In der Mathematik, und mehr spezifisch in der algebraischen Topologie und polyedrischem combinatorics sind die Eigenschaft von Euler (oder Euler-Poincaré Eigenschaft) ein topologischer invariant, eine Zahl, die eine Gestalt eines topologischen Raums oder Struktur unabhängig von der Weise beschreibt, wie es gebogen wird. Es wird durch (griechischer Brief chi) allgemein angezeigt.

Die Eigenschaft von Euler wurde für Polyeder ursprünglich definiert und verwendet, um verschiedene Lehrsätze über sie einschließlich der Klassifikation der Platonischen Festkörper zu beweisen. Leonhard Euler, für den das Konzept genannt wird, war für viel von dieser frühen Arbeit verantwortlich. In der modernen Mathematik entsteht die Eigenschaft von Euler aus der Homologie und steht zu vielen anderen invariants in Verbindung.

Polyeder

Die Euler Eigenschaft wurde für die Oberflächen von Polyedern, gemäß der Formel klassisch definiert

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wo V E, und F beziehungsweise die Zahlen von Scheitelpunkten (Ecken), Ränder und Gesichter im gegebenen Polyeder sind. Die Oberfläche jedes konvexen Polyeders hat Eigenschaft von Euler

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Dieses Ergebnis ist als die Polyeder-Formel oder Lehrsatz von Euler bekannt. Es entspricht der Eigenschaft von Euler des Bereichs (d. h. χ = 2), und gilt identisch für kugelförmige Polyeder. Eine Illustration der Formel auf einigen Polyedern wird unten gegeben.

Die Oberflächen von nichtkonvexen Polyedern können verschiedene Eigenschaften von Euler haben;

Für regelmäßige Polyeder hat Arthur Cayley eine modifizierte Form der Formel von Euler mit den Dichten des polyhedronD, der Scheitelpunkt-Zahlen und der Gesichter abgeleitet:

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Diese Version hält beide für konvexe Polyeder (wo die Dichten der ganze 1 sind), und die nichtkonvexen Kepler-Poinsot Polyeder:

Projektive Polyeder alle haben Eigenschaft 1 von Euler entsprechend dem echten projektiven Flugzeug, während toroidal Polyeder alle Eigenschaft 0 von Euler entsprechend dem Ring haben.

Planare Graphen

Die Euler Eigenschaft kann für verbundene planare Graphen durch dieselbe Formel bezüglich polyedrischer Oberflächen definiert werden, wo F die Zahl von Gesichtern im Graphen einschließlich des Außengesichtes ist.

Die Euler Eigenschaft jedes planaren verbundenen Graphen G ist 2. Das wird durch die Induktion auf der Zahl von Gesichtern leicht bewiesen, die durch G bestimmt sind, mit einem Baum als der Grundfall anfangend. Für Bäume, E = v-1 und F = 1. Wenn G C Bestandteile hat, zeigt dasselbe Argument durch die Induktion auf F das. Eines von den wenigen Graph-Theorie-Papieren von Cauchy beweist auch dieses Ergebnis.

Über den stereografischen Vorsprung stellt das Flugzeug zum zweidimensionalen Bereich, solch kartografisch dar, dass ein verbundener Graph zu einer polygonalen Zergliederung des Bereichs kartografisch darstellt, der Eigenschaft 2 von Euler hat. Dieser Gesichtspunkt ist im Beweis von Cauchy der Formel von Euler implizit, die unten gegeben ist.

Beweis der Formel von Euler

Es gibt viele Beweise der Formel von Euler. Man wurde von Cauchy 1811 wie folgt gegeben. Es gilt für jedes konvexe Polyeder, und mehr allgemein zu jedem Polyeder, dessen Grenze zu einem Bereich topologisch gleichwertig ist, und dessen Gesichter zu Platten topologisch gleichwertig sind.

