In der algebraischen Geometrie ist eine algebraische Gruppe (oder Gruppenvielfalt) eine Gruppe, die eine algebraische Vielfalt, solch ist, dass die Multiplikation und das Gegenteil durch regelmäßige Funktionen auf der Vielfalt gegeben werden. In der Kategorie theoretische Begriffe ist eine algebraische Gruppe ein Gruppengegenstand in der Kategorie von algebraischen Varianten.

Klassen

Mehrere wichtige Klassen von Gruppen sind algebraische Gruppen, einschließlich:

• Begrenzte Gruppen
• GL (n, C), die allgemeine geradlinige Gruppe von invertible matrices über C
• Elliptische Kurven.

Zwei wichtige Klassen von algebraischen Gruppen entstehen, die größtenteils getrennt studiert werden: Abelian-Varianten (die 'projektive' Theorie) und geradlinige algebraische Gruppen (die 'affine' Theorie). Es gibt sicher Beispiele, die weder ein noch der andere sind - kommen diese zum Beispiel in der modernen Theorie von Integralen der zweiten und dritten Arten wie die Funktion von Weierstrass zeta oder die Theorie von verallgemeinertem Jacobians vor. Aber gemäß einem grundlegenden Lehrsatz ist jede algebraische Gruppe eine Erweiterung einer abelian Vielfalt durch eine geradlinige algebraische Gruppe. Das ist ein Ergebnis von Claude Chevalley: Wenn K ein vollkommenes Feld und G eine algebraische Gruppe über K ist, dort besteht eine einzigartige normale geschlossene Untergruppe H in G, solch, dass H eine geradlinige Gruppe und G/H eine abelian Vielfalt ist.

Gemäß einem anderen grundlegenden Lehrsatz hat jede Gruppe in der Kategorie von affine Varianten eine treue geradlinige Darstellung: Wir können denken, dass es eine Matrixgruppe über K ist, der durch Polynome über K und mit der Matrixmultiplikation als die Gruppenoperation definiert ist. Deshalb ist ein Konzept der affine algebraischen Gruppe über ein Feld überflüssig - wir können ebenso eine sehr konkrete Definition verwenden. Bemerken Sie, dass das bedeutet, dass algebraische Gruppe schmaler ist, als Gruppe Liegen, wenn man über das Feld von reellen Zahlen arbeitet: Es gibt Beispiele wie der universale Deckel 2×2 spezielle geradlinige Gruppe, die Lüge-Gruppen sind, aber keine treue geradlinige Darstellung haben. Ein offensichtlicherer Unterschied zwischen den zwei Konzepten entsteht, weil der Identitätsbestandteil einer affine algebraischen Gruppe G notwendigerweise des begrenzten Index in G ist.

Wenn man über einen Grundring R (auswechselbar) arbeiten will, gibt es das Gruppenschema-Konzept: D. h. ein Gruppengegenstand in der Kategorie von Schemas über das Gruppenschema von R. Affine ist das zu einem Typ der Algebra von Hopf Doppel-Konzept. Es gibt ganz eine raffinierte Theorie von Gruppenschemas, die zum Beispiel in der zeitgenössischen Theorie von abelian Varianten hereingeht.

Algebraische Untergruppe

Eine algebraische Untergruppe einer algebraischen Gruppe ist geschlossene Untergruppe von Zariski.

Allgemein werden diese genommen um (oder nicht zu vereinfachend als eine Vielfalt) ebenso verbunden zu werden.

Eine andere Weise, die Bedingung auszudrücken, ist als eine Untergruppe, die auch eine Subvielfalt ist.

Das kann auch durch das Erlauben von Schemas im Platz von Varianten verallgemeinert werden. Die Hauptwirkung davon in der Praxis, abgesondert vom Erlauben von Untergruppen, in denen der verbundene Bestandteil des begrenzten Index> 1 ist, soll nichtreduzierte Schemas in der Eigenschaft p zulassen.

Gruppen von Coxeter

Es gibt mehrere analoge Ergebnisse zwischen algebraischen Gruppen und Gruppen von Coxeter - zum Beispiel, die Zahl der Elemente der symmetrischen Gruppe ist, und die Zahl der Elemente der allgemeinen geradlinigen Gruppe über ein begrenztes Feld ist der q-factorial; so benimmt sich die symmetrische Gruppe, als ob es eine geradlinige Gruppe über "das Feld mit einem Element" war. Das wird durch das Feld mit einem Element formalisiert, das denkt, dass Gruppen von Coxeter einfache algebraische Gruppen über das Feld mit einem Element sind.

Siehe auch

• Algebraische Topologie (Gegenstand)
• Untergruppe von Borel
• Gezähmte Gruppe
• Reihe von Morley
• Cherlin-Zilber vermuten
• Adelic algebraische Gruppe
• Wörterverzeichnis von algebraischen Gruppen

Referenzen

• Milne, J. S., Algebraic and Arithmetic Groups.