In der Euklidischen Flugzeug-Geometrie ist ein Vierseit ein Vieleck mit vier Seiten (oder Ränder) und vier Scheitelpunkte oder Ecken. Manchmal wird der Begriff Viereck, analog mit dem Dreieck, und manchmal Viereck für die Konsistenz mit dem Pentagon (5-seitig), Sechseck (6-seitig) und so weiter gebraucht. Das Wortvierseit wird aus dem Wortviererkabel (Bedeutung "vier") und seitlich (Bedeutung "von Seiten") gemacht.

Der Ursprung des Wortvierseits ist von den zwei lateinischen Wörtern quadri, einer Variante vier, und latus Bedeutung "der Seite".

Vierseite sind einfach (sich nicht selbstschneidend) oder kompliziert (das Selbstschneiden), auch genannt durchquert. Einfache Vierseite sind entweder konvex oder konkav.

Die Innenwinkel eines einfachen Vierseits belaufen sich auf 360 Grade des Kreisbogens. Das ist ein spezieller Fall der n-gon Innenwinkelsumme-Formel (n  2) × 180 °. In einem durchquerten Vierseit belaufen sich die Innenwinkel auf beiden Seiten der Überfahrt auf 720 °.

Alle konvexen Vierseite decken das Flugzeug durch die wiederholte Folge um die Mittelpunkte ihrer Ränder mit Ziegeln.

Konvexe Vierseite - Parallelogramme

Ein Parallelogramm ist ein Vierseit mit zwei Paaren von parallelen Seiten. Gleichwertige Bedingungen bestehen darin, dass Gegenseiten der gleichen Länge sind; dieser sind entgegengesetzte Winkel gleich; oder dass die Diagonalen einander halbieren. Parallelogramme schließen auch das Quadrat, das Rechteck, den Rhombus und das Rhomboid ein.

• Rhombus oder Rhombus: Alle vier Seiten sind der gleichen Länge. Gleichwertige Bedingungen bestehen darin, dass Gegenseiten parallel sind und entgegengesetzte Winkel gleich sind, oder dass die Diagonalen rechtwinklig einander halbieren. Eine informelle Beschreibung ist "ein gestoßener - über das Quadrat" (einschließlich eines Quadrats).
• Rhomboid: Ein Parallelogramm, in dem angrenzende Seiten ungleicher Längen und Winkel sind, ist (nicht richtige Winkel) schief. Informell: "ein gestoßener - über das Rechteck ohne richtige Winkel."
• Rechteck: Alle vier Winkel sind richtige Winkel. Eine gleichwertige Bedingung besteht darin, dass die Diagonalen einander halbieren und in der Länge gleich sind. Informell: "ein Kasten oder länglich" (einschließlich eines Quadrats).
• Quadrat (regelmäßiges Vierseit): Alle vier Seiten sind der gleichen Länge (gleichseitig), und alle vier Winkel sind richtige Winkel. Eine gleichwertige Bedingung besteht darin, dass Gegenseiten parallel sind (ein Quadrat ist ein Parallelogramm), dass die Diagonalen rechtwinklig einander halbieren, und der gleichen Länge sind. Ein Vierseit ist ein Quadrat, wenn, und nur wenn es sowohl ein Rhombus als auch ein Rechteck (vier gleiche Seiten und vier gleiche Winkel) ist.
• Länglich: Ein Begriff hat manchmal gepflegt, ein Rechteck anzuzeigen, das ungleiche angrenzende Seiten hat (d. h. ein Rechteck, das nicht ein Quadrat ist).

