Elliptische Geometrie ist eine nicht-euklidische Geometrie, in der, in Anbetracht einer Linie L und eines Punkts p außerhalb L, dort keine Linienparallele zu L besteht, der p durchgeht. Elliptische Geometrie, wie Hyperbelgeometrie, verletzt das parallele Postulat von Euklid, das als das Erklären interpretiert werden kann, dass es genau eine Linienparallele zu L gibt, der p durchgeht. In der elliptischen Geometrie gibt es keine parallelen Linien überhaupt. Elliptische Geometrie hat eine Vielfalt von Eigenschaften, die sich von denjenigen der klassischen Euklidischen Flugzeug-Geometrie unterscheiden. Zum Beispiel ist die Summe der Winkel jedes Dreiecks immer größer als 180 °.

Definition

Elliptischer Raum ist ein abstrakter Gegenstand und so eine fantasievolle Herausforderung. Das elliptische Flugzeug ist das leichteste Beispiel und basiert auf der sphärischen Geometrie. Die Abstraktion ist mit dem Denken ein Paar von antipodischen Punkten auf dem Bereich verbunden, ein einzelner Punkt im elliptischen Flugzeug zu sein. Die Depression dieser Identifizierung von zwei Punkten in ist man die Proposition der Geschichte von H. G. Wells "Der Bemerkenswerte Fall der Augen von Davidson" (1895). Mathematiker kennzeichnen allgemein das elliptische Flugzeug als das echte projektive Flugzeug. Besonders in Räumen der höheren Dimension wird elliptische Geometrie projektive Geometrie genannt.

Wie erklärt, durch H. S. M. Coxeter

:The nennen "elliptisch" ist vielleicht irreführend. Es deutet nicht an, dass jeder Direktanschluss mit der Kurve eine Ellipse, aber nur eine ziemlich unglaubwürdige Analogie genannt hat. Ein Hauptkonischer wird eine Ellipse oder eine Hyperbel genannt je nachdem, wie es keine Asymptote oder zwei Asymptoten hat. Analog, wie man sagt, ist ein nicht-euklidisches Flugzeug elliptisch oder hyperbolisch je nachdem, wie jede seiner Linien nichts an der Unendlichkeit oder zwei Punkte an der Unendlichkeit enthält.

Zwei Dimensionen

Das kugelförmige Modell

Eine einfache Weise, elliptische Geometrie darzustellen, soll auf einen Erdball schauen. Benachbarte Linien der Länge scheinen, am Äquator parallel zu sein, noch schneiden sie sich an den Polen.

Genauer ist die Oberfläche eines Bereichs ein Modell der elliptischen Geometrie, wenn Linien durch große Kreise und Punkte an jedem modelliert werden, welche, wie man betrachtet, die Antipoden eines anderen derselbe Punkt sind. Mit dieser Identifizierung von antipodischen Punkten befriedigt das Modell das erste Postulat von Euklid, das feststellt, dass zwei Punkte einzigartig eine Linie bestimmen. Wenn, wie man betrachten würde, die antipodischen Punkte, als in der sphärischen Geometrie verschieden waren, dann würde Einzigartigkeit, z.B, die Linien der Länge auf der Oberfläche der Erde verletzt alle führen sowohl den Nordpol als auch den Südpol durch.

Obwohl Modelle wie das kugelförmige Modell für die Vergegenwärtigung und für den Beweis der Selbstkonsistenz der Theorie nützlich sind, sind weder ein Modell noch ein Einbetten in einem hoch-dimensionalen Raum logisch notwendig. Zum Beispiel hat die Theorie von Einstein der allgemeinen Relativität statische Lösungen, in denen Raum, der ein Schwerefeld enthält, durch die dreidimensionale elliptische Geometrie (lokal) beschrieben wird, aber die Theorie postuliert die Existenz einer vierten Raumdimension nicht, oder deutet sogar jeden Weg an, auf den die Existenz eines hoch-dimensionalen Raums entdeckt werden konnte. (Das ist zur Behandlung der Zeit als eine vierte Dimension in der Relativität ohne Beziehung.) Metaphorisch können wir uns geometers vorstellen, die Ameisen ähnlich sind, die von der Oberfläche eines Bereichs leben. Selbst wenn die Ameisen unfähig sind, die Oberfläche abzufahren, können sie noch Linien bauen und nachprüfen, dass Parallelen nicht bestehen. Die Existenz einer dritten Dimension ist für die Fähigkeit der Ameisen irrelevant, Geometrie zu tun, und seine Existenz ist weder nachprüfbar noch aus ihrem Gesichtspunkt notwendig. Eine andere Weise, das zu stellen, besteht darin, dass die Sprache der Axiome der Theorie unfähig ist, die Unterscheidung zwischen einem Modell und einem anderen auszudrücken.

