In der Mathematik stellen die verbundenen um, Hermitian, stellen Hermitian um die verbundene oder adjoint Matrix einer m-by-n Matrix mit komplizierten Einträgen ist die n durch M Matrix Ein erhaltener bei durch die Einnahme des Umstellens und dann die Einnahme des Komplexes, der jedes Zugangs (d. h., das Verneinen ihrer imaginären Teile, aber nicht ihrer echten Teile) verbunden ist. Die verbundenen stellen um wird durch formell definiert

wo die Subschriften mich, j-th Zugang, für 1 &le anzeigen; ich ≤ n und 1 ≤ j ≤ M und die Überbar zeigen einen verbundenen Skalarkomplex an. (Der Komplex, der dessen verbunden ist, wo a und b reals sind, ist.)

Diese Definition kann auch als geschrieben werden

wo das Umstellen anzeigt und anzeigt, dass die Matrix mit dem Komplex Einträge konjugiert hat.

Andere Namen für das verbundene stellen von einer Matrix um sind Hermitian verbunden, oder transjugate. Die verbundenen stellen einer Matrix A um kann durch einige dieser Symbole angezeigt werden:

• oder, allgemein verwendet in der geradlinigen Algebra

• (manchmal ausgesprochen "Ein Dolch"), allgemein verwendet in der Quant-Mechanik

• obwohl dieses Symbol für das Pseudogegenteil von Moore-Penrose allgemeiner verwendet wird

In einigen Zusammenhängen, zeigt an, dass die Matrix mit dem Komplex Einträge konjugiert hat, und so die verbundenen umstellen, wird durch angezeigt oder.

Beispiel

Wenn

dann

Grundlegende Bemerkungen

Eine Quadratmatrix mit Einträgen wird genannt

• Hermitian oder selbst adjungiert wenn = A, d. h..
• verdrehen Sie Hermitian oder antihermitian wenn = −A, d. h..
• normal wenn AA = AA.
• einheitlich wenn = A.

Selbst wenn A nicht quadratisch ist, sind die zwei matrices AA und AA sowohl Hermitian als auch tatsächlich positiver halbbestimmter matrices.

Die adjoint Matrix A sollte mit dem adjugate Adjektiv (A) nicht verwirrt sein (der auch manchmal "adjoint" genannt wird).

Entdeckung des verbundenen stellt von einer Matrix mit echten Einträgen um nimmt zur Entdeckung des Umstellens von A ab, weil die verbundene von einer reellen Zahl die Zahl selbst ist.

Motivation

Die verbundenen stellen um kann durch die Anmerkung motiviert werden, dass komplexe Zahlen durch 2×2 echter matrices nützlich vertreten werden können, Matrixhinzufügung und Multiplikation folgend:

D. h. jede komplexe Zahl z durch das echte 2×2 Matrix der geradlinigen Transformation auf dem Diagramm von Argand (angesehen als der echte Vektorraum) betroffen durch die komplizierte Z-Multiplikation darauf anzeigend.

Eine m-by-n Matrix von komplexen Zahlen konnte deshalb durch eine 2m-by-2n Matrix von reellen Zahlen ebenso gut vertreten werden. Die verbundenen stellen um deshalb entsteht sehr natürlich als das Ergebnis, einfach solch eine Matrix, wenn angesehen, zurück wieder als n durch M aus komplexen Zahlen zusammengesetzte Matrix umzustellen.

Eigenschaften des verbundenen stellen um

• (+ B) = + B für irgendwelche zwei matrices A und B derselben Dimensionen.
• (r A) = rA für jede komplexe Zahl r und jede Matrix A. Hier bezieht sich r auf den von r verbundenen Komplex.
• (AB) = BA für jede m-by-n Matrix A und jede n-by-p Matrix B. Bemerken Sie, dass die Ordnung der Faktoren umgekehrt wird.
• (A) = für jede Matrix A.
• Wenn A eine Quadratmatrix, dann det (A) = (det A) und tr (A) = (tr) ist
• A ist invertible, wenn, und nur wenn A invertible, und in diesem Fall ist, wir (A) = (A) haben.
• Die eigenvalues von A sind der Komplex paart sich vom eigenvalues von A.

• für jede m-by-n Matrix A, jeder Vektor x in und jeder Vektor y darin. Hier zeigt das komplizierte Standardskalarprodukt auf an und.

Generalisationen

Das letzte über Shows gegebene Eigentum dass, wenn man als eine geradlinige Transformation vom Euklidischen Hilbert Raum bis ansieht, dann entspricht die Matrix A dem adjoint Maschinenbediener von A. Das Konzept von adjoint Maschinenbedienern zwischen Räumen von Hilbert kann so als eine Generalisation des verbundenen gesehen werden stellen matrices um.

Eine andere Generalisation ist verfügbar: Nehmen Sie an, dass A eine geradlinige Karte von einem komplizierten Vektorraum V zu einem anderen W ist, dann konjugiert der Komplex geradlinige Karte, sowie die umgestellte geradlinige Karte werden definiert, und wir können so das verbundene nehmen stellen um, um der Komplex zu sein, der des Umstellens von A verbunden ist. Es stellt den verbundenen Doppel-von W zu den verbundenen Doppel-von V kartografisch dar.

Siehe auch

• Hermitian konjugieren
• Matrix von Adjugate

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