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Kompliziertes Flugzeug

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In der Mathematik, dem komplizierten Flugzeug oder z-plane' ist eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen, die durch die echte Achse und die orthogonale imaginäre Achse gegründet sind. Davon kann als ein modifiziertes Kartesianisches Flugzeug mit dem echten Teil einer komplexen Zahl gedacht werden, die durch eine Versetzung entlang der X-Achse und den imaginären Teil durch eine Versetzung entlang der Y-Achse vertreten ist.

Das Konzept des komplizierten Flugzeugs erlaubt eine geometrische Interpretation von komplexen Zahlen. Unter der Hinzufügung tragen sie wie Vektoren bei. Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen kann am leichtesten in Polarkoordinaten ausgedrückt werden - der Umfang oder das Modul des Produktes sind das Produkt der zwei absoluten Werte oder Module, und der Winkel oder das Argument des Produktes sind die Summe der zwei Winkel oder Argumente. Insbesondere Multiplikation durch eine komplexe Zahl des Moduls 1 Taten als eine Folge.

Das komplizierte Flugzeug wird manchmal das Flugzeug von Argand genannt, weil es in Diagrammen von Argand verwendet wird. Diese werden nach Jean-Robert Argand (1768-1822) genannt, obwohl sie zuerst vom norwegisch-dänischen Landvermesser und Mathematiker Caspar Wessel (1745-1818) beschrieben wurden. Diagramme von Argand werden oft verwendet, um die Positionen der Pole und zeroes einer Funktion im komplizierten Flugzeug zu planen.

Vereinbarung von Notational

In der komplizierten Analyse werden die komplexen Zahlen gewöhnlich durch das Symbol z vertreten, der in sein echtes (x) und imaginäre (y) Teile, wie das getrennt werden kann:

z = x + iy \,

</Mathematik>

zum Beispiel: z = 4 + i5,

wo x und y reelle Zahlen sind, und ich die imaginäre Einheit bin. In dieser üblichen Notation entspricht die komplexe Zahl z dem Punkt (x, y) im Kartesianischen Flugzeug.

Im Kartesianischen Flugzeug kann der Punkt (x, y) auch in Polarkoordinaten als vertreten werden

(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta) \qquad (r, \theta) = \left (\sqrt {x^2+y^2}, \quad \arctan\frac {y} {x }\\Recht). \,

</Mathematik>

Im Kartesianischen Flugzeug kann es angenommen werden, dass der arctangent Werte von −/2 bis π/2 (in radians) nimmt, und etwas Sorge genommen werden muss, um die echte Arctangent-Funktion für Punkte (x, y) wenn x 0 zu definieren. Im komplizierten Flugzeug nehmen diese Polarkoordinaten die Form an

z = x + iy = |z |\left (\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^ {i\theta }\\,

</Mathematik>

|z | = \sqrt {x^2+y^2}; \quad \theta = \arg (z) = \frac {1} {ich }\\ln\frac {z} =-i\ln\frac {z}. \,

</Mathematik>

Hier ist |z der absolute Wert oder das Modul der komplexen Zahl z; θ, das Argument von z, wird gewöhnlich auf dem Zwischenraum 0 θ &lt genommen; 2π; und die letzte Gleichheit (zu |ze) wird von der Formel von Euler genommen. Bemerken Sie, dass das Argument von z mehrgeschätzt wird, weil die komplizierte Exponentialfunktion, mit der Periode 2πi periodisch ist. So, wenn θ ein Wert von arg (z) ist, werden die anderen Werte durch arg (z) = θ + 2nπ gegeben, wo n jede ganze Zahl 0 ist. Während selten verwendet, ausführlich basiert die geometrische Ansicht von den komplexen Zahlen implizit auf seiner Struktur eines Euklidischen Vektorraums der Dimension 2, wo durch das Skalarprodukt von komplexen Zahlen und gegeben wird; dann für eine komplexe Zahl fällt sein absoluter Wert | mit seiner Euklidischen Norm und seinem Argument mit dem Winkel zusammen, der sich von 1 bis dreht.