Vergleich mit der Euklidischen Geometrie

In der Euklidischen Geometrie kann eine Zahl hoch geschraubt oder unbestimmt heruntergeschraubt werden, und die resultierenden Zahlen sind ähnlich, d. h. sie haben dieselben Winkel und dieselben inneren Verhältnisse. In der elliptischen Geometrie ist das nicht der Fall. Zum Beispiel im kugelförmigen Modell können wir sehen, dass die Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten ausschließlich weniger als Hälfte des Kreisumfangs des Bereichs sein muss (weil antipodische Punkte identifiziert werden). Ein Liniensegment kann deshalb unbestimmt nicht hoch geschraubt werden. Ein Geometer-Messen der geometrischen Eigenschaften des Raums, den er oder sie bewohnt, kann über Maße entdecken, dass es eine bestimmte Entfernungsskala gibt, die ein Eigentum des Raums ist. Auf Skalen, die viel kleiner sind als dieser, ist der Raum ungefähr flach, Geometrie ist ungefähr Euklidisch, und Zahlen können oben und unten erklettert werden, während man ungefähr ähnlich bleibt.

Sehr viel Euklidische Geometrie trägt direkt zur elliptischen Geometrie vor. Zum Beispiel halten das erste und viertes von den Postulaten von Euklid, dass es eine einzigartige Linie zwischen irgendwelchen zwei Punkten gibt, und dass ganz richtig Winkel gleich sind, in der elliptischen Geometrie. Verlangen Sie 3, dass man einen Kreis mit jedem gegebenen Zentrum und Radius bauen kann, scheitert, wenn "ein Radius" genommen wird, um "eine reelle Zahl," zu bedeuten, aber hält, ob es genommen wird, um "die Länge eines gegebenen Liniensegmentes zu bedeuten." Deshalb läuft irgendwelcher auf Euklidische Geometrie hinaus, die aus diesen drei Postulaten folgt, wird in der elliptischen Geometrie, wie Vorschlag 1 aus dem Buch I der Elemente halten, das feststellt, dass gegeben jedes Liniensegment, ein gleichseitiges Dreieck mit dem Segment als seine Basis gebaut werden kann.

Elliptische Geometrie ist auch Euklidischer Geometrie in diesem Raum ähnlich ist dauernd, homogen, und ohne Grenzen isotropisch. Isotropie wird durch das vierte Postulat, das ganz recht versichert Winkel sind gleich. Für ein Beispiel der Gleichartigkeit, bemerken Sie, dass der Vorschlag von Euklid ich 1 deute an, dass dasselbe gleichseitige Dreieck an jeder Position nicht nur in Positionen gebaut werden kann, die irgendwie speziell sind. Der Mangel an Grenzen folgt aus dem zweiten Postulat, der Dehnbarkeit eines Liniensegmentes.

Ein Weg, auf den sich elliptische Geometrie von der Euklidischen Geometrie unterscheidet, besteht darin, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks größer ist als 180 Grade. Im kugelförmigen Modell, zum Beispiel, kann ein Dreieck mit Scheitelpunkten an den Positionen gebaut werden, wo die drei positiven Kartesianischen Koordinatenäxte den Bereich durchschneiden, und alle drei seiner inneren Winkel 90 Grade sind, zu 270 Graden resümierend. Für genug kleine Dreiecke das Übermaß können mehr als 180 Grade so klein gemacht werden wie gewünscht.

