:This-Artikel ist über das Umstellen einer Matrix. Für anderen Gebrauch, sieh Umstellung

In der geradlinigen Algebra ist das Umstellen einer Matrix A eine andere Matrix (auch schriftlich A′ A oder A) geschaffen durch irgendwelche der folgenden gleichwertigen Handlungen:

• denken Sie über seine Hauptdiagonale nach (der spitzenverlassen zum untersten Recht läuft), Einen zu erhalten
• schreiben Sie die Reihen als die Säulen Eines
• schreiben Sie die Säulen als die Reihen Eines

Formell ist die ith Reihe, jth Säulenelement von A die jth Reihe, ith Säulenelement von A:

:

Wenn A eine M × n ist, Matrix dann ist A ein n × M Matrix.

Beispiele

1 & 2 \end {bmatrix} ^ {\\mathrm {T}} \! \! \; \!

\

\begin {bmatrix }\

1 \\

2 \end {bmatrix}.

</Mathematik>

1 & 2 \\

3 & 4 \end {bmatrix} ^ {\\mathrm {T}} \! \! \; \!

\

\begin {bmatrix }\

1 & 3 \\

2 & 4 \end {bmatrix}.

</Mathematik>\begin {bmatrix }\

1 & 2 \\

3 & 4 \\

5 & 6 \end {bmatrix} ^ {\\mathrm {T}} \! \! \; \!

\

\begin {bmatrix }\

1 & 3 & 5 \\

2 & 4 & 6 \end {bmatrix}. \;

</Mathematik>

Eigenschaften

Für matrices A B und Skalar c haben wir die folgenden Eigenschaften dessen stellen Sie um:

:Taking das Umstellen ist eine Involution (selbst Gegenteil).

:The stellen Hinsicht-Hinzufügung um.

:Note dass die Ordnung der Faktor-Rückseiten. Von diesem kann ableiten, dass eine Quadratmatrix A invertible ist, wenn, und nur wenn A invertible, und in diesem Fall ist, wir (A) = (A) haben. Durch die Induktion streckt sich dieses Ergebnis bis zu den allgemeinen Fall von vielfachem matrices aus, wo wir das finden (AA... AA) = AA... AA.

:The stellen von einem Skalar um ist derselbe Skalar. Zusammen mit (2) stellt das fest, dass das Umstellen eine geradlinige Karte vom Raum der M × n matrices zum Raum des ganzen n × M matrices ist.

Die:The-Determinante einer Quadratmatrix ist dasselbe als dieser von seinem stellen Sie um.

:

der als a b in der Notation von Einstein geschrieben wird.

: Das Umstellen einer invertible Matrix ist auch invertible, und sein Gegenteil ist das Umstellen des Gegenteils der ursprünglichen Matrix. Die Notation A wird häufig verwendet, um jeden dieser gleichwertigen Ausdrücke zu vertreten.

</ol>

Speziell stellen matrices um

Eine Quadratmatrix, deren umstellen, ist sich gleich wird eine symmetrische Matrix genannt; d. h. A ist wenn symmetrisch

:

Eine Quadratmatrix, deren umstellen, ist seiner Verneinung gleich wird genannt verdrehen - symmetrische Matrix; d. h. A ist verdrehen - symmetrisch wenn

:

Die verbundenen stellen von der komplizierten Matrix A, schriftlich als A um, wird durch die Einnahme des Umstellens von A und dem jedes Zugangs verbundenen Komplex erhalten:

:

Eine Quadratmatrix, deren umstellen, ist auch sein Gegenteil wird eine orthogonale Matrix genannt; d. h. G ist wenn orthogonal

: die Identitätsmatrix, d. h. G = G.

Stellen Sie von geradlinigen Karten um

Wenn f: VW ist eine geradlinige Karte zwischen Vektorräumen V und W mit nichtdegenerierten bilinearen Formen, wir definieren das Umstellen von f, um die geradlinige Karte f zu sein: WV, der durch bestimmt ist

:

Hier sind B und B die bilinearen Formen auf V und W beziehungsweise. Die Matrix des Umstellens einer Karte ist die umgestellte Matrix nur, wenn die Basen in Bezug auf ihre bilinearen Formen orthonormal sind.

Über einen komplizierten Vektorraum arbeitet man häufig mit Sesquilinear-Formen statt des bilinearen (verbunden-geradlinig in einem Argument). Das Umstellen einer Karte zwischen solchen Räumen wird ähnlich definiert, und die Matrix der umstellen Karte wird durch das verbundene gegeben stellen Matrix um, wenn die Basen orthonormal sind. In diesem Fall wird das Umstellen auch Hermitian adjoint genannt.