Entfernen Sie ein Gesicht der polyedrischen Oberfläche. Dadurch, die Ränder des fehlenden Gesichtes von einander wegzuziehen, deformieren Sie den ganzen Rest in einen planaren Graphen von Punkten und Kurven, wie illustriert, durch den ersten von den drei Graphen für den speziellen Fall des Würfels. (Die Annahme, dass die polyedrische Oberfläche homeomorphic zum Bereich am Anfang ist, ist, was das möglich macht.) Nach dieser Deformierung sind die regelmäßigen Gesichter allgemein mehr nicht regelmäßig. Die Zahl von Scheitelpunkten und Rändern ist dasselbe geblieben, aber die Anzahl von Gesichtern ist durch 1 vermindert worden. Deshalb nimmt der Beweis der Formel von Euler für das Polyeder zum Beweis V &minus ab; E + F =1 für diesen verformten, planaren Gegenstand.

Wenn es ein Gesicht mit mehr als drei Seiten gibt, ziehen Sie eine Diagonale — d. h. eine Kurve durch das Gesicht, das zwei Scheitelpunkte verbindet, die noch nicht verbunden werden. Das fügt einen Rand und ein Gesicht hinzu und ändert die Zahl von Scheitelpunkten nicht, so ändert es die Menge V &minus nicht; E + F. (Ist die Annahme, dass alle Gesichter Platten sind, hier erforderlich, um über den Kurve-Lehrsatz von Jordan zu zeigen, dass diese Operation die Zahl von Gesichtern durch eines steigert.) Setzen fort, Ränder auf diese Weise hinzuzufügen, bis alle Gesichter dreieckig sind.

Wenden Sie wiederholt jede der folgenden zwei Transformationen an:

1. Entfernen Sie ein Dreieck mit nur einem Rand neben dem Äußeren, wie illustriert, durch den zweiten Graphen. Das reduziert die Anzahl gegen Ränder und Gesichter durch ein jeder und ändert die Zahl von Scheitelpunkten nicht, so bewahren sie V − E + F.
2. Entfernen Sie ein Dreieck mit zwei Rändern, die durch das Äußere des Netzes, wie illustriert, durch den dritten Graphen geteilt sind. Jede Dreieck-Eliminierung entfernt einen Scheitelpunkt, zwei Ränder und ein Gesicht, so bewahrt es V − E + F.

Wiederholen Sie diese zwei Schritte nacheinander, bis nur ein Dreieck bleibt.

An diesem Punkt hat das einsame Dreieck V = 3, E = 3, und F = 1, so dass V − E + F = 1. Seitdem jeder der zwei über Transformationsschritten diese Menge bewahrt hat, haben wir uns V &minus gezeigt; E + F = 1 für den verformten, planaren Gegenstand, der so V &minus demonstriert; E + F = 2 für das Polyeder. Das beweist den Lehrsatz.

Für zusätzliche Beweise, sieh Neunzehn Beweise der Formel von Euler durch David Eppstein. Vielfache Beweise, einschließlich ihrer Fehler und Beschränkungen, werden als Beispiele in Beweisen und Widerlegungen von Imre Lakatos verwendet.

Topologische Definition

Die polyedrischen Oberflächen, die oben besprochen sind, sind auf der modernen Sprache, zweidimensionalen begrenzten CW-Komplexen. (Wenn nur Dreiecksgesichter verwendet werden, sind sie zweidimensionale begrenzte simplicial Komplexe.) Im Allgemeinen, für jeden begrenzten CW-Komplex, kann die Eigenschaft von Euler als die Wechselsumme definiert werden

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wo k die Zahl von Zellen der Dimension n im Komplex anzeigt.

Mehr allgemein still, für jeden topologischen Raum, können wir den n-ten Betti Nummer b als die Reihe der n-ten einzigartigen Homologie-Gruppe definieren. Die Euler Eigenschaft kann dann als die Wechselsumme definiert werden

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Diese Menge ist bestimmt, wenn die Zahlen von Betti alle begrenzt sind, und wenn sie Null außer einem bestimmten Index n sind. Für simplicial Komplexe ist das nicht dieselbe Definition wie im vorherigen Paragrafen, aber einer Homologie-Berechnung zeigt, dass die zwei Definitionen denselben Wert dafür geben werden.

