In der Euklidischen Geometrie, einem zyklischen Vierseit oder dem eingeschriebenen Vierseit ist ein Vierseit, dessen Scheitelpunkte alle auf einem einzelnen Kreis lügen. Dieser Kreis wird den circumcircle oder umschriebenen Kreis genannt, und, wie man sagt, sind die Scheitelpunkte concyclic. Das Zentrum des Kreises und seines Radius wird den circumcenter und den circumradius beziehungsweise genannt. Andere Namen für diese Vierseite sind concyclic Vierseit und chordal Vierseit, die Letzteren, da die Seiten des Vierseits Akkorde des circumcircle sind. Gewöhnlich, wie man annimmt, ist das Vierseit konvex, aber dort wird auch zyklische Vierseite durchquert. Die Formeln und Eigenschaften, die unten gegeben sind, sind im konvexen Fall gültig.

Das zyklische Wort ist vom griechischen kuklos, was "Kreis" oder "Rad" bedeutet.

Alle Dreiecke haben einen circumcircle, aber nicht alle Vierseite tun. Ein Beispiel eines Vierseits, das nicht zyklisch sein kann, ist ein Nichtquadratrhombus. Die Abteilungscharakterisierungen setzen unten das fest, welche notwendige und genügend Bedingungen ein Vierseit befriedigen muss, um einen circumcircle zu haben.

Spezielle Fälle

Jedes Quadrat, Rechteck, gleichschenkliges Trapezoid oder Antiparallelogramm sind zyklisch. Ein Flugdrache ist zyklisch, wenn, und nur wenn er zwei richtige Winkel hat. Ein bicentric Vierseit ist ein zyklisches Vierseit, das auch tangential ist und ein ex-bicentric Vierseit ein zyklisches Vierseit ist, das auch ex-tangential ist.

Charakterisierungen

Ein konvexes Vierseit ist zyklisch, wenn, und nur wenn die vier rechtwinkligen Halbierungslinien zu den Seiten gleichzeitig sind. Dieser allgemeine Punkt ist der circumcenter.

Ein konvexer vierseitiger ABCD ist zyklisch, wenn, und nur wenn seine entgegengesetzten Winkel ergänzend sind, der ist

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Der direkte Lehrsatz war Vorschlag 22 im Buch 3 der Elemente von Euklid. Gleichwertig ist ein konvexes Vierseit zyklisch, wenn, und nur wenn jeder Außenwinkel dem entgegengesetzten Innenwinkel gleich ist.

Eine andere notwendige und genügend Bedingung für ein konvexes Vierseit, das ABCD, um zyklisch zu sein, ist, dass ein Winkel zwischen einer Seite und einer Diagonale dem Winkel zwischen der Gegenseite und der anderen Diagonale gleich ist. D. h. zum Beispiel,

Und doch besteht eine andere Charakterisierung darin, dass ein konvexes Vierseit ABCD wenn und nur wenn zyklisch

ist:

Gebiet

Gebiet K eines zyklischen Vierseits mit Seiten a, b, c, d wird durch die Formel von Brahmagupta gegeben

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wo s, der Halbumfang, ist. Es ist eine Folgeerscheinung zur Formel von Bretschneider, da entgegengesetzte Winkel ergänzend sind. Wenn auch das zyklische Vierseit ein Dreieck wird und die Formel auf die Formel des Reihers reduziert wird.

Das zyklische Vierseit hat maximales Gebiet unter allen Vierseiten, die dieselbe Folge von Seitenlängen haben. Das ist eine andere Folgeerscheinung zur Formel von Bretschneider. Es kann auch mit der Rechnung bewiesen werden.

Vier ungleiche Längen, jeder weniger als dann Summe der anderen drei, sind die Seiten von jedem von drei nichtkongruenten zyklischen Vierseiten, die durch die Formel von Brahmagupta alle den gemeinsamen Bereich haben. Spezifisch, für Seiten a, b, ergreifen c, und d, ein Können Partei, gegenüber einigen der Seite b, Seite c oder Seite d sein.