Konvexe Vierseite - anderer

• Flugdrache: Zwei Paare von angrenzenden Seiten sind der gleichen Länge. Das deutet an, dass eine Diagonale den Flugdrachen in kongruente Dreiecke teilt, und so sind die Winkel zwischen den zwei Paaren von gleichen Seiten im Maß gleich. Es deutet auch an, dass die Diagonalen rechtwinklig sind.
• Trapezoid (nordamerikanisches Englisch) oder Trapez (britisches Englisch): Mindestens ein Paar von Gegenseiten ist parallel.
• Trapez (NAm).: keine Seiten sind parallel. (Auf britischem Englisch würde das ein unregelmäßiges Vierseit genannt, und wurde einmal ein Trapezoid genannt.)
• Gleichschenkliges Trapezoid (NAm). oder gleichschenkliges Trapez (Brite).: ein Paar von Gegenseiten ist parallel, und die anderen zwei Seiten sind der gleichen Länge. Das deutet an, dass die Grundwinkel im Maß gleich sind, und dass die Diagonalen der gleichen Länge sind. Eine alternative Definition ist ein Vierseit mit einer Achse der Symmetrie, die ein Paar von Gegenseiten halbiert.
• Tangentiales Trapezoid: Ein Trapezoid, wo die vier Seiten Tangenten zu einem eingeschriebenen Kreis sind.
• Tangentiales Vierseit: Die vier Seiten sind Tangenten zu einem eingeschriebenen Kreis. Ein konvexes Vierseit ist tangential, wenn, und nur wenn Gegenseiten gleiche Summen haben.
• Zyklisches Vierseit: Die vier Scheitelpunkte liegen auf einem umschriebenen Kreis. Ein konvexes Vierseit ist zyklisch, wenn, und nur wenn entgegengesetzte Winkel zu 180 ° resümieren.
• Vierseit von Bicentric: Es ist sowohl tangential als auch zyklisch.
• Vierseit von Orthodiagonal: Die Diagonalen treffen sich rechtwinklig.
• Vierseit von Equidiagonal: Die Diagonalen sind der gleichen Länge.
• Ex-tangentiales Vierseit: Die vier Erweiterungen der Seiten sind Tangente zu einem Ex-Kreis.

Mehr Vierseite

• Ein equilic Vierseit hat zwei entgegengesetzte gleiche Seiten, die sich wenn erweitert, an 60 ° treffen.
• Ein Watt-Vierseit ist ein Vierseit mit einem Paar von Gegenseiten der gleichen Länge.
• Ein geometrischer Chevron (Wurfpfeil oder Pfeilspitze) ist ein konkaves Vierseit mit der bilateralen Symmetrie wie ein Flugdrache, aber ein Innenwinkel ist Reflex.
• Ein sich selbstschneidendes Vierseit wird verschiedenartig ein Quer-Vierseit, durchquertes Vierseit, Schmetterling-Vierseit oder Frackschleife-Vierseit genannt. Ein spezieller Fall von durchquerten Vierseiten ist die Antiparallelogramme, durchquerte Vierseite, in denen (wie ein Parallelogramm) jedes Paar von nichtangrenzenden Seiten gleiche Länge hat. Die Diagonalen eines durchquerten oder konkaven Vierseits schneiden sich innerhalb der Gestalt nicht.
• Ein nichtplanares Vierseit wird ein verdrehen Vierseit genannt. Formeln, um seine zweiflächigen Winkel von den Rand-Längen und den Winkel zwischen zwei angrenzenden Rändern zu schätzen, wurden für die Arbeit an den Eigenschaften von Molekülen wie cyclobutane abgeleitet, die einen "gerunzelten" Ring von vier Atomen enthalten. Sieh verdrehen Vieleck für mehr.

Spezielle Liniensegmente

Die zwei Diagonalen eines konvexen Vierseits sind die Liniensegmente, die entgegengesetzte Scheitelpunkte verbinden.

Die zwei bimedians eines konvexen Vierseits sind die Liniensegmente, die die Mittelpunkte von Gegenseiten verbinden. Sie schneiden sich am "Scheitelpunkt centroid" des Vierseits (sieh Bemerkenswerte Punkte unten).

Die vier maltitudes eines konvexen Vierseits sind die Senkrechten zu einer Seite durch den Mittelpunkt der Gegenseite.

Notationen in metrischen Formeln

In den metrischen Formeln unten werden die folgenden Notationen verwendet. Ein konvexes Vierseit ABCD hat die Seiten = AB, b = v. Chr., c = CD und d = DA. Die Diagonalen sind p = AC und q = BD, und der Winkel zwischen ihnen ist θ. Der Halbumfang s wird als definiert

:.

Gebiet eines konvexen Vierseits

Es gibt verschiedene allgemeine Formeln für Gebiet K eines konvexen Vierseits.

Das Verwenden der Trigonometrie

Das Gebiet kann in trigonometrischen Begriffen als ausgedrückt werden

:

wo die Längen der Diagonalen p und q sind und der Winkel zwischen ihnen θ ist. Im Fall von einem orthodiagonal Vierseit (z.B Rhombus, Quadrat und Flugdrache), nimmt diese Formel dazu ab, da θ 90 ° ist.

Die Formel von Bretschneider drückt das Gebiet in Bezug auf die Seiten und die zwei entgegengesetzten Winkel aus:

:

K &= \sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - \tfrac {1} {2} abcd \; [1 + \cos (+ C)]} \\

&= \sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - abcd \left [\cos^2 \left (\tfrac {+ C} {2} \right) \right]} \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo die Seiten in der Folge a, b, c, d sind, wo s der Halbumfang ist, und A und C zwei (tatsächlich, irgendwelche zwei) entgegengesetzte Winkel sind. Das nimmt zur Formel von Brahmagupta für das Gebiet eines zyklischen Vierseits wenn A+C = 180 ° ab.

