise geradlinig) automorphism geradlinig sein muss, d. h. aus einem (geradlinigen) automorphism des Vektorraums V kommend. Die letzte Form die Gruppe GL (V). Indem man Karten identifiziert, die sich durch einen Skalar unterscheiden, schließt man

:Aut (P (V)) = Aut (V)/k = GL (V)/k =: PGL (V),

die Quotient-Gruppe von GL (V) modulo die matrices, die Skalarvielfachen der Identität sind. (Diese matrices bilden das Zentrum von Aut (V).) Die Gruppen werden PGL projektive geradlinige Gruppen genannt. Die automorphisms der komplizierten projektiven Linie P (C) werden Transformationen von Möbius genannt.

Projektiver Doppelraum

Wenn der Aufbau oben auf DoppelraumV* aber nicht V angewandt wird, erhält man den projektiven Doppelraum, der mit dem Raum von Hyperflugzeugen durch den Ursprung V kanonisch identifiziert werden kann. D. h. wenn V dimensional n ist, dann ist P (V *) Grassmannian n&minus;1 Flugzeuge in V.

In der algebraischen Geometrie berücksichtigt dieser Aufbau größere Flexibilität im Aufbau von projektiven Bündeln. Man würde gern Partner ein projektiver Raum zu jedem quasizusammenhängenden Bündel E über ein Schema Y, nicht nur die lokal freien fähig sein. Sieh EGA, Jungen. II, Durchschnitt. 4 für mehr Details.

Generalisationen

Dimension: Der projektive Raum, der "Raum" aller eindimensionalen geradlinigen Subräume eines gegebenen Vektorraums V seiend, wird zur Sammelleitung von Grassmannian verallgemeinert, die hoch-dimensionale Subräume (einer festen Dimension) V parametrisiert.

Folge von Subräumen: Mehr allgemein ist Fahne-Sammelleitung der Raum von Fahnen, d. h. Ketten von geradlinigen Subräumen V.

andere Subvarianten: Noch mehr allgemein parametrisieren Modul-Räume Gegenstände wie elliptische Kurven einer gegebenen Art.

andere Ringe: Die Generalisierung zu assoziativen Ringen (aber nicht Felder) gibt umkehrende Ringgeometrie nach

Flicken: Flicken projektiver Räume gibt zusammen projektive Raumbündel nach.

Severi-Brauer Varianten sind algebraische Varianten über ein Feld k, die isomorph für projektive Räume nach einer Erweiterung des Grundfeldes k werden.

Projektive Räume sind spezielle Fälle von toric Varianten. Eine andere Verallgemeinerung wird projektive Räume beschwert.

Siehe auch

Generalisationen

• Grassmannian vervielfältigen
• Umkehrende Ringgeometrie
• Raum (Mathematik)

Projektive Geometrie

• projektive Transformation
• projektive Darstellung

Zusammenhängend

• Geometrische Algebra

Zeichen

• Greenberg, M.J.; Euclidean und nicht-euklidische Geometrie, 2. Hrsg. Freeman (1980).

• besonders Kapitel I.2, I.7, II.5 und II.7
• Hilbert, D. und Cohn-Vossen, S.; Geometrie und die Einbildungskraft, 2. Hrsg. Chelsea (1999).
• (Nachdruck der 1910-Ausgabe)

Links

http://planetmath.org/encyclopedia/ProjectiveSpace.html

• Projektive Flugzeuge der kleinen Ordnung