Die Theorie der Kontur-Integration umfasst einen Hauptteil der komplizierten Analyse. In diesem Zusammenhang ist die Richtung des Reisens um eine geschlossene Kurve - das Umkehren der Richtung wichtig, in der die Kurve überquert wird, multipliziert den Wert des Integrals durch −1. Durch die Tagung ist die positive Richtung gegen den Uhrzeigersinn. Zum Beispiel wird der Einheitskreis in der positiven Richtung überquert, wenn wir am Punkt z = 1 anfangen, dann und nach links durch den Punkt z = ich, dann unten und nach links durch −1, dann unten und nach rechts durch −i, und schließlich und nach rechts zu z = 1 reisen, wo wir angefangen haben.

Fast die ganze komplizierte Analyse ist mit komplizierten Funktionen - d. h. mit Funktionen beschäftigt, die eine Teilmenge des komplizierten Flugzeugs in einigen anderen (vielleicht Überschneidung, oder sogar identisch) Teilmenge des komplizierten Flugzeugs kartografisch darstellen. Hier ist es üblich, um vom Gebiet von f (z) als liegend im z-plane zu sprechen, während man sich auf die Reihe oder das Image von f (z) als eine Reihe von Punkten im w-plane bezieht. In Symbolen schreiben wir

z = x + iy; \qquad f (z) = w = u + iv \,

</Mathematik>

und denken Sie häufig an die Funktion f als eine Transformation des z-plane (mit Koordinaten (x, y)) in den w-plane (mit Koordinaten (u, v)).

Stereografische Vorsprünge

Es kann nützlich sein, an das komplizierte Flugzeug zu denken, als ob es die Oberfläche eines Bereichs besetzt hat. In Anbetracht eines Bereichs des Einheitsradius, legen Sie sein Zentrum am Ursprung des komplizierten Flugzeugs, orientiert, so dass der Äquator auf dem Bereich mit dem Einheitskreis im Flugzeug zusammenfällt, und der Nordpol "über" dem Flugzeug ist.

Wir können eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen den Punkten auf der Oberfläche des Bereichs minus der Nordpol und den Punkten im komplizierten Flugzeug wie folgt einsetzen. In Anbetracht eines Punkts im Flugzeug, ziehen Sie eine Gerade, die es mit dem Nordpol auf dem Bereich verbindet. Diese Linie wird die Oberfläche des Bereichs in genau einem anderem Punkt durchschneiden. Der Punkt z = 0 wird auf den Südpol des Bereichs geplant. Da das Interieur des Einheitskreises innerhalb des Bereichs, dass komplettes Gebiet liegt (|z < 1) wird auf die südliche Halbkugel kartografisch dargestellt. Der Einheitskreis selbst (|z = 1) wird auf den Äquator und das Äußere des Einheitskreises kartografisch dargestellt (|z > 1) wird auf die Nordhemisphäre minus der Nordpol kartografisch dargestellt. Klar ist dieses Verfahren - gegeben jeder Punkt auf der Oberfläche des Bereichs umkehrbar, der nicht der Nordpol ist, können wir eine Gerade ziehen, die diesen Punkt in den Nordpol verbindet und das flache Flugzeug in genau einem Punkt durchschneidet.

Unter diesem stereografischen Vorsprung wird der Nordpol selbst mit keinem Punkt im komplizierten Flugzeug vereinigt. Wir vollkommen die isomorphe Ähnlichkeit, indem es einen mehr Punkt zum komplizierten Flugzeug - dem so genannten Punkt an der Unendlichkeit hinzugefügt wird — und es mit dem Nordpol auf dem Bereich identifiziert wird. Dieser topologische Raum, das komplizierte Flugzeug plus der Punkt an der Unendlichkeit, ist als das verlängerte komplizierte Flugzeug bekannt. Wir sprechen von einem einzelnen "Punkt an der Unendlichkeit", wenn wir komplizierte Analyse besprechen. Es gibt zwei Punkte an der Unendlichkeit (positiv, und negativ) auf der Linie der reellen Zahl, aber es gibt nur einen Punkt an der Unendlichkeit (der Nordpol) im verlängerten komplizierten Flugzeug.

