In der Mathematik, besonders in der komplizierten Analyse, ist eine Oberfläche von Riemann, die zuerst dadurch studiert ist und nach Bernhard Riemann genannt ist, eine eindimensionale komplizierte Sammelleitung. Von Oberflächen von Riemann kann als "deformierte Versionen" des komplizierten Flugzeugs gedacht werden: Lokal in der Nähe von jedem Punkt sehen sie wie Flecke des komplizierten Flugzeugs aus, aber die globale Topologie kann ziemlich verschieden sein. Zum Beispiel können sie wie ein Bereich oder ein Ring oder einige Platten geklebt zusammen aussehen.

Der Hauptinhalt von Oberflächen von Riemann ist, dass Holomorphic-Funktionen zwischen ihnen definiert werden können. Oberflächen von Riemann werden heutzutage als die natürliche Einstellung betrachtet, für das globale Verhalten dieser Funktionen zu studieren, besonders hat Funktionen wie die Quadratwurzel und anderen algebraischen Funktionen oder der Logarithmus mehrgeschätzt.

Jede Oberfläche von Riemann ist eine zweidimensionale echte analytische Sammelleitung (d. h., eine Oberfläche), aber sie enthält mehr Struktur (spezifisch eine komplizierte Struktur), der für die eindeutige Definition von Holomorphic-Funktionen erforderlich ist. Eine zweidimensionale echte Sammelleitung kann in eine Oberfläche von Riemann verwandelt werden (gewöhnlich auf mehrere inequivalent Weisen), wenn, und nur wenn es orientable und metrizable ist. So lassen der Bereich und Ring komplizierte Strukturen zu, aber der Streifen von Möbius, die Flasche von Klein und das projektive Flugzeug tun nicht.

Geometrische Tatsachen über Oberflächen von Riemann sind so "nett" wie möglich, und sie stellen häufig die Intuition und Motivation für Generalisationen zu anderen Kurven, Sammelleitungen oder Varianten zur Verfügung. Der Lehrsatz von Riemann-Roch ist ein Hauptbeispiel dieses Einflusses.

Definitionen

Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen einer Oberfläche von Riemann.

1. Eine Oberfläche von Riemann X ist eine komplizierte Sammelleitung der komplizierten Dimension ein. Das bedeutet, dass X Hausdorff topologischer mit einem Atlas ausgestatteter Raum ist: Für jeden Punkt x  X gibt es eine Nachbarschaft, die x homeomorphic zur Einheitsplatte des komplizierten Flugzeugs enthält. Die Karte, die die Struktur des komplizierten Flugzeugs zur Oberfläche von Riemann trägt, wird eine Karte genannt. Zusätzlich sind die Übergang-Karten zwischen zwei überlappenden Karten erforderlich, holomorphic zu sein.
2. Eine Oberfläche von Riemann ist eine orientierte Sammelleitung (der echten) Dimension zwei - einer zweiseitigen Oberfläche - zusammen mit einer conformal Struktur. Wieder bedeutet Sammelleitung, dass lokal an jedem Punkt x X der Raum dem echten Flugzeug ähnlich sein soll. Die Ergänzung "Riemann" bedeutet, dass X mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet ist, die Winkelmaß auf der Sammelleitung, nämlich eine Gleichwertigkeitsklasse der so genannten Metrik von Riemannian erlaubt. Zwei solche Metrik wird gleichwertig betrachtet, wenn die Winkel, die sie messen, dasselbe sind. Die Auswahl einer Gleichwertigkeitsklasse der Metrik auf X ist die zusätzliche Gegebenheit der conformal Struktur.

Eine komplizierte Struktur verursacht eine conformal Struktur durch die Auswahl des Standards Euklidisch metrisch gegeben auf dem komplizierten Flugzeug und das Transportieren davon zu X mittels der Karten. Wenn sie zeigt, dass eine conformal Struktur bestimmt, ist eine komplizierte Struktur schwieriger.