Eigenschaften

Die Euler Eigenschaft jeder geschlossenen sonderbar-dimensionalen Sammelleitung ist Null.. Der Fall für orientable Beispiele ist eine Folgeerscheinung der Dualität von Poincaré. Dieses Eigentum gilt mehr allgemein für jeden geschichteten Kompaktraum alle sind dessen Schichten sonderbar-dimensional. Außerdem benimmt sich die Eigenschaft von Euler gut in Bezug auf viele grundlegende Operationen auf topologischen Räumen wie folgt.

Homotopy invariance

Da die Homologie ein topologischer invariant ist (tatsächlich, ein homotopy invariant - haben zwei topologische Räume, die homotopy Entsprechung sind, isomorphe Homologie-Gruppen), so ist die Eigenschaft von Euler.

Zum Beispiel ist jedes konvexe Polyeder homeomorphic zum dreidimensionalen Ball, so ist seine Oberfläche homeomorphic (folglich homotopy gleichwertig) zum zweidimensionalen Bereich, der Eigenschaft 2 von Euler hat. Das erklärt, warum konvexe Polyeder Eigenschaft 2 von Euler haben.

Einschließungsausschluss-Grundsatz

Wenn M und N irgendwelche zwei topologischen Räume sind, dann ist die Eigenschaft von Euler ihrer zusammenhanglosen Vereinigung die Summe ihrer Eigenschaften von Euler, da Homologie unter der zusammenhanglosen Vereinigung zusätzlich ist:

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Mehr allgemein, wenn M und N Subräume eines größeren Raums X sind, dann auch sind ihre Vereinigung und Kreuzung. In einigen Fällen folgt die Eigenschaft von Euler einer Version des Einschließungsausschluss-Grundsatzes:

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Das ist in den folgenden Fällen wahr:

• wenn M und N ein Excisive-Paar sind. Insbesondere wenn das Innere der M und N innerhalb der Vereinigung noch die Vereinigung bedeckt.
• wenn X ein lokal kompakter Raum ist, und man Eigenschaften von Euler mit Kompaktunterstützungen verwendet, sind keine Annahmen auf der M oder N erforderlich.
• wenn X ein geschichteter Raum ist alle sind dessen Schichten sogar dimensional, hält der Einschließungsausschluss-Grundsatz, ob M und N Vereinigungen von Schichten sind. Das gilt insbesondere, wenn M und N Subvarianten einer komplizierten algebraischen Vielfalt sind.

Im Allgemeinen ist der Einschließungsausschluss-Grundsatz falsch. Ein Gegenbeispiel wird durch die Einnahme X gegeben, um die echte Linie, M eine Teilmenge zu sein, die aus einem Punkt und N die Ergänzung der M besteht.

Produkteigentum

Außerdem die Eigenschaft von Euler jedes Produktraums M × N ist

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Diese Hinzufügung und Multiplikationseigenschaften werden auch durch cardinality von Sätzen genossen. Auf diese Weise kann die Eigenschaft von Euler als eine Verallgemeinerung von cardinality angesehen werden; sieh

http://math.ucr.edu/home/baez/counting/.

Bedeckung von Räumen

Ähnlich für einen k-sheeted Bedeckung des Raums hat man

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Mehr allgemein, für einen verzweigten Bedeckungsraum, kann die Eigenschaft von Euler des Deckels vom obengenannten mit einem Korrektur-Faktor für die Implikationspunkte geschätzt werden, der die Formel von Riemann-Hurwitz nachgibt.

Eigentum von Fibration

Das Produkteigentum hält viel mehr allgemein für fibrations mit bestimmten Bedingungen.

Wenn ein fibration mit der Faser F, mit der Basis B Pfad-verbunden ist, und der fibration orientable über Feld K ist, dann befriedigt die Eigenschaft von Euler mit Koeffizienten in Feld K das Produkteigentum:

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Das schließt Produkträume und Bedeckung von Räumen als spezielle Fälle, ein

und kann von Serre geisterhafte Folge auf der Homologie eines fibration bewiesen werden.