Stellen Sie sich für einen Moment vor, was mit den Linien der Breite und Länge geschehen wird, wenn sie vom Bereich auf das flache Flugzeug geplant werden. Die Linien der Breite sind die ganze Parallele zum Äquator, so werden sie vollkommene Kreise werden, die auf den Ursprung z = 0 in den Mittelpunkt gestellt sind. Und die Linien der Länge werden Geraden werden, die den Ursprung durchführen (und auch durch den "Punkt an der Unendlichkeit", da sie sowohl die Nord-als auch Südpole auf dem Bereich durchführen).

Das ist nicht das einzige mögliche noch plausible stereografische Situation des Vorsprungs eines Bereichs auf ein Flugzeug, das aus zwei oder mehr Werten besteht. Zum Beispiel könnte der Nordpol des Bereichs oben auf dem Ursprung z =-1 in einem Flugzeug gelegt werden es ist Tangente zum Kreis. Die Details sind nicht wirklich von Bedeutung. Jeder stereografische Vorsprung eines Bereichs auf ein Flugzeug wird einen "Punkt an der Unendlichkeit" erzeugen, und es wird die Linien der Breite und Länge auf dem Bereich in Kreise und Geraden beziehungsweise im Flugzeug kartografisch darstellen.

Ausschnitt des Flugzeugs

Wenn

man Funktionen einer komplizierten Variable bespricht, ist es häufig günstig, an eine Kürzung im komplizierten Flugzeug zu denken. Diese Idee entsteht natürlich in mehreren verschiedenen Zusammenhängen.

Mehrgeschätzte Beziehungen und Zweigpunkte

Denken Sie die einfache zwei geschätzte Beziehung

w = f (z) = \pm\sqrt {z} = z^ {1/2}. \,

</Mathematik>

Bevor wir diese Beziehung als eine einzeln geschätzte Funktion behandeln können, muss die Reihe des resultierenden Werts irgendwie eingeschränkt werden. Wenn, sich mit den Quadratwurzeln von nichtnegativen reellen Zahlen befassend, das leicht getan wird. Zum Beispiel können wir gerade definieren

y = g (x) = \sqrt {x }\\= x^ {1/2 }\\,

</Mathematik>

die nichtnegative reelle Zahl y solch dass y = x zu sein. Diese Idee arbeitet so gut im zweidimensionalen komplizierten Flugzeug nicht. Um warum zu sehen, wollen wir an die Weise denken, wie sich der Wert von f (z) ändert, weil der Punkt z den Einheitskreis bewegt. Wir können schreiben

z = re^ {i\theta }\\quad\mbox {und nehmen }\\Viererkabel w=z^ {1/2} = \sqrt {r }\\, e^ {i\theta/2 }\\qquad (0\leq\theta\leq 2\pi). \,

</Mathematik>

Zweifellos, als z Bewegungen den ganzen Weg um den Kreis, w verfolgt nur eine Hälfte des Kreises. So hat eine dauernde Bewegung im komplizierten Flugzeug die positive Quadratwurzel e = 1 in die negative Quadratwurzel e = −1. umgestaltet

Dieses Problem entsteht, weil der Punkt z = 0 gerade eine Quadratwurzel hat, während jede andere komplexe Zahl z 0 genau zwei Quadratwurzeln hat. Auf der Linie der reellen Zahl konnten wir dieses Problem überlisten, indem wir eine "Barriere" am einzelnen Punkt x = 0 aufgestellt haben. Eine größere Barriere ist im komplizierten Flugzeug erforderlich, um jede geschlossene Kontur daran zu verhindern, den Zweigpunkt z = 0 völlig zu umgeben. Das wird durch das Einführen einer Zweigkürzung allgemein getan; in diesem Fall könnte sich die "Kürzung" vom Punkt z = 0 entlang der positiven echten Achse zum Punkt an der Unendlichkeit ausstrecken, so dass das Argument der Variable z im Kürzungsflugzeug auf die Reihe 0 arg (z) &lt eingeschränkt wird; 2π.