Beispiele

• Das komplizierte Flugzeug C ist die grundlegendste Oberfläche von Riemann. Die Karte f (z) = z (die Identitätskarte) definiert eine Karte für C, und {f} ist ein Atlas für C. Die Karte g (z) = z (die verbundene Karte) definiert auch eine Karte auf C, und {g} ist ein Atlas für C. Die Karten f und g sind nicht vereinbar, so dotiert das C mit zwei verschiedenen Oberflächenstrukturen von Riemann. Tatsächlich, in Anbetracht eines Riemanns erscheinen X und sein Atlas A, der verbundene Atlas B = {f: f  ist A\mit A nie vereinbar, und dotiert X mit einer verschiedenen, unvereinbaren Struktur von Riemann.
• Auf eine analoge Mode kann jede offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs als eine Oberfläche von Riemann auf eine natürliche Weise angesehen werden. Mehr allgemein ist jede offene Teilmenge einer Oberfläche von Riemann eine Oberfläche von Riemann.
• Lassen Sie S = C  {} und lassen Sie f (z) = z, wo z in S \{} und g (z) = 1 / z ist, wo z in S \{0} ist und 1 /  definiert wird, um 0 zu sein. Dann sind f und g Karten, sie, sind und {f vereinbar, g} ist ein Atlas für S, S in eine Oberfläche von Riemann machend. Diese besondere Oberfläche wird den Bereich von Riemann genannt, weil es als Verpackung des komplizierten Flugzeugs um den Bereich interpretiert werden kann. Verschieden vom komplizierten Flugzeug ist es kompakt.

Wie man

• zeigen kann, ist die Theorie von Kompaktoberflächen von Riemann zu dieser von projektiven algebraischen Kurven gleichwertig, die über die komplexen Zahlen definiert und nichtsingulär werden. Zum Beispiel entspricht der Ring C / (Z + τ Z), wo τ eine komplizierte nichtreelle Zahl ist, über Weierstrass elliptische Funktion, die zum Gitter Z + τ Z zu einer elliptischen Kurve vereinigt ist, die durch eine Gleichung gegeben ist

:: y = x + ein x + b.

:Tori sind die einzigen Oberflächen von Riemann der Klasse ein, Oberflächen von höheren Klassen g werden durch die hyperelliptischen Oberflächen zur Verfügung gestellt

:: y = P (x),

:where P ist ein kompliziertes Polynom des Grads 2g + 1.

• Wichtige Beispiele von Nichtkompaktoberflächen von Riemann werden durch die analytische Verlängerung zur Verfügung gestellt.

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Weitere Definitionen und Eigenschaften

Als mit jeder Karte zwischen komplizierten Sammelleitungen, eine Funktion f: M  N zwischen zwei Oberflächen von Riemann M und N werden holomorphic genannt, wenn für jede Karte g im Atlas der M und jeder Karte h im Atlas von N die Karte h o f o g holomorphic ist (als eine Funktion von C bis C), wo auch immer es definiert wird. Die Zusammensetzung von zwei Holomorphic-Karten ist holomorphic. Die zwei OberflächenM von Riemann und N werden biholomorphic genannt (oder conformally Entsprechung, um den conformal Gesichtspunkt zu betonen), wenn dort eine bijektive Holomorphic-Funktion von der M bis N besteht, dessen Gegenteil auch holomorphic ist (es stellt sich heraus, dass die letzte Bedingung automatisch ist und deshalb weggelassen werden kann). Zwei conformally gleichwertige Oberflächen von Riemann sind zu allen praktischen identischen Zwecken.

Orientability

Wir haben in der Einleitung bemerkt, dass der ganze Riemann Oberflächen, wie alle komplizierten Sammelleitungen, orientable als eine echte Sammelleitung ist. Der Grund besteht darin, dass für komplizierte Karten f und g mit dem Übergang h = f fungieren (g (z)), können wir h als eine Karte von einem offenen Satz von R zu R betrachten, dessen Jacobian in einem Punkt z gerade die echte geradlinige Karte ist, die durch die Multiplikation durch die komplexe Zahl h (z) gegeben ist. Jedoch ist die echte Determinante der Multiplikation durch eine komplexe Zahl α | α gleich, so hat Jacobian von h positive Determinante. Folglich ist der komplizierte Atlas ein orientierter Atlas.