Für Faser-Bündel kann das auch in Bezug auf eine Übertragungskarte verstanden werden - bemerken, dass das ein Heben ist und "den falschen Weg" geht - wessen Zusammensetzung mit der Vorsprung-Karte Multiplikation durch die Klasse von Euler der Faser ist:

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Beziehungen zu anderem invariants

Die Euler Eigenschaft einer geschlossenen Orientable-Oberfläche kann von seiner Klasse g berechnet werden (die Zahl von Ringen in einer verbundenen Summe-Zergliederung der Oberfläche; intuitiv, die Zahl von "Griffen") als

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Die Euler Eigenschaft einer geschlossenen Non-Orientable-Oberfläche kann von seiner non-orientable Klasse k (die Zahl von echten projektiven Flugzeugen in einer verbundenen Summe-Zergliederung der Oberfläche) als berechnet werden

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Für geschlossene glatte Sammelleitungen fällt die Eigenschaft von Euler mit der Zahl von Euler, d. h., die Klasse von Euler seines auf der grundsätzlichen Klasse einer Sammelleitung bewerteten Tangente-Bündels zusammen. Die Euler Klasse bezieht sich abwechselnd auf alle anderen charakteristischen Klassen von Vektor-Bündeln.

Für geschlossene Sammelleitungen von Riemannian kann die Eigenschaft von Euler auch durch die Integrierung der Krümmung gefunden werden; sieh den Gauss-Häubchen-Lehrsatz für den zweidimensionalen Fall und den verallgemeinerten Gauss-Häubchen-Lehrsatz für den allgemeinen Fall.

Ein getrenntes Analogon des Gauss-Häubchen-Lehrsatzes ist der Lehrsatz von Descartes, dass der "Gesamtdefekt" eines Polyeders, das in Vollkreisen gemessen ist, die Eigenschaft von Euler des Polyeders ist; sieh Defekt (Geometrie).

Der Lehrsatz von Hadwiger charakterisiert die Eigenschaft von Euler als das einzigartige (bis zur Skalarmultiplikation) Übersetzung-invariant, begrenzt Zusatz, not-necessarily-nonnegative Satz-Funktion, die auf begrenzten Vereinigungen von konvexen Kompaktsätzen in R definiert ist, der vom Grad 0 "homogen ist".

Beispiele

Die Euler Eigenschaft kann leicht für allgemeine Oberflächen durch die Entdeckung eines polygonization der Oberfläche (d. h. eine Beschreibung als ein CW-Komplex) und das Verwenden der obengenannten Definitionen berechnet werden.

Jeder contractible Raum (d. h. eine homotopy Entsprechung zu einem Punkt) hat triviale Homologie, bedeutend, dass die 0th Zahl von Betti 1 und andere 0 ist. Deshalb ist seine Eigenschaft von Euler 1. Dieser Fall schließt Euklidischen Raum jeder Dimension, sowie den festen Einheitsball in jedem Euklidischen Raum - der eindimensionale Zwischenraum, die zweidimensionale Platte, der dreidimensionale Ball usw. ein.

Der n-dimensional Bereich hat Betti Nummer 1 in Dimensionen 0 und n und allen anderen Zahlen von Betti 0. Folglich ist seine Eigenschaft von Euler - d. h. entweder 0 oder 2.

Der n-dimensional echte projektive Raum ist der Quotient des N-Bereichs durch die antipodische Karte. Hieraus folgt dass seine Eigenschaft von Euler genau halb mehr als das des entsprechenden Bereichs - entweder 0 oder 1 ist.

Der n-dimensional Ring ist der Produktraum von n Kreisen. Seine Euler Eigenschaft ist 0, durch das Produkteigentum.