Der Pythagoreische Lehrsatz scheitert in der elliptischen Geometrie. Im 90-90-90 Dreieck, das oben beschrieben ist, haben alle drei Seiten dieselbe Länge, und sie befriedigen deshalb nicht. Das Pythagoreische Ergebnis wird in der Grenze von kleinen Dreiecken wieder erlangt.

Das Verhältnis eines Kreisumfangs eines Kreises zu seinem Gebiet ist kleiner als in der Euklidischen Geometrie. Im Allgemeinen klettern Gebiet und Volumen als die zweiten und dritten Mächte von geradlinigen Dimensionen nicht.

Elliptischer Raum

Die dreidimensionale elliptische Geometrie macht vom 3-Bereiche-S Gebrauch, und diese Punkte werden mit dem versors in der Theorie von quaternions gut zugegriffen.

Ein versor ist ein quaternion der Norm ein, der die Form notwendigerweise haben muss

Der Ursprung entspricht = 0 und ist die Identität der topologischen Gruppe, die aus versors besteht. Mit r befestigt, der versors

bilden Sie eine elliptische Linie. Die Entfernung von zu 1 ist a. Für einen willkürlichen versor u wird die Entfernung das &theta sein; für der weil θ = (u + u *)/2 da ist das die Formel für den Skalarteil jedes quaternion.

Eine elliptische Bewegung wird durch den quaternion beschrieben, der kartografisch darstellt

: wo u und v versors befestigt werden.

Entfernungen zwischen Punkten sind dasselbe als zwischen Bildpunkten einer elliptischen Bewegung. Im Fall, dass u und v quaternion sind, paart sich einander, die Bewegung ist eine Raumfolge, und ihr Vektor-Teil ist die Achse der Folge. Im Fall u = 1 wird die elliptische Bewegung ein Recht Übersetzung von Clifford oder einen parataxy genannt. Der Fall v = 1 entspricht linker Übersetzung von Clifford.

Elliptische Linien durch versor u können von der Form sein

Sie sind die richtigen und linken Übersetzungen von Clifford von u entlang einer elliptischen Linie bis 1.

Der elliptische Raum wird gebildet, indem er antipodische Punkte auf S identifiziert wird.

Elliptischer Raum hat spezielle Strukturen genannt Parallelen von Clifford und Oberflächen von Clifford.

Hoch-dimensionale Räume

Hyperkugelförmiges Modell

Das hyperkugelförmige Modell ist die Generalisation des kugelförmigen Modells zu höheren Dimensionen. Die Punkte des n-dimensional elliptischen Raums sind die Paare von Einheitsvektoren (x,−x) in R, d. h. Paaren von entgegengesetzten Punkten auf der Oberfläche des Einheitsballs in (n+1) - dimensionaler Raum (der n-dimensional Hyperbereich). Linien in diesem Modell sind große Kreise, d. h., Kreuzungen des Hyperbereichs mit flachen Hyperoberflächen der Dimension n das Durchführen des Ursprungs.

Projektive elliptische Geometrie

Im projektiven Modell der elliptischen Geometrie werden die Punkte des n-dimensional echten projektiven Raums als Punkte des Modells verwendet. Das modelliert eine abstrakte elliptische Geometrie, die auch bekannt als projektive Geometrie ist.

Die Punkte des n-dimensional projektiven Raums können mit Linien durch den Ursprung in (n+1) - dimensionaler Raum identifiziert werden, und können nichteinzigartig durch Nichtnullvektoren in R mit dem Verstehen vertreten werden, dass u und λu, für jeden Nichtnullskalar λ, denselben Punkt vertreten. Entfernung wird mit dem metrischen definiert

d. h. die Entfernung zwischen zwei Punkten ist der Winkel zwischen ihren entsprechenden Linien in R. Die Entfernungsformel ist in jeder Variable, mit d (λu, μv) = d homogen (u, v), wenn λ und μ Nichtnullskalare sind, so definiert es wirklich eine Entfernung auf den Punkten des projektiven Raums.