Funktionen

Jede Nichtkompaktoberfläche von Riemann lässt nichtunveränderliche Holomorphic-Funktionen (mit Werten in C) zu. Tatsächlich ist jede Nichtkompaktoberfläche von Riemann eine Sammelleitung von Stein.

Im Gegensatz auf einer Kompaktoberfläche von Riemann ist X jede Holomorphic-Funktion mit dem Wert in C wegen des maximalen Grundsatzes unveränderlich. Jedoch, dort besteht immer nichtunveränderliche Meromorphic-Funktionen (holomorphic Funktionen mit Werten im Bereich von Riemann C  {}). Genauer ist das Funktionsfeld X eine begrenzte Erweiterung von C (t), das Funktionsfeld in einer Variable, d. h. irgendwelche zwei Meromorphic-Funktionen sind algebraisch abhängig. Diese Behauptung verallgemeinert zu höheren Dimensionen, sieh.

Analytisch gegen den algebraischen

Die obengenannte Tatsache über die Existenz von nichtunveränderlichen Meromorphic-Funktionen kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jede Kompaktoberfläche von Riemann eine projektive Vielfalt ist, d. h. durch polynomische Gleichungen innerhalb eines projektiven Raums gegeben werden kann. Wirklich kann es gezeigt werden, dass jede Kompaktoberfläche von Riemann in den Komplex projektiv 3-Räume-eingebettet werden kann. Das ist ein überraschender Lehrsatz: Oberflächen von Riemann werden durch das lokale Flicken von Karten gegeben. Wenn eine globale Bedingung, nämlich Kompaktheit, hinzugefügt wird, ist die Oberfläche notwendigerweise algebraisch. Diese Eigenschaft von Oberflächen von Riemann erlaubt, sie entweder mit den Mitteln der analytischen oder mit algebraischen Geometrie zu studieren. Die entsprechende Behauptung für hoch-dimensionale Gegenstände ist falsch, d. h. es gibt kompakte komplizierte 2 Sammelleitungen, die nicht algebraisch sind. Andererseits ist jede projektive komplizierte Sammelleitung notwendigerweise algebraisch, sieh den Lehrsatz von Chow.

Als ein Beispiel, denken Sie den Ring T: = C / (Z + τ Z). Die Weierstrass-Funktion, die dem Gitter Z + τ Z gehört, ist eine Meromorphic-Funktion auf T. Diese Funktion und seine Ableitung erzeugen das Funktionsfeld von T. Es gibt eine Gleichung

:

[\wp' (z)] ^2=4 [\wp (z)] ^3-g_2\wp (z)-g_3, </Mathematik>

wo die Koeffizienten g und g von τ abhängen, so eine elliptische Kurve E im Sinne der algebraischen Geometrie gebend. Das Umkehren davon wird durch den j-invariant j (E) vollbracht, der verwendet werden kann, um τ und folglich einen Ring zu bestimmen.

Klassifikation von Oberflächen von Riemann

Der Bereich von Oberflächen von Riemann kann in drei Regime geteilt werden: hyperbolische, parabolische und elliptische Oberflächen von Riemann, mit der durch den uniformization Lehrsatz gegebenen Unterscheidung. Geometrisch entsprechen diese negativer Krümmung, Nullkrümmung/Wohnung und positiver Krümmung: Den uniformization Lehrsatz in Bezug auf die conformal Geometrie festsetzend, lässt jede verbundene Oberfläche von Riemann X einen einzigartigen ganzen 2-dimensionalen echten Riemann ein, der mit der unveränderlichen Krümmung &minus;1, das 0 oder 1 Verursachen derselben conformal Struktur metrisch ist - jeder metrische ist conformally Entsprechung zu einer unveränderlichen metrischen Krümmung. Die Oberfläche X wird hyperbolisch, parabolisch, und elliptisch beziehungsweise genannt.

Für einfach verbundene Oberflächen von Riemann stellt der uniformization Lehrsatz fest, dass jede einfach verbundene Oberfläche von Riemann conformally Entsprechung zu einem des folgenden ist:

elliptisch: Der Bereich von Riemann C  {}, hat auch PC angezeigt

parabolisch: das komplizierte Flugzeug C oder

hyperbolisch: die offene Platte D: = {z  C: z

Die Existenz dieser drei Typen passt der mehreren nicht-euklidischen Geometrie an.