Wenn V und W bilineare Formen, dann das Umstellen einer geradlinigen Karte f nicht haben: VW wird nur als eine geradlinige Karte definiert

f: WV zwischen den Doppelräumen von W und V.

Das bedeutet, dass das Umstellen (und sogar die orthogonale Gruppe) abstrakt, und völlig ohne Berücksichtigung matrices (noch die Bestandteile davon) definiert werden kann. Wenn f: VW dann für jeden o: WF (d. h. jeder o, der W * gehört), wenn f (o) als o zusammengesetzt mit f dann definiert wird, wird es VF kartografisch darstellen (d. h. wird f W* zu V * kartografisch darstellen). Wenn die Vektorräume Metrik dann haben, kann V* zu V, usw., solch einzigartig kartografisch dargestellt werden, dass wir ungeachtet dessen ob f sofort in Betracht ziehen können: WV ist f gleich: WV.

Als eine Schnellschrift für die Zusammenziehung mit dem metrischen Tensor

Einleitende geradlinige Algebra unterscheidet allgemein zwischen dem Begriff eines Vektoren und einem Doppelvektoren nicht. Sobald diese Unterscheidung gemacht wird, scheinen viele allgemeine Ausdrücke, Vektoren frei umzustellen, um Doppelvektoren in der scheinbaren Missachtung für die Unterscheidung zu schaffen. Zum Beispiel ist das im Definieren des Skalarprodukts als der Fall

:.

Was weitergeht, ist hier das ist eine notational Abkürzung für die Tensor-Zusammenziehung mit dem metrischen Tensor. Mit der Summierungstagung von Einstein, mit regelmäßigen (kontravarianten) Vektoren, die obere Indizes haben, schätzt das

:

mit dem metrischen Tensor für das Euklidische metrische, das das Delta von Kronecker ist. Mit anderen Worten ist die Notation, um einen Doppelvektoren zu schaffen, wirklich Schnellschrift:

:.

in der Annahme, dass.

Durchführung der Matrixumstellung auf Computern

Auf einem Computer kann man häufig ausführlich vermeiden, eine Matrix im Gedächtnis umzustellen, indem man einfach auf dieselben Daten in einer verschiedenen Ordnung zugreift. Zum Beispiel stellen Softwarebibliotheken für die geradlinige Algebra, wie BLAS, normalerweise Optionen zur Verfügung anzugeben, dass bestimmte matrices in der umgestellten Ordnung interpretiert werden sollen, die Notwendigkeit des Datenflusses zu vermeiden.

Jedoch dort bleiben Sie mehrere Verhältnisse, in denen es notwendig oder wünschenswert ist, eine Matrix im Gedächtnis zu seiner umgestellten Einrichtung physisch wiederzubestellen. Zum Beispiel, mit einer in der mit der Reihe größeren Ordnung versorgten Matrix, sind die Reihen der Matrix im Gedächtnis aneinander grenzend, und die Säulen sind discontiguous. Wenn wiederholte Operationen auf den Säulen durchgeführt werden müssen, zum Beispiel in einem schnellen Fourier gestalten Algorithmus um, das Umstellen der Matrix im Gedächtnis (um die Säulen aneinander grenzend zu machen), kann Leistung durch die Erhöhung der Speichergegend verbessern.

Ideal könnte man hoffen, eine Matrix mit der minimalen zusätzlichen Lagerung umzustellen. Das führt zum Problem, einen n &times umzustellen; M Matrix im Platz, mit O (1) zusätzliche Lagerung oder beim grössten Teil der Lagerung viel weniger als mn. Für n  M schließt das eine komplizierte Versetzung der Datenelemente ein, die nichttrivial ist, um im Platz durchzuführen. Deshalb ist effiziente Matrixumstellung im Platz das Thema von zahlreichen Forschungsveröffentlichungen in der Informatik gewesen, gegen Ende der 1950er Jahre anfangend, und mehrere Algorithmen sind entwickelt worden.

Siehe auch

• Matrix von Invertible
• Pseudogegenteil von Moore-Penrose
• Vorsprung (geradlinige Algebra)

Links

• MIT geradliniger Algebra-Vortrag auf der Matrix stellt um
• Stellen Sie mathworld.wolfram.com um
• Stellen Sie planetmath.org um
• Die Khan-Akademie-Einführung in die Matrix stellt um