In der geradlinigen Algebra, dem adjugate oder klassischem adjoint einer Quadratmatrix ist eine Matrix, die eine dem Gegenteil einer Matrix ähnliche Rolle spielt; es kann jedoch für jede Quadratmatrix ohne das Bedürfnis definiert werden, irgendwelche Abteilungen durchzuführen.

Der adjugate ist manchmal den "adjoint" genannt worden, aber diese Fachsprache ist zweideutig. Heute, "adjoint" einer Matrix bezieht sich normalerweise auf seinen entsprechenden adjoint Maschinenbediener, der sein verbundenes ist, stellen um.

Definition

Nehmen Sie an, dass R ein Ersatzring ist und A eine n×n Matrix mit Einträgen von R ist. Die Definition des adjugate von A ist ein Mehrschritt-Prozess:

• Definieren Sie (ich, j) gering von A, angezeigter M, als die Determinante (n  1) × (n  1) Matrix, die sich aus dem Löschen der Reihe i und Spalte j von A ergibt.
• Definieren Sie (ich, j) cofactor von als

::

• Definieren Sie die cofactor Matrix von A, als die n×n Matrix C, dessen (ich j) Zugang (ich, j) cofactor von A. ist

Der adjugate von A ist das Umstellen der cofactor Matrix von A:

:.

D. h. der adjugate von A ist die n×n Matrix, deren (ich j) Zugang (j, i) cofactor von A ist:

:.

Beispiele

2 × 2 allgemeine Matrix

Der adjugate der 2 × 2 Matrix

:

ist

:.

3 × 3 allgemeine Matrix

Denken Sie die Matrix

:

\mathbf = \begin {pmatrix }\

A_ {11} & A_ {12} & A_ {13} \\

A_ {21} & A_ {22} & A_ {23} \\

A_ {31} & A_ {32} & A_ {33 }\

\end {pmatrix }\

\begin {pmatrix }\

1 & 2 & 3 \\

4 & 5 & 6 \\

7 & 8 & 9

\end {pmatrix} </Mathematik>

Sein adjugate ist das Umstellen der cofactor Matrix

:

\mathbf {C} = \begin {pmatrix}

+ \left | \begin {matrix}-A_ {22} & A_ {23} \\A_ {32} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {matrix}-A_ {21} & A_ {23} \\A_ {31} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {matrix}-A_ {21} & A_ {22} \\A_ {31} & A_ {32} \end {Matrix} \right | \\

& & \\

- \left | \begin {matrix}-A_ {12} & A_ {13} \\A_ {32} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {13} \\A_ {31} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {12} \\A_ {31} & A_ {32} \end {Matrix} \right | \\

& & \\

+ \left | \begin {matrix}-A_ {12} & A_ {13} \\A_ {22} & A_ {23} \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {13} \\A_ {21} & A_ {23} \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {12} \\A_ {21} & A_ {22} \end {Matrix} \right|

\end {pmatrix} = \begin {pmatrix}

+ \left | \begin {Matrix} 5 & 6 \\8 & 9 \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {Matrix} 4 & 6 \\7 & 9 \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {Matrix} 4 & 5 \\7 & 8 \end {Matrix} \right | \\

& & \\

- \left | \begin {Matrix} 2 & 3 \\8 & 9 \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {Matrix} 1 & 3 \\7 & 9 \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {Matrix} 1 & 2 \\7 & 8 \end {Matrix} \right | \\

& & \\

+ \left | \begin {Matrix} 2 & 3 \\5 & 6 \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {Matrix} 1 & 3 \\4 & 6 \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {Matrix} 1 & 2 \\4 & 5 \end {Matrix} \right|

\end {pmatrix} </Mathematik>

So dass wir haben

:

\operatorname {Adjektiv} (\mathbf) = \begin {pmatrix}

+ \left | \begin {matrix}-A_ {22} & A_ {23} \\A_ {32} & A_ {33} \end {Matrix} \right | &

- \left | \begin {matrix}-A_ {12} & A_ {13} \\A_ {32} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {matrix}-A_ {12} & A_ {13} \\A_ {22} & A_ {23} \end {Matrix} \right | \\

& & \\

- \left | \begin {matrix}-A_ {21} & A_ {23} \\A_ {31} & A_ {33} \end {Matrix} \right |

& + \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {13} \\A_ {31} & A_ {33} \end {Matrix} \right | &

- \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {13} \\A_ {21} & A_ {23} \end {Matrix} \right | \\