Die allgemeine Technik des Verbindens zu einer Sammelleitung X sein universaler Deckel Y und das Ausdrücken des Originals X als der Quotient von Y durch die Gruppe von Deck-Transformationen gibt eine erste Übersicht über Oberflächen von Riemann.

Elliptische Oberflächen von Riemann

Definitionsgemäß sind das die Oberflächen X mit der unveränderlichen Krümmung +1. Der Bereich von Riemann C  {} ist das einzige Beispiel. (Elliptische Funktionen sind Beispiele von parabolischen Oberflächen von Riemann. Das Namengeben kommt aus der Geschichte: Elliptische Funktionen werden zu elliptischen Integralen vereinigt, die der Reihe nach im Rechnen des Kreisumfangs von Ellipsen auftauchen).

Parabolische Oberflächen von Riemann

Definitionsgemäß sind das die Oberflächen X mit der unveränderlichen Krümmung 0. Gleichwertig, durch den uniformization Lehrsatz, muss der universale Deckel X das komplizierte Flugzeug sein.

Es gibt dann drei Möglichkeiten für X. Es kann das Flugzeug selbst, ein Ringrohr oder ein Ring sein

:T: = C / (Z  &tau;Z).

Der Satz von Vertretern des cosets wird grundsätzliche Gebiete genannt.

Sorge muss genommen werden, insofern als zwei Ringe immer homeomorphic, aber im Allgemeinen nicht biholomorphic zu einander sind. Das ist das erste Äußere des Problems von Modulen. Das Modul eines Rings kann durch eine einzelne komplexe Zahl τ mit dem positiven imaginären Teil gewonnen werden. Tatsächlich ist der gekennzeichnete Modul-Raum (Raum von Teichmüller) des Rings biholomorphic zum oberen Halbflugzeug oder gleichwertig der offenen Einheitsplatte.

Hyperbeloberflächen von Riemann

Die Oberflächen von Riemann mit der Krümmung &minus;1 werden hyperbolisch genannt. Diese Gruppe ist die "größte".

Der berühmte Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, stellt fest, dass jede einfach verbundene strenge Teilmenge des komplizierten Flugzeugs biholomorphic zur Einheitsplatte ist. Deshalb ist die offene Platte mit der Poincaré-metrischen von der unveränderlichen Krümmung &minus;1 das lokale Modell jeder Hyperbeloberfläche von Riemann. Gemäß dem uniformization Lehrsatz oben sind alle Hyperbeloberflächen Quotienten der Einheitsplatte.

Beispiele schließen alle Oberflächen mit der Klasse g> 1 wie hyperelliptische Kurven ein.

Für jede Hyperbeloberfläche von Riemann ist die grundsätzliche Gruppe zu einer Gruppe von Fuchsian isomorph, und so kann die Oberfläche durch ein Modell von Fuchsian H/Γ modelliert werden, wo H das obere Halbflugzeug ist und Γ die Gruppe von Fuchsian ist. Der Satz von Vertretern des cosets von H/Γ ist freie regelmäßige Sätze und kann in metrische grundsätzliche Vielecke geformt werden. Quotient-Strukturen als H/Γ werden zu Varianten von Shimura verallgemeinert.

Verschieden von elliptischen und parabolischen Oberflächen ist keine Klassifikation der Hyperbeloberflächen möglich. Jede verbundene offene strenge Teilmenge des Flugzeugs gibt eine Hyperbeloberfläche; denken Sie das Flugzeug minus ein Kantor-Satz. Eine Klassifikation ist für Oberflächen des begrenzten Typs möglich: Diejenigen, die zu einer Kompaktoberfläche mit einer begrenzten Zahl von Punkten isomorph sind, sind umgezogen. Irgendwelche von diesen haben eine begrenzte Zahl von Modulen und so ein begrenzter dimensionaler Raum von Teichmüller. Das Problem von Modulen (gelöst von Lars Ahlfors und erweitert von Lipman Bers) sollte den Anspruch von Riemann das für eine geschlossene Oberfläche der Klasse g, 3g &minus rechtfertigen; 3 komplizierte Rahmen genügen.