Wir können jetzt eine ganze Beschreibung von w = z geben. Um so zu tun, brauchen wir zwei Kopien des z-plane, jeden von ihnen Kürzung entlang der echten Achse. Auf einer Kopie definieren wir die Quadratwurzel 1, um e = 1 zu sein, und auf dem anderen definieren wir die Quadratwurzel 1, um e = −1 zu sein. Wir nennen diese zwei Kopien der ganzen Kürzungsflugzeug-Platten. Indem wir ein Kontinuitätsargument machen, sehen wir, dass (jetzt einzeln geschätzt) Funktion w = z die erste Platte in die obere Hälfte des w-plane, wo 0 arg (w) &lt kartografisch darstellt; π, während man die zweite Platte in die niedrigere Hälfte des w-plane (wo π arg (w) &lt kartografisch darstellt; 2π).

Die Zweigkürzung in diesem Beispiel muss entlang der echten Achse nicht liegen. Es muss keine Gerade sogar sein. Jede dauernde Kurve, die den Ursprung z = 0 mit dem Punkt an der Unendlichkeit verbindet, würde arbeiten. In einigen Fällen muss die Zweigkürzung nicht den Punkt an der Unendlichkeit sogar durchführen. Denken Sie zum Beispiel die Beziehung

w = g (z) = \left (z^2 - 1\right) ^ {1/2}. \,

</Mathematik>

Hier das Polynom z − 1 verschwindet, wenn z = ±1, so hat g zweifellos zwei Zweigpunkte. Wir können das Flugzeug entlang der echten Achse, von −1 bis 1 "schneiden", und eine Platte erhalten, auf der g (z) eine einzeln geschätzte Funktion ist. Wechselweise kann die Kürzung von z = 1 entlang der positiven echten Achse durch den Punkt an der Unendlichkeit laufen, dann die negative echte Achse zum anderen Zweigpunkt, z = −1. fortsetzen

Diese Situation wird durch das Verwenden des stereografischen Vorsprungs am leichtesten vergegenwärtigt, der oben beschrieben ist. Auf dem Bereich bohrt eine dieser Kürzungen längs gerichtet die südliche Halbkugel durch, einen Punkt auf dem Äquator (z = −1) mit einem anderen Punkt auf dem Äquator (z = 1) verbindend, und den Südpol (der Ursprung, z = 0) unterwegs durchführend. Die zweite Version der Kürzung bohrt längs gerichtet die Nordhemisphäre durch und verbindet dieselben zwei äquatorialen Punkte durch das Durchführen des Nordpols (d. h. den Punkt an der Unendlichkeit).

Das Einschränken des Gebiets von Meromorphic-Funktionen

Eine Meromorphic-Funktion ist eine komplizierte Funktion, die holomorphic und deshalb analytisch überall in seinem Gebiet außer an einem begrenzten, oder zählbar unendlich, Zahl von Punkten ist. Die Punkte, an denen solch eine Funktion nicht definiert werden kann, werden die Polen der Meromorphic-Funktion genannt. Manchmal lügen alle diese Pole in einer Gerade. In diesem Fall können Mathematiker sagen, dass die Funktion "holomorphic auf dem Kürzungsflugzeug" ist. Hier ist ein einfaches Beispiel.