Eine andere Bereichsformel in Bezug auf die Seiten und Winkel, mit dem Winkel C, zwischen Seiten b und c und A seiend, der zwischen Seiten a und d ist, ist

:

Im Fall von einem zyklischen Vierseit wird die letzte Formel

In einem Parallelogramm, wo sowohl Paare von Gegenseiten als auch Winkel gleich sind, nimmt diese Formel zu ab

Wechselweise können wir schreiben, dass das Gebiet in Bezug auf die Seiten und die Kreuzung θ der Diagonalen umbiegen, so lange dieser Winkel nicht 90 ° ist:

:

Im Fall von einem Parallelogramm wird die letzte Formel

Nichttrigonometrische Formeln

Die folgenden Formeln drücken das Gebiet in Bezug auf die Seiten und Diagonalen aus:

:

K &= \sqrt {(s-a) (s-b) (s-c) (s-d) - \tfrac {1} {4} (ac+bd+pq) (ac+bd-pq)} \\

&= \frac {1} {4} \sqrt {4p^ {2} q^ {2} - \left (a^ {2} +c^ {2}-b^ {2}-d^ {2} \right) ^ {2}}, \\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo p und q die Diagonalen sind. Wieder nimmt das zur Formel von Brahmagupta im zyklischen vierseitigen Fall, seitdem pq = ac + bd ab.

Das Gebiet kann auch in Bezug auf die bimedians M und n, und die Diagonalen p und q als, ausgedrückt werden

:

oder,

:

Das Verwenden von Vektoren

Das Gebiet eines Vierseits ABCD kann mit Vektoren berechnet werden. Lassen Sie Vektoren AC und BD bilden die Diagonalen von bis C und von B bis D. Das Gebiet des Vierseits ist dann

:

der der Umfang des Kreuzproduktes von Vektoren AC und BD ist. Im zweidimensionalen Euklidischen Raum, Vektoren AC als ein freier Vektor im Kartesianischen Raum ausdrückend, der (x, y) und BD als (x, y) gleich ist, kann das als umgeschrieben werden:

:

Bereichsungleichheit

Wenn ein konvexes Vierseit die Konsekutivseiten a, b, c, d und die Diagonalen p, q hat, dann befriedigt sein Gebiet K

: mit der Gleichheit nur für ein Rechteck.

: mit der Gleichheit nur für ein Quadrat.

: mit der Gleichheit nur, wenn die Diagonalen rechtwinklig und gleich sind.

Von der Formel von Bretschneider folgt es direkt dem das Gebiet eines Vierseits befriedigt

:

mit der Gleichheit wenn, und nur wenn das Vierseit zyklisch ist oder degenerierte solch, dass eine Seite der Summe der anderen drei gleich ist (ist es in ein Liniensegment zusammengebrochen, so ist das Gebiet Null).

Diagonalen

Die Länge der Diagonalen in einem konvexen Vierseit ABCD kann mit dem Gesetz von Kosinus berechnet werden. So

:und:

Anderer, mehr symmetrische Formeln für die Länge der Diagonalen, sind

:und:

In jedem konvexen Vierseit ABCD ist die Summe der Quadrate der vier Seiten der Summe der Quadrate der zwei Diagonalen plus viermal das Quadrat des Liniensegmentes gleich, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet. So

:

wo x die Entfernung zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen ist. Das ist manchmal als der vierseitige Lehrsatz von Euler bekannt und ist eine Generalisation des Parallelogramm-Gesetzes.

Euler hat auch den Lehrsatz von Ptolemy verallgemeinert, der eine Gleichheit in einem zyklischen Vierseit in eine Ungleichheit für ein konvexes Vierseit ist. Es setzt das fest

:

wo es Gleichheit gibt, wenn, und nur wenn das Vierseit zyklisch ist. Das wird häufig die Ungleichheit von Ptolemy genannt.

Der deutsche Mathematiker Carl Anton Bretschneider abgeleitet 1842 die folgende Generalisation des Lehrsatzes von Ptolemy, bezüglich des Produktes der Diagonalen in einem konvexen Vierseit

:Wie man

betrachten kann, ist diese Beziehung ein Gesetz von Kosinus für ein Vierseit. In einem zyklischen Vierseit, wo + C = 180 °, es zu pq = ac + bd abnimmt. Seitdem, weil (+ C) -1 es auch einen Beweis der Ungleichheit von Ptolemy gibt.