Wenn eine Hyperbeloberfläche dann kompakt ist, ist das Gesamtgebiet der Oberfläche 4π (g &minus; 1), wo g die Klasse der Oberfläche ist; das Gebiet wird durch die Verwendung des Gauss-Häubchen-Lehrsatzes auf das Gebiet des grundsätzlichen Vielecks erhalten.

Karten zwischen Oberflächen von Riemann

Die geometrische Klassifikation wird in Karten zwischen Oberflächen von Riemann, widerspiegelt

wie ausführlich berichtet, im Lehrsatz von Liouville und dem Kleinen Picard Lehrsatz: Karten vom hyperbolischen bis parabolischen zum elliptischen sind leicht, aber Karten vom elliptischen bis parabolischen oder parabolisches zum hyperbolischen sind (tatsächlich sehr gezwungen, allgemein unveränderlich!). Es gibt Einschließungen der Scheibe im Flugzeug im Bereich: Aber jede Meromorphic-Karte vom Bereich zum Flugzeug ist unveränderlich, jede Holomorphic-Karte vom Flugzeug in die Einheitsplatte ist (der Lehrsatz von Liouville) unveränderlich, und tatsächlich ist jede Holomorphic-Karte vom Flugzeug ins Flugzeug minus zwei Punkte (Wenig Picard Lehrsatz) unveränderlich!

Durchstochene Bereiche

Diese Behauptungen werden durch das Betrachten des Typs eines Bereichs von Riemann mit mehreren Einstichen geklärt. Ohne Einstiche ist es der Bereich von Riemann, der elliptisch ist. Mit einem Einstich, der an der Unendlichkeit gelegt werden kann, ist es das komplizierte Flugzeug, das parabolisch ist. Mit zwei Einstichen ist es das durchstochene Flugzeug oder wechselweise das Ringrohr oder der Zylinder, der parabolisch ist. Mit drei oder mehr Einstichen ist es hyperbolisch - vergleichen sich Paar dessen keucht. Man kann von einem Einstich bis zwei, über die Exponentialkarte kartografisch darstellen (der komplett ist und eine wesentliche Eigenartigkeit an der Unendlichkeit hat, so nicht definiert an der Unendlichkeit, und verpasst Null und Unendlichkeit), aber alle Karten von Nulleinstichen bis ein, oder mehr oder sind ein oder zwei Einstiche zu drei oder mehr unveränderlich.

Verzweigte Bedeckungsräume

Wenn sie

in dieser Ader weitergehen, können Kompaktoberflächen von Riemann zu Oberflächen der niedrigeren Klasse, aber nicht zur höheren Klasse kartografisch darstellen, außer als unveränderliche Karten. Das ist, weil sich holomorphic und Meromorphic-Karten lokal wie so nichtunveränderliche Karten benehmen, werden verzweigt, Karten bedeckend, und für Kompaktoberflächen von Riemann werden diese durch die Formel von Riemann-Hurwitz in der algebraischen Topologie beschränkt, die die Eigenschaft von Euler eines Raums und eines verzweigten Deckels verbindet.

Zum Beispiel werden Hyperbeloberflächen von Riemann verzweigt, Räume des Bereichs bedeckend (sie haben nichtunveränderliche Meromorphic-Funktionen), aber der Bereich bedeckt nicht oder stellt sonst zu höheren Klasse-Oberflächen kartografisch dar, außer als eine Konstante.