& & \\

+ \left | \begin {matrix}-A_ {21} & A_ {22} \\A_ {31} & A_ {32} \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {12} \\A_ {31} & A_ {32} \end {Matrix} \right |

& + \left | \begin {matrix}-A_ {11} & A_ {12} \\A_ {21} & A_ {22} \end {Matrix} \right|\end {pmatrix} = \begin {pmatrix}+ \left | \begin {Matrix} 5 & 6 \\8 & 9 \end {Matrix} \right | &

- \left | \begin {Matrix} 2 & 3 \\8 & 9 \end {Matrix} \right |

&

+ \left | \begin {Matrix} 2 & 3 \\5 & 6 \end {Matrix} \right | \\

& & \\

- \left | \begin {Matrix} 4 & 6 \\7 & 9 \end {Matrix} \right |

& + \left | \begin {Matrix} 1 & 3 \\7 & 9 \end {Matrix} \right | &

- \left | \begin {Matrix} 1 & 3 \\4 & 6 \end {Matrix} \right | \\

& & \\

+ \left | \begin {Matrix} 4 & 5 \\7 & 8 \end {Matrix} \right |

&

- \left | \begin {Matrix} 1 & 2 \\7 & 8 \end {Matrix} \right |

& + \left | \begin {Matrix} 1 & 2 \\4 & 5 \end {Matrix} \right|\end {pmatrix }\</Mathematik>wo:

\det\left (\begin {matrix}-A_ {im} & A_ {in} \\\, \, A_ {jm} & A_ {jn} \end {Matrix} \right) </Mathematik>.

Deshalb ist C, der adjugate von A,

:

\mathbf {C} = \begin {pmatrix }\

- 3 & 6 &-3 \\

6 &-12 & 6 \\

- 3 & 6 &-3

\end {pmatrix} </Mathematik>

Bemerken Sie, dass der adjugate das Umstellen der cofactor Matrix ist. So, zum Beispiel, (3,2) ist der Zugang des adjugate (2,3) cofactor von A.

3 × 3 numerische Matrix

Als ein spezifisches Beispiel haben wir

:

\!-3 & \, 2 & \!-5 \\

\!-1 & \, 0 & \!-2 \\

\3 & \!-4 & \, 1

\end {pmatrix} =

\begin {pmatrix }\

\!-8 & \, 18 & \!-4 \\

\!-5 & \! 12 & \,-1 \\

\4 & \!-6 & \, 2

\end {pmatrix }\</Mathematik>.

Die 6 in der dritten Reihe, die zweite Säule des adjugate wurde wie folgt geschätzt:

:

Wieder (3,2) ist der Zugang des adjugate (2,3) cofactor von A. So, die Submatrix

:

wurde durch das Löschen der zweiten Reihe und der dritten Säule der ursprünglichen Matrix A erhalten.

Anwendungen

Demzufolge der Formel von Laplace für die Determinante einer n×n Matrix A haben wir

:

wo die n×n Identitätsmatrix ist. Tatsächlich, (ich, i) Zugang des Produktes ist Ein Adjektiv (A) das Skalarprodukt der Reihe i mit der Reihe i der cofactor Matrix C, der einfach die Formel von Laplace für det (A) ausgebreitet durch die Reihe i ist. Außerdem, weil ich  j (ich, j) der Zugang des Produktes das Skalarprodukt der Reihe i mit der Reihe j von C ist, der die Formel von Laplace für die Determinante einer Matrix ist, deren ich und j Reihen gleich sind und deshalb Null ist.

Von dieser Formel folgt einem der wichtigsten Ergebnisse in der Matrixalgebra: Eine Matrix über einen Ersatzring R ist invertible, wenn, und nur wenn det (A) invertible in R ist.

Weil, wenn A eine invertible Matrix dann ist

:

und wenn det (A) eine Einheit dann (*) über Shows das ist

:

Siehe auch die Regierung von Cramer.

Eigenschaften

Der adjugate hat die Eigenschaften

::

für den ganzen n×n matrices A und B.

Der adjugate bewahrt Umstellung:

:.

Außerdem

:

Wenn p (t) = det (Ein  t I) das charakteristische Polynom von A ist und wir das Polynom q (t) = (p (0)  p (t))/t, dann definieren

:

wo die Koeffizienten von p (t), sind

:

Der adjugate erscheint auch in der Formel von Jacobi für die Ableitung der Determinante:

:

Links

• Matrixbedienungshandbuch
• Online-Matrixrechenmaschine (Determinante, Spur, stellt Gegenteil, adjoint, um), Schätzt Adjugate Matrix bis zum Auftrag 8