Das Gebiet eines zyklischen Vierseits mit aufeinander folgenden Seiten a, b, c, d und Winkel B zwischen Seiten a und b kann als ausgedrückt werden

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oder

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wo θ der Winkel zwischen den Diagonalen ist. Wenn A ein schiefer Winkel ist, kann das Gebiet auch als ausgedrückt werden

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Eine andere Formel ist

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wo R der Radius im circumcircle ist.

In Bezug auf die Seiten a, b, c, d, befriedigt das Gebiet die Ungleichheit

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Diagonalen

Der Lehrsatz von Ptolemy drückt das Produkt der Längen der zwei Diagonalen p und q eines zyklischen Vierseits als gleich der Summe der Produkte ac und bd von Gegenseiten aus:

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Das gegenteilige ist auch wahr. D. h. wenn diese Gleichung in einem konvexen Vierseit zufrieden ist, dann ist es ein zyklisches Vierseit. So ist der Lehrsatz von Ptolemy eine andere Charakterisierung von zyklischen Vierseiten.

In jedem konvexen Vierseit verteilen die zwei Diagonalen zusammen das Vierseit in vier Dreiecke; in einem zyklischen Vierseit sind entgegengesetzte Paare dieser vier Dreiecke einander ähnlich.

Der zweite Lehrsatz von Ptolemy stellt fest, dass ein zyklisches Vierseit mit aufeinander folgenden Scheitelpunkten A, B, C, D und Seiten, und, und mit Diagonalen und, hat

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Die Längen der Diagonalen werden in Bezug auf die Seiten gegeben (dieselben Notationen wie oben verwendend), als

:und:

Für die Summe der Diagonalen haben wir die Ungleichheit

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Gleichheit hält, ob, und nur wenn die Diagonalen gleiche Länge haben, die verwendend der Ungleichheit des AM-GM bewiesen werden kann.

Wenn sich die Diagonalen eines zyklischen Vierseits ABCD an P, dann schneiden

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Das ist als der sich schneidende Akkord-Lehrsatz bekannt.

Winkelformeln

Für ein zyklisches Vierseit mit aufeinander folgenden Seiten a, b, c, d, Halbumfang s und Winkel zwischen Seiten a und d, werden die trigonometrischen Funktionen von A durch gegeben

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Der Winkel θ zwischen den Diagonalen befriedigt

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Wenn sich die Erweiterungen von Gegenseiten a und c in einem Winkel, dann schneiden

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wo s der Halbumfang ist.

Die Formel von Parameshvara

Ein zyklisches Vierseit mit aufeinander folgenden Seiten a, b, c, d und Halbumfang s hat circumradius (der Radius des circumcircle) gegeben durch

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wo K das Gebiet ist. Das wurde vom Indianermathematiker Vatasseri Parameshvara im 15. Jahrhundert abgeleitet.

Andere Eigenschaften

• In einem zyklischen Vierseit sind ABCD, der incenters in Dreieck-Abc, BCD, CDA und TUPFER die Scheitelpunkte eines Rechtecks. Das ist einer der als der japanische Lehrsatz bekannten Lehrsätze. Die orthocenters derselben vier Dreiecke sind die Scheitelpunkte eines Vierseits, das zu ABCD kongruent ist, und die centroids in jenen vier Dreiecken sind Scheitelpunkte eines anderen zyklischen Vierseits.
• Es gibt keine zyklischen Vierseite mit dem vernünftigen Gebiet und mit ungleichen vernünftigen Seiten entweder im arithmetischen oder in geometrischen Fortschritt.
• Vier Liniensegmente, jede Senkrechte zu einer Seite eines zyklischen Vierseits und des Durchführens des Mittelpunkts der Gegenseite, sind gleichzeitig. Diese Liniensegmente werden den maltitudes genannt, der eine Abkürzung für die Mittelpunkt-Höhe ist. Ihr allgemeiner Punkt wird das Antizentrum genannt. Es hat das Eigentum, das Nachdenken des circumcenter im "Scheitelpunkt centroid" zu sein. So in einem zyklischen Vierseit sind die circumcenter, der "Scheitelpunkt centroid" und das Antizentrum collinear.
• Wenn sich die Diagonalen eines zyklischen Vierseits an P schneiden, und die Mittelpunkte der Diagonalen M und N sind, dann ist das Antizentrum des Vierseits der orthocenter des Dreiecks MNP. Außerdem ist das Antizentrum der Mittelpunkt des Liniensegmentes, das sich den Mittelpunkten der Diagonalen anschließt.
• Wenn die Gegenseiten eines zyklischen Vierseits erweitert werden, um sich an E und F zu treffen, dann sind die inneren Winkelhalbierungslinien der Winkel an E und F rechtwinklig. Wenn M und N die Mittelpunkte der Diagonalen AC und BD, dann sind

