In der Geometrie, dem centroid, geometrischen Zentrum oder barycenter einer Flugzeug-Zahl oder zweidimensionaler Gestalt X ist die Kreuzung aller Geraden, die sich X in zwei Teile des gleichen Moments über die Linie teilen. Informell ist es der "Durchschnitt" (Arithmetik bösartig) aller Punkte X. Die Definition streckt sich bis zu jeden Gegenstand X im n-dimensional Raum aus: Sein centroid ist die Kreuzung aller Hyperflugzeuge, die sich X in zwei Teile des gleichen Moments teilen.

In der Physik bedeutet das Wort centroid das geometrische Zentrum der Gestalt des Gegenstands als oben, aber barycenter kann auch sein physisches Zentrum der Masse oder das Zentrum des Ernstes abhängig vom Zusammenhang bedeuten. Informell sind das Zentrum der Masse (und Zentrum des Ernstes in einem gleichförmigen Schwerefeld) der Durchschnitt aller Punkte, die durch die lokale Dichte oder das spezifische Gewicht beschwert sind. Wenn ein physischer Gegenstand gleichförmige Dichte hat, dann ist sein Zentrum der Masse dasselbe als der centroid seiner Gestalt.

In der Erdkunde ist der centroid eines Gebiets der Oberfläche der Erde, geplant radial auf die gesagte Oberfläche, als sein geografisches Zentrum bekannt.

Eigenschaften

Der geometrische centroid eines konvexen Gegenstands liegt immer im Gegenstand. Ein nichtkonvexer Gegenstand könnte einen centroid haben, der außerhalb der Zahl selbst ist. Der centroid eines Rings oder einer Schüssel liegt zum Beispiel in der Hauptleere des Gegenstands.

Wenn der centroid definiert wird, ist es ein fester Punkt aller Isometrien in seiner Symmetrie-Gruppe. Insbesondere der geometrische centroid eines Gegenstands liegt in der Kreuzung aller seiner Hyperflugzeuge der Symmetrie. Der centroid von vielen Zahlen (regelmäßiges Vieleck, regelmäßiges Polyeder, Zylinder, Rechteck, Rhombus, Kreis, Bereich, Ellipse, Ellipsoid, Superellipse, Superellipsoid, usw.) kann durch diesen Grundsatz allein bestimmt werden.

Insbesondere der centroid eines Parallelogramms ist der Versammlungspunkt seiner zwei Diagonalen. Das ist für andere Vierseite nicht wahr.

Aus demselben Grund ist der centroid eines Gegenstands mit der Übersetzungssymmetrie unbestimmt (oder liegt außerhalb des Umgeben-Raums), weil eine Übersetzung keinen festen Punkt hat.

Auffinden des centroid

Senklot-Methode

Der centroid eines gleichförmigen zweidimensionalen lamina, wie (a) unten, kann experimentell, durch das Verwenden einer Senkschnur und einer Nadel bestimmt werden, um das Zentrum der Masse eines dünnen Körpers der gleichförmigen Dichte zu finden, die dieselbe Gestalt hat. Der Körper wird durch die Nadel gehalten, die an einem Punkt in der Nähe vom Umfang des Körpers auf solche Art und Weise eingefügt ist, dass es um die Nadel frei rotieren kann; und das Senklot ist von der Nadel (b) fallen gelassen. Die Position der Senkschnur wird auf dem Körper verfolgt. Das Experiment wird mit der an einem verschiedenen Punkt des Gegenstands eingefügten Nadel wiederholt. Die Kreuzung der zwei Linien ist der centroid der Abbildung (c).

</tr>

</tr></Tisch>

Diese Methode kann (in der Theorie) zu konkaven Gestalten erweitert werden, wo der centroid außerhalb der Gestalt, und zu Festkörpern liegt (der gleichförmigen Dichte), aber die Positionen der Senklote müssen durch Mittel außer der Zeichnung registriert werden.

Das Ausgleichen der Methode

Für konvexe zweidimensionale Gestalten kann der centroid durch das Ausgleichen der Gestalt auf einer kleineren Gestalt wie die Spitze eines schmalen Zylinders gefunden werden. Der centroid kommt irgendwo innerhalb der Reihe des Kontakts zwischen den zwei Gestalten vor. Im Prinzip können progressiv schmalere Zylinder verwendet werden, um den centroid zur willkürlichen Genauigkeit zu finden. In der Praxis machen Luftzüge das unausführbar. Jedoch, indem man die Übergreifen-Reihe von vielfachen Gleichgewichten kennzeichnet, kann man ein beträchtliches Niveau der Genauigkeit erreichen.

Eines begrenzten Satzes von Punkten

Der centroid eines begrenzten Satzes von Punkten darin ist

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Durch die geometrische Zergliederung

Der centroid einer Flugzeug-Zahl kann durch das Teilen davon in eine begrenzte Zahl von einfacheren Zahlen, die Computerwissenschaft des centroid und Gebiets jedes Teils, und dann die Computerwissenschaft geschätzt werden

:

Löcher in der Zahl, Übergreifen zwischen den Teilen oder Teilen, die sich außerhalb der Zahl ausstrecken, können alle mit negativen Gebieten behandelt werden. Nämlich sollten die Maßnahmen mit positiven und negativen Zeichen auf solche Art und Weise ergriffen werden, dass die Summe der Zeichen für alle Teile, die einen gegebenen Punkt einschließen, 1 ist, wenn, und 0 sonst gehört.

Zum Beispiel wird die Zahl unter (a) in ein Quadrat und ein Dreieck, beide mit dem positiven Gebiet leicht geteilt; und ein kreisförmiges Loch, mit dem negativen Gebiet (b).

</tr> </tr></Tisch>

Der centroid jedes Teils kann in jeder Liste von centroids von einfachen Gestalten (c) gefunden werden. Dann ist der centroid der Zahl der gewogene Mittelwert der drei Punkte. Die horizontale Position des centroid, vom linken Rand der Zahl ist

:

Dieselbe Formel hält für irgendwelche dreidimensionalen Gegenstände, außer dass jeder das Volumen, aber nicht sein Gebiet sein sollte. Es hält auch für jede Teilmenge, für jede Dimension, mit den Gebieten ersetzt durch - dimensionale Maßnahmen der Teile.

Durch die integrierte Formel

Der centroid einer Teilmenge X dessen kann auch durch den integrierten geschätzt werden

:

wo das Integral der ganze Raum übernommen wird, und g die charakteristische Funktion der Teilmenge ist, die 1 Innen-X und 0 außerhalb dessen ist. Bemerken Sie, dass der Nenner einfach das Maß des Satzes X ist (Jedoch, kann diese Formel nicht angewandt werden, wenn der Satz X Nullmaß hat, oder wenn jedes Integral abweicht.)

Eine andere Formel für den centroid ist

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wo C die kth Koordinate von C ist, und S (z) das Maß der Kreuzung X mit dem Hyperflugzeug ist, das durch die Gleichung x = z definiert ist. Wieder ist der Nenner einfach das Maß X.

Für eine Flugzeug-Zahl, insbesondere sind die Barycenter-Koordinaten

::

wo A das Gebiet der Abbildung X ist; S (x) ist die Länge der Kreuzung X mit der vertikalen Linie an der Abszisse x; und S (y) ist die analoge Menge für die getauschten Äxte.

Eines L-Shaped-Gegenstands

Das ist eine Methode, den centroid eines L-Shaped-Gegenstands zu bestimmen.

1. Teilen Sie die Gestalt in zwei Rechtecke, wie gezeigt, in der Abb. 2. Finden Sie den centroids dieser zwei Rechtecke, indem Sie die Diagonalen ziehen. Ziehen Sie eine Linie, die sich dem centroids anschließt. Der centroid der Gestalt muss auf dieser Linie AB liegen.
2. Teilen Sie die Gestalt in zwei andere Rechtecke, wie gezeigt, in der Abb. 3. Finden Sie den centroids dieser zwei Rechtecke, indem Sie die Diagonalen ziehen. Ziehen Sie eine Linie, die sich dem centroids anschließt. Der centroid der L-Gestalt muss auf dieser Linien-CD liegen.
3. Wie der centroid der Gestalt entlang AB und auch entlang der CD lügen muss, ist es offensichtlich, dass es an der Kreuzung dieser zwei Linien an O ist. Der Punkt O könnte innerhalb des L-Shaped-Gegenstands nicht liegen.

Des Dreiecks und Tetraeders

Der centroid eines Dreiecks ist der Punkt der Kreuzung seiner Mittellinien (die Linien, die sich jedem Scheitelpunkt mit dem Mittelpunkt der Gegenseite anschließen). Der centroid teilt jede der Mittellinien im Verhältnis 2:1, der sagen soll, dass es ⅓ der rechtwinkligen Entfernung zwischen jeder Seite und dem gegenüberliegenden Punkt gelegen wird (sieh Zahlen am Recht). Seine Kartesianischen Koordinaten sind die Mittel der Koordinaten der drei Scheitelpunkte. D. h. wenn die drei Scheitelpunkte sind, und, dann ist der centroid

:

C = \frac13 (a+b+c) = \left (\frac13 (x_a+x_b+x_c), \; \;

\frac13 (y_a+y_b+y_c) \right). </Mathematik>

Der centroid ist deshalb an in Barycentric-Koordinaten.

Der centroid ist auch das physische Zentrum der Masse, wenn das Dreieck von einer gleichförmigen Platte des Materials gemacht wird; oder wenn die ganze Masse an den drei Scheitelpunkten konzentriert, und gleichmäßig unter ihnen geteilt wird. Andererseits, wenn die Masse entlang dem Umfang des Dreiecks mit der gleichförmigen geradlinigen Dichte verteilt wird, kann das Zentrum der Masse nicht mit dem geometrischen centroid zusammenfallen.

Das Gebiet des Dreiecks ist 1.5mal die Länge irgendwelcher Seitenzeiten die rechtwinklige Entfernung von der Seite bis den centroid.

Ein centroid eines Dreiecks liegt auf seiner Linie von Euler zwischen seinem orthocenter und seinem circumcenter, genau zweimal als in der Nähe von den Letzteren betreffs des ersteren.

Ähnliche Ergebnisse halten für ein Tetraeder: Sein centroid ist die Kreuzung aller Liniensegmente, die jeden Scheitelpunkt mit dem centroid des entgegengesetzten Gesichtes verbinden. Diese Liniensegmente werden durch den centroid im Verhältnis 3:1 geteilt. Das Ergebnis verallgemeinert zu jedem n-dimensional Simplex auf die offensichtliche Weise. Wenn der Satz von Scheitelpunkten eines Simplexes ist, dann die Scheitelpunkte als Vektoren betrachtend, ist der centroid

:

Der geometrische centroid fällt mit dem Zentrum der Masse zusammen, wenn die Masse über das ganze Simplex gleichförmig verteilt, oder an den Scheitelpunkten als n gleiche Massen konzentriert wird.

Der eines centroid eines Dreiecks verbundene isogonal ist sein Symmedian-Punkt.

Centroid des Vielecks

Der centroid "nicht selbst das Schneiden" des geschlossenen Vielecks, das durch n Scheitelpunkte (x, y), (x, y)..., (x, y) definiert ist, ist der Punkt (C, C), wo

::

und wo A das unterzeichnete Gebiet des Vielecks, ist

:

In diesen Formeln, wie man annimmt, werden die Scheitelpunkte in der Größenordnung von ihrem Ereignis entlang dem Umfang des Vielecks numeriert, und, wie man annimmt, ist der Scheitelpunkt (x, y) dasselbe als (x, y). Bemerken Sie, dass, wenn die Punkte in im Uhrzeigersinn der Ordnung numeriert werden, das Gebiet A, geschätzt als oben, ein negatives Zeichen haben wird; aber die Centroid-Koordinaten werden sogar in diesem Fall richtig sein.

Centroid des Kegels oder der Pyramide

Der centroid eines Kegels oder Pyramide wird auf dem Liniensegment gelegen, das die Spitze mit dem centroid der Basis verbindet. Für einen festen Kegel oder Pyramide ist der centroid 1/4 die Entfernung von der Basis bis die Spitze. Für einen Kegel oder Pyramide, die gerade eine Schale (Höhle) ohne Basis ist, ist der centroid 1/3 die Entfernung vom Grundflugzeug bis die Spitze.

Siehe auch

• Liste von centroids
• Fréchet haben vor
• Der centroid Lehrsatz von Pappus
• K-Mittel-Algorithmus
• Dreieck-Zentrum
• Zentrum von Tschebyscheff

Außenverbindungen

• Enzyklopädie von Dreieck-Zentren durch Clark Kimberling. Der centroid wird als X (2) mit einem Inhaltsverzeichnis versehen.
• Charakteristisches Eigentum von Centroid an der Knoten-Kürzung
• Barycentric Koordinaten an der Knoten-Kürzung
• Interaktive Zeichentrickfilm-Vertretung Centroid eines Dreiecks und Aufbaus von Centroid mit dem Kompass und Haarlineal
• Experimentell die Mittellinien und centroid eines Dreiecks an Dynamischen Geometrie-Skizzen, einer interaktiven dynamischen Geometrie-Skizze mit dem Ernst-Simulator von Aschenputtel findend.