Fußballball-Beispiel

Wie vieles Pentagon und Sechsecke braucht man, um einen Fußballball zu machen? Nehmen Sie an, dass wir Sechsecke und Pentagon verwenden; dann haben wir Gesichter. Jedes Pentagon (Sechseck) hat 5 Scheitelpunkte (6 Scheitelpunkte), und jeder wird zwischen 3 Gesichtern geteilt, folglich haben wir Scheitelpunkte. Ähnlich hat jedes Pentagon (Sechseck) 5 Ränder (6 Ränder), und jeder wird zwischen 2 Gesichtern geteilt, folglich haben wir Ränder. Die Euler Eigenschaft ist so. Da der Bereich Eigenschaft 2 von Euler, hieraus folgt dass hat. Das Ergebnis besteht darin, dass wir immer 12 Pentagon auf einem Ball des Fußballs/Fußballs brauchen; die Zahl von Sechsecken ist im Prinzip zwanglos (aber für einen echten Fußball/Fußball ballen denjenigen offensichtlich wählt eine Zahl, die den Ball so kugelförmig macht wie möglich). Dieses Ergebnis ist auch auf fullerenes anwendbar.

Generalisationen

Für jeden kombinatorischen Zellkomplex definiert man die Eigenschaft von Euler als die Zahl von 0 Zellen minus die Zahl von 1 Zellen plus die Zahl von 2 Zellen usw., wenn diese Wechselsumme begrenzt ist. Insbesondere die Eigenschaft von Euler eines begrenzten Satzes ist einfach sein cardinality, und die Eigenschaft von Euler eines Graphen ist die Zahl von Scheitelpunkten minus die Zahl von Rändern.

Mehr allgemein kann man die Eigenschaft von Euler jedes Kettenkomplexes definieren, um die Wechselsumme der Reihen der Homologie-Gruppen des Kettenkomplexes zu sein.

Eine in der algebraischen Geometrie verwendete Version ist wie folgt. Für jedes Bündel auf einem projektiven Schema X definiert man seine Eigenschaft von Euler

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wo die Dimension des i-th Bündels cohomology Gruppe dessen ist.

Eine andere Generalisation des Konzepts der Eigenschaft von Euler auf Sammelleitungen kommt aus orbifolds. Während jede Sammelleitung eine ganze Zahl Eigenschaft von Euler hat, kann ein orbifold eine Brucheigenschaft von Euler haben. Zum Beispiel hat die Träne orbifold Eigenschaft 1 von Euler + 1/p, wo p eine Primzahl entsprechend dem Kegel-Winkel 2π / p ist.

Das Konzept der Eigenschaft von Euler eines begrenzten begrenzten poset ist eine andere Generalisation, die in combinatorics wichtig ist. Ein poset wird "begrenzt", wenn er kleinste und größte Elemente hat; nennen Sie sie 0 und 1. Die Euler Eigenschaft solch eines poset wird als die ganze Zahl μ (0,1) definiert, wo μ die Funktion von Möbius in der Vorkommen-Algebra dieses poset ist.

Das kann weiter durch das Definieren einer Q-valued Euler Eigenschaft für bestimmte begrenzte Kategorien, ein Begriff verallgemeinert werden, der mit den Eigenschaften von Euler von Graphen, orbifolds und posets vereinbar ist, der oben erwähnt ist. In dieser Einstellung ist die Eigenschaft von Euler einer begrenzten Gruppe oder monoid G 1 / | G, und die Eigenschaft von Euler eines begrenzten groupoid ist die Summe 1 / | G, wo wir eine vertretende Gruppe G für jeden verbundenen Bestandteil des groupoid aufgepickt haben.

Siehe auch

• Klasse von Euler
• Liste von gleichförmigen Polyedern
• Liste von Themen genannt nach Leonhard Euler
• Rechnung von Euler

Zeichen

Weiterführende Literatur

• Richeson, David S. (2008) der Edelstein von Euler: Die Polyeder-Formel und die Geburt der Topologie. Universität von Princeton Presse.
• H. Graham Flegg: Von der Geometrie bis Topologie. Dover 2001, p. 40

Außenverbindungen