Isometrien von Oberflächen von Riemann

Die Isometrie-Gruppe einer uniformized Oberfläche von Riemann (gleichwertig, der conformal automorphism Gruppe) widerspiegelt seine Geometrie:

• Klasse 0 - die Isometrie-Gruppe des Bereichs ist die Gruppe von Möbius von projektiven verwandelt sich von der komplizierten Linie,
• die Isometrie-Gruppe des Flugzeugs ist die Untergruppe-Befestigen-Unendlichkeit, und des durchstochenen Flugzeugs ist die Untergruppe-Befestigen-Unendlichkeit und Null als ein Satz: das entweder Befestigen von ihnen beiden oder das Austauschen von ihnen (1/z).
• die Isometrie-Gruppe des oberen Halbflugzeugs ist die echte Gruppe von Möbius; das ist zur automorphism Gruppe der Platte verbunden.
• Klasse 1 - die Isometrie-Gruppe eines Rings ist in allgemeinen Übersetzungen (als eine Vielfalt von Abelian), obwohl das Quadratgitter und sechseckige Gitter Hinzufügung symmetries von der Folge durch 90 ° und 60 ° haben.
• Für die Klasse  2 ist die Isometrie-Gruppe begrenzt, und hat Ordnung höchstens durch den automorphisms Lehrsatz von Hurwitz; Oberflächen, die das begreifen, haben gebunden werden Oberflächen von Hurwitz genannt.
• Es ist bekannt, dass jede begrenzte Gruppe als die volle Gruppe von Isometrien von einer Riemann-Oberfläche begriffen werden kann.
• Für die Klasse 2 wird die Ordnung durch die Oberfläche von Bolza mit dem Auftrag 48 maximiert.
• Für die Klasse 3 wird die Ordnung vom Klein quartic mit dem Auftrag 168 maximiert; das ist die erste Oberfläche von Hurwitz, und seine automorphism Gruppe ist zu PSL (2,7), die zweite kleinste non-abelian einfache Gruppe isomorph.
• Für die Klasse 4 ist die Oberfläche von Bring eine hoch symmetrische Oberfläche.
• Für die Klasse 7 wird die Ordnung durch die Oberfläche von Macbeath mit dem Auftrag 504 maximiert; das ist die zweite Oberfläche von Hurwitz, und seine automorphism Gruppe ist zu PSL isomorph (2, 8), die vierte kleinste non-abelian einfache Gruppe.

Funktionstheoretische Klassifikation

Das Klassifikationsschema wird normalerweise oben durch geometers verwendet. Es gibt eine verschiedene Klassifikation für Oberflächen von Riemann, die normalerweise von komplizierten Analytikern verwendet wird. Es verwendet eine verschiedene Definition für "den parabolischen" und "das hyperbolische". In diesem alternativen Klassifikationsschema wird eine Oberfläche von Riemann parabolisch genannt, wenn es keine nichtunveränderlichen negativen subharmonischen Funktionen auf der Oberfläche gibt und hyperbolisch sonst genannt wird. Diese Klasse von Hyperbeloberflächen wird weiter in Unterklassen gemäß unterteilt, ob Funktionsräume außer den negativen subharmonischen Funktionen degeneriert sind, z.B sind Oberflächen von Riemann, auf denen alle Holomorphic-Funktionen begrenzt haben, unveränderlich, oder auf dem alle begrenzten harmonischen Funktionen unveränderlich sind, oder auf dem alle positiven harmonischen Funktionen usw. unveränderlich sind.

Um Verwirrung zu vermeiden, nennen Sie die Klassifikation gestützt auf der Metrik der unveränderlichen Krümmung die geometrische Klassifikation und diejenige gestützt auf der Entartung von Funktionsräumen die funktionstheoretische Klassifikation. Zum Beispiel ist die Oberfläche von Riemann, die aus "allen komplexen Zahlen, aber 0 und 1" besteht, in der funktionstheoretischen Klassifikation parabolisch, aber es ist in der geometrischen Klassifikation hyperbolisch.

Siehe auch

• Dessin d'enfant
• Kähler vervielfältigen
• Lorentz erscheinen
• Lehrsätze bezüglich Riemanns erscheinen
• Klassengruppe kartografisch darstellend
• sich verzweigender Lehrsatz
• Der automorphisms Lehrsatz von Hurwitz
• der Identitätslehrsatz für Riemann erscheint
• Lehrsatz von Riemann-Roch
• Formel von Riemann-Hurwitz

Referenzen

• Pablo Arés Gastesi, Oberflächenbuch von Riemann.

• besonders Kapitel IV.

Links