Die Gammafunktion, die durch definiert ist

\Gamma (z) = \frac {e^ {-\gamma z}} {z} \prod_ {n=1} ^\\infty \left [\left (1 +\frac {z} {n }\\Recht) ^ {-1} e^ {z/n }\\Recht] \,

</Mathematik>

wo γ die Euler-Mascheroni Konstante ist, und einfache Pole an 0, −1, −2, −3 hat... weil genau ein Nenner im unendlichen Produkt verschwindet, wenn z Null oder eine negative ganze Zahl ist. Da alle seine Pole auf der negativen echten Achse, von z = 0 zum Punkt an der Unendlichkeit lügen, könnte diese Funktion als beschrieben werden

"holomorphic auf dem Kürzungsflugzeug, die Kürzung, die sich entlang der negativen echten Achse, von 0 (einschließlich) zum Punkt an der Unendlichkeit ausstreckt."

Wechselweise Γ könnte (z) als beschrieben werden

"holomorphic im Kürzungsflugzeug mit − < arg (z) < π und des Punkts z = 0 ausschließend."

Bemerken Sie, dass diese Kürzung von der Zweigkürzung ein bisschen verschieden ist, auf die wir bereits gestoßen sind, weil es wirklich die negative echte Achse vom Kürzungsflugzeug ausschließt. Der Zweig hat geschnitten hat die echte Achse verbunden mit dem Kürzungsflugzeug auf einer Seite (0 θ) verlassen, aber hat es vom Kürzungsflugzeug entlang der anderen Seite getrennt (θ < 2π).

Natürlich ist es nicht wirklich notwendig, das komplette Liniensegment von z = 0 zu − auszuschließen, um ein Gebiet zu bauen, in dem Γ (z) holomorphic ist. Alles, was wir wirklich tun müssen, ist, das Flugzeug an einem zählbar unendlichen Satz von Punkten {0, −1, −2, −3 zu durchstechen...}. Aber eine geschlossene Kontur im durchstochenen Flugzeug könnte ein oder mehr von den Polen von Γ (z) umgeben, eine integrierte Kontur gebend, der nicht notwendigerweise Null durch den Rückstand-Lehrsatz ist. Indem wir das komplizierte Flugzeug schneiden, stellen wir nicht nur sicher, dass Γ (z) holomorphic in diesem eingeschränkten Gebiet ist - stellen wir auch sicher, dass die Kontur, die von Γ über jede geschlossene Kurve integriert ist, die im Kürzungsflugzeug liegt, der Null identisch gleich ist.

Das Spezifizieren von Konvergenz-Gebieten

Viele komplizierte Funktionen werden durch die unendliche Reihe, oder durch fortlaufende Bruchteile definiert. Eine grundsätzliche Rücksicht in der Analyse dieser ungeheuer langen Ausdrücke identifiziert den Teil des komplizierten Flugzeugs, in dem sie zu einem begrenzten Wert zusammenlaufen. Eine Kürzung im Flugzeug kann diesen Prozess erleichtern, weil sich die folgenden Beispiele zeigen.

Betrachten Sie die Funktion als definiert durch die unendliche Reihe

f (z) = \sum_ {n=1} ^\\infty \left (z^2 + n\right) ^ {-2}. \,

</Mathematik>

Seitdem z = (−z) für jede komplexe Zahl z ist es klar, dass f (z) sogar Funktion von z ist, so kann die Analyse auf eine Hälfte des komplizierten Flugzeugs eingeschränkt werden. Und da die Reihe wenn unbestimmt

ist:

z^2 + n = 0 \quad \Leftrightarrow \quad z = \pm i\sqrt {n}, \,

</Mathematik>

es hat Sinn, das Flugzeug entlang der kompletten imaginären Achse zu schneiden und die Konvergenz dieser Reihe zu gründen, wo der echte Teil von z nicht Null vor dem Unternehmen der mühsameren Aufgabe ist, f (z) zu untersuchen, wenn z eine reine imaginäre Zahl ist.