In einem konvexen Vierseit ABCD mit Seiten = AB, b = v. Chr., c = CD, d = DA, und wo sich die Diagonalen an E, schneiden

:

wo e = AE, f =, g = CE und h = DE SEIN.

Bimedians

Die Mittelpunkte der Seiten eines Vierseits sind die Scheitelpunkte eines Parallelogramms genannt das Parallelogramm von Varignon. Die Seiten in diesem Parallelogramm sind Hälfte der Längen der Diagonalen des ursprünglichen Vierseits, das Gebiet des Parallelogramms von Varignon kommt Hälfte des Gebiets des ursprünglichen Vierseits gleich, und der Umfang des Parallelogramms von Varignon kommt der Summe der Diagonalen des ursprünglichen Vierseits gleich. Die Diagonalen des Parallelogramms von Varignon sind der bimedians des ursprünglichen Vierseits.

Die zwei bimedians in einem Vierseit und dem Liniensegment, das sich den Mittelpunkten der Diagonalen in diesem Vierseit anschließt, sind gleichzeitig und werden alle durch ihren Punkt der Kreuzung halbiert.

In einem konvexen Vierseit mit Seiten a, b, c und d, ist die Länge des bimedian, der die Mittelpunkte der Seiten a und c verbindet

:

wo p und q die Länge der Diagonalen sind. Die Länge des bimedian, der die Mittelpunkte der Seiten b und d verbindet, ist

:

Folglich

:

Das ist auch eine Folgeerscheinung zum im Parallelogramm von Varignon angewandten Parallelogramm-Gesetz.

Die Länge des bimedians kann auch in Bezug auf zwei Gegenseiten und die Entfernung x zwischen den Mittelpunkten der Diagonalen ausgedrückt werden. Das ist möglich, wenn es den vierseitigen Lehrsatz von Euler in den obengenannten Formeln verwendet. Woher

:und:

Bemerken Sie, dass die zwei Gegenseiten in diesen Formeln nicht die zwei sind, die der bimedian verbindet.

In einem konvexen Vierseit gibt es die folgende Doppelverbindung zwischen dem bimedians und den Diagonalen:

• Die zwei bimedians haben gleiche Länge, wenn, und nur wenn die zwei Diagonalen rechtwinkliger sind
• Die zwei bimedians sind rechtwinklig, wenn, und nur wenn die zwei Diagonalen gleiche Länge haben

Maximale und minimale Eigenschaften

Unter allen Vierseiten mit einem gegebenen Umfang ist derjenige mit dem größten Gebiet das Quadrat. Das wird den isoperimetric Lehrsatz nach Vierseiten genannt. Es ist eine direkte Folge der Bereichsungleichheit

:

wo K das Gebiet eines konvexen Vierseits mit dem Umfang L ist. Gleichheit hält, ob, und nur wenn das Vierseit ein Quadrat ist. Der Doppellehrsatz setzt den aller Vierseite mit einem gegebenen Gebiet fest, das Quadrat hat den kürzesten Umfang.

Das Vierseit mit gegebenen Seitenlängen, das das maximale Gebiet hat, ist das zyklische Vierseit.

Aller konvexen Vierseite mit gegebenen Diagonalen hat das orthodiagonal Vierseit das größte Gebiet. Das ist eine direkte Folge der Tatsache, dass das Gebiet eines konvexen Vierseits befriedigt

:

wo θ der Winkel zwischen den Diagonalen p und q ist. Gleichheit hält wenn und nur wenn θ = 90 °.

Wenn P ein Innenpunkt in einem konvexen Vierseit ABCD, dann ist

:

Von dieser Ungleichheit, hieraus folgt dass der Punkt innerhalb eines Vierseits, das die Summe von Entfernungen zu den Scheitelpunkten minimiert, die Kreuzung der Diagonalen ist. Folglich ist dieser Punkt der Punkt von Fermat eines konvexen Vierseits.