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• In einem zyklischen Vierseit ist das "Gebiet centroid" G, der "Scheitelpunkt centroid" G und die Kreuzung P der Diagonalen collinear. Die Entfernungen zwischen diesen Punkten befriedigen

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Eigenschaften von zyklischen Vierseiten, die auch orthodiagonal sind

Circumradius und Gebiet

Für ein zyklisches Vierseit, das auch orthodiagonal ist (hat rechtwinklige Diagonalen), nehmen Sie an, dass die Kreuzung der Diagonalen eine Diagonale in Segmente von Längen p und p teilt und die andere Diagonale in Segmente von Längen q und q teilt. Dann

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wo D das Diameter des circumcircle ist. Das hält, weil die Diagonalen rechtwinklige Akkorde eines Kreises sind. Diese Gleichungserträge, dass der circumradius R als ausgedrückt werden kann

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oder, in Bezug auf die Seiten des Vierseits, als

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Es folgt auch dem

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So, gemäß dem vierseitigen Lehrsatz von Euler, kann der circumradius in Bezug auf die Diagonalen p und q und die Entfernung x zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen als ausgedrückt werden

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Eine Formel für Gebiet K eines zyklischen orthodiagonal Vierseits in Bezug auf die vier Seiten wird direkt erhalten, wenn man den Lehrsatz von Ptolemy und die Formel für das Gebiet eines orthodiagonal Vierseits verbindet. Das Ergebnis ist

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Andere Eigenschaften

• In einem zyklischen orthodiagonal Vierseit fällt das Antizentrum mit dem Punkt zusammen, wo sich die Diagonalen schneiden.
• Der Lehrsatz von Brahmagupta stellt fest, dass für ein zyklisches Vierseit, das auch orthodiagonal ist, die Senkrechte von jeder Seite bis den Punkt der Kreuzung der Diagonalen die Gegenseite halbiert.
• Wenn ein zyklisches Vierseit auch orthodiagonal ist, kommt die Entfernung vom circumcenter bis jede Seite Hälfte der Länge der Gegenseite gleich.
• In einem zyklischen orthodiagonal Vierseit kommt die Entfernung zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen der Entfernung zwischen dem circumcenter und dem Punkt gleich, wo sich die Diagonalen schneiden.

Vierseit von Brahmagupta

Ein Brahmagupta Vierseit ist ein zyklisches Vierseit mit Seiten der ganzen Zahl, Diagonalen der ganzen Zahl und Gebiet der ganzen Zahl. Alle Brahmagupta Vierseite mit Seiten a, b, c, d, Diagonalen e, f, Gebiet K und circumradius R können durch die Reinigung von Nennern von den folgenden Ausdrücken erhalten werden, die vernünftige Rahmen t, u, und v einschließen:

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Siehe auch

• Vierseit von Bicentric
• Schmetterling-Lehrsatz
• Der Lehrsatz von Brahmagupta
• Ex-tangentiales Vierseit
• Zyklisches Vieleck
• Japanischer Lehrsatz für zyklische Vierseite
• Vierseit von Orthodiagonal
• Macht eines Punkts
• Der Tisch von Ptolemy von Akkorden
• Der Lehrsatz von Ptolemy
• Pentagon von Robbins
• Tangentiales Vierseit

Links

• Abstammung der Formel für das Gebiet des zyklischen Vierseits
• Incenters im Zyklischen Vierseit an der Knoten-Kürzung
• Vier Gleichzeitige Linien in einem Zyklischen Vierseit an der Knoten-Kürzung
• Zentrum von Euler und maltitudes des zyklischen Vierseits an Dynamischen Geometrie-Skizzen, interaktiver dynamischer Geometrie-Skizze.