In diesem Beispiel ist die Kürzung eine bloße Bequemlichkeit, weil die Punkte, an denen die unendliche Summe unbestimmt ist, isoliert werden, und das Kürzungsflugzeug durch ein angemessen durchstochenes Flugzeug ersetzt werden kann. In einigen Zusammenhängen ist die Kürzung notwendig, und nicht nur günstig. Denken Sie den unendlichen periodischen fortlaufenden Bruchteil

f (z) = 1 + \cfrac {z} {1 + \cfrac {z} {1 + \cfrac {z} {1 + \cfrac {z} {\\ddots}}}}. \,

</Mathematik>

Es kann gezeigt werden, dass f (z) zu einem begrenzten Wert zusammenläuft, wenn, und nur wenn z nicht eine negative solche reelle Zahl dass z &lt ist; −¼. Mit anderen Worten ist das Konvergenz-Gebiet für diesen fortlaufenden Bruchteil das Kürzungsflugzeug, wohin die Kürzung entlang der negativen echten Achse, von −¼ bis den Punkt an der Unendlichkeit läuft.

Das Kleben des Kürzungsflugzeugs zurück zusammen

Wir haben bereits wie die Beziehung gesehen

w = f (z) = \pm\sqrt {z} = z^ {1/2 }\\,

</Mathematik>

kann in eine einzeln geschätzte Funktion durch das Aufspalten des Gebiets von f in zwei getrennte Platten gemacht werden. Es ist auch möglich, jene zwei Platten zurück zusammen "zu kleben", um eine einzelne Oberfläche von Riemann zu bilden, auf der f (z) = z als eine Holomorphic-Funktion definiert werden kann, deren Image der komplette w-plane (abgesehen vom Punkt w = 0) ist. Hier ist, wie das arbeitet.

Stellen Sie sich zwei Kopien des Kürzungskomplex-Flugzeugs, die Kürzungen vor, die sich entlang der positiven echten Achse von z = 0 zum Punkt an der Unendlichkeit ausstrecken. Auf einer Platte definieren 0 arg (z) < 2π, so dass 1 = e = 1, definitionsgemäß. Auf der zweiten Platte definieren 2π arg (z) < 4π, so dass 1 = e = −1, wieder definitionsgemäß. Schnipsen Sie jetzt die zweite Platte umgekehrt, so "kleben" die imaginären Achse-Punkte in der entgegengesetzten Richtung der imaginären Achse auf der ersten Platte, sowohl mit echten Äxten, die in derselben Richtung hinweisen, als auch die zwei Platten zusammen (so dass der Rand auf der ersten Platte etikettiert "θ = 0" mit dem Rand etikettiert "θ &lt verbunden wird; 4π" auf der zweiten Platte und dem Rand auf der zweiten Platte etikettiert "θ = 2π" wird mit dem Rand etikettiert "θ &lt verbunden; 2π" auf der ersten Platte). Das Ergebnis ist das Oberflächengebiet von Riemann, auf dem f (z) = z einzeln geschätzt wird und holomorphic (außer, wenn z = 0).

Um zu verstehen, warum f in diesem Gebiet einzeln geschätzt wird, stellen Sie sich einen Stromkreis um den Einheitskreis vor, mit z = 1 auf der ersten Platte anfangend. Wenn 0 θ < 2π sind wir noch auf der ersten Platte. Als θ = 2π wir auf die zweite Platte hinübergegangen haben und verpflichtet sind, einen zweiten ganzen Stromkreis um den Zweig z = 0 vor dem Zurückbringen in unseren Startpunkt anspitzen zu lassen, wo θ = 4π zu θ = 0, wegen des Weges gleichwertig ist, haben wir die zwei Platten zusammen geklebt. Mit anderen Worten, als die Variable macht z zwei ganze, dreht den Zweigpunkt um, das Image von z im w-plane verfolgt gerade einen ganzen Kreis.

Formelle Unterscheidung zeigt dem

f (z) = z^ {1/