Ein bemerkenswertes Eigentum der projektiven elliptischen Geometrie besteht darin, dass für sogar Dimensionen, wie das Flugzeug, die Geometrie nonorientable ist. Es löscht die Unterscheidung zwischen im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn Folge, indem es sie identifiziert wird.

Stereografisches Modell

Ein Modell, das denselben Raum wie das hyperkugelförmige Modell vertritt, kann mittels des stereografischen Vorsprungs erhalten werden. Lassen Sie E R  {}, d. h. n-dimensional echter Raum vertreten, der durch einen einzelnen Punkt an der Unendlichkeit erweitert ist. Wir können einen metrischen, das chordal metrische auf definieren

E durch

wo u und v irgendwelche zwei Vektoren in R sind und die übliche Euklidische Norm ist. Wir definieren auch

Das Ergebnis ist ein metrischer Raum auf E, der die Entfernung entlang einem Akkord der entsprechenden Punkte auf dem hyperkugelförmigen Modell vertritt, zu dem es bijektiv durch den stereografischen Vorsprung kartografisch darstellt. Wir erhalten ein Modell der sphärischen Geometrie, wenn wir den metrischen verwenden

Elliptische Geometrie wird dabei erhalten, indem sie die Punkte u identifiziert wird und, und die Entfernung von v bis dieses Paar genommen wird, um das Minimum der Entfernungen von v bis jeden dieser zwei Punkte zu sein.

Selbstkonsistenz

Weil kugelförmige elliptische Geometrie als, zum Beispiel, ein kugelförmiger Subraum eines Euklidischen Raums modelliert werden kann, hieraus folgt dass, wenn Euklidische Geometrie so konsequent ist, kugelförmige elliptische Geometrie ist. Deshalb ist es nicht möglich, das parallele auf den anderen vier Postulaten der Euklidischen Geometrie gestützte Postulat zu beweisen.

Tarski hat bewiesen, dass elementare Euklidische Geometrie im gewissen Sinne abgeschlossen ist: Es gibt einen Algorithmus, der, für jeden Vorschlag, es zeigen kann, um entweder wahr oder falsch zu sein. (Das verletzt den Lehrsatz von Gödel nicht, weil Euklidische Geometrie keinen genügend Betrag der Arithmetik für den Lehrsatz beschreiben kann, um zu gelten.) Folgt es deshalb diese elementare elliptische Geometrie ist auch konsequent und abgeschlossen.

Siehe auch

• Elliptisch mit Ziegeln zu decken
• Kugelförmig mit Ziegeln zu decken

Referenzen

• Alan F. Beardon, Die Geometrie von Discrete Groups, Springer-Verlag, 1983
• H. S. M. Coxeter (1942) Nicht-euklidische Geometrie, Kapitel 5, 6, & 7: Elliptische Geometrie in 1, 2, & 3 Dimensionen, Universität der Toronto Presse, hat 1998 durch die Mathematische Vereinigung Amerikas, internationale Standardbuchnummer 0-88385-522-4 neu aufgelegt.
• H.S.M. Coxeter (1969) Einführung in die Geometrie, §6.9 Das Elliptische Flugzeug, Seiten 92 bis 95. John Wiley & Sons.
• Felix Klein (1871) "Auf der so genannten nichteuklidischen Geometrie" Mathematische Annalen 4:573-625, übersetzt und eingeführt in John Stillwell (1996) Quellen der Hyperbelgeometrie, amerikanische Mathematische internationale Gesellschaftsstandardbuchnummer 0-8218-0529-0.
• Georges Lemaître (1948) "Quaternions und espace elliptique", Acta Bischöfliche Akademie von Wissenschaften 12:57-78.
• H.S.M. Coxeter, englische Synopse von Lemaître in Mathematischen Rezensionen.
• Boris Odehnal "Auf isotropischen Kongruenzen von Linien im elliptischen drei-Räume-"
• Alfred Tarski (1951) eine Entscheidungsmethode für die elementare Algebra und Geometrie. Univ. der Presse von Kalifornien.