Bemerkenswerte Punkte und Linien in einem konvexen Vierseit

Das Zentrum eines Vierseits kann auf mehrere verschiedene Weisen definiert werden. Der "Scheitelpunkt centroid" kommt daraus, das Vierseit als seiend leere, aber habende gleiche Massen an seinen Scheitelpunkten zu betrachten. Die "Seite centroid" kommt daraus zu denken, dass die Seiten unveränderliche Masse pro Einheitslänge haben. Das übliche Zentrum, genannt gerade centroid (Zentrum des Gebiets) kommt daraus, die Oberfläche des Vierseits zu denken, als, unveränderliche Dichte zu haben. Diese drei Punkte sind im Allgemeinen nicht gleich viel weisen hin. Der "Scheitelpunkt centroid" ist die Kreuzung der zwei bimedians. Das "Gebiet centroid" des Vierseits ABCD kann folgendermaßen gebaut werden. Lassen Sie G, G, G, G der centroids von Dreiecken BCD, ACD, ABD, Abc beziehungsweise sein. Dann ist das "Gebiet centroid" die Kreuzung der Linien GG und GG.

In einem allgemeinen konvexen Vierseit ABCD gibt es keine natürlichen Analogien zum circumcenter und orthocenter eines Dreiecks. Aber zwei solche Punkte können folgendermaßen gebaut werden. Lassen Sie O, O, O, O der circumcenters von Dreiecken BCD, ACD, ABD, Abc beziehungsweise sein; und zeigen Sie durch H, H, H, H der orthocenters in denselben Dreiecken an. Dann wird die Kreuzung der Linien OO und OO den quasicircumcenter genannt; und die Kreuzung der Linien HH und HH wird den quasiorthocenter des konvexen Vierseits genannt. Diese Punkte können verwendet werden, um eine Linie von Euler eines Vierseits zu definieren. In einem konvexen Vierseit sind die quasiorthocenter H, das "Gebiet centroid" G und der quasicircumcenter O collinear in dieser Ordnung und HG = 2GO.

Dort kann auch ein Quasinine-Punkt-Zentrum E als die Kreuzung der Linien EE und EE definiert werden, wo E, E, E, E die Neun-Punkte-Zentren von Dreiecken BCD, ACD, ABD, Abc beziehungsweise sind. Dann ist E der Mittelpunkt OH.

Eine andere bemerkenswerte Linie in einem konvexen Vierseit ist die Linie von Newton.

Andere Eigenschaften von konvexen Vierseiten

• Lassen Sie Außenquadrate alle Seiten eines Vierseits angezogen werden. Die Segmente, die die Zentren von entgegengesetzten Quadraten verbinden, sind gleich in der Länge und (b) Senkrechte (a). So sind diese Zentren die Scheitelpunkte eines orthodiagonal Vierseits. Das wird den Lehrsatz von Van Aubel genannt.
• Die inneren Winkelhalbierungslinien eines konvexen Vierseits entweder bilden ein zyklisches Vierseit, oder sie sind gleichzeitig, in welchem Fall das Vierseit ein tangentiales Vierseit ist.
• Für jedes einfache Vierseit mit gegebenen Rand-Längen gibt es ein zyklisches Vierseit mit denselben Rand-Längen.

Taxonomie

Eine Taxonomie von Vierseiten wird durch den folgenden Graphen illustriert. Niedrigere Formen sind spezielle Fälle von höheren Formen. Bemerken Sie, dass sich "Trapez" hier auf die britische Definition bezieht (die nordamerikanische Entsprechung ist ein Trapezoid), und "Flugdrache" schließt den konkaven Flugdrachen (Pfeilspitze oder Wurfpfeil) aus. Einschließliche Definitionen werden überall verwendet.

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Siehe auch

• Vierseit von Bicentric
• Ganzes Viereck
• Zyklisches Vierseit
• Vierseit von Equidiagonal
• Ex-tangentiales Vierseit
• Gleichschenkliges Trapezoid
• Flugdrache
• Vierseit von Orthodiagonal
• Parallelogramm
• Rechteck
• Rhombus
• Quadrat
• Tangentiales Vierseit
• Tangentiales Trapezoid
• Trapezoid

Links

• Kompendium-Geometrie analytische Geometrie von Vierseiten
• Vierseite, die durch Rechtwinklige Halbierungslinien, Projektiven Collinearity und Interaktive Klassifikation von Vierseiten von der Knoten-Kürzung gebildet sind
• Definitionen und Beispiele von Vierseiten und Definition und Eigenschaften von Vierecken von Mathopenref
• Ein (dynamischer) hierarchischer vierseitiger Baum an dynamischen Geometrie-Skizzen
• Eine verlängerte Klassifikation von Vierseiten an der Dynamischen Mathelerneinstiegsseite
• Vierseitige Venn-Diagramm-Vierseite haben in der Form eines Venn-Diagramms ausgedrückt, wo die Gebiete auch die Gestalt des Vierseits sind, beschreiben sie.
• Die Rolle und Funktion einer hierarchischen Klassifikation von Vierseiten durch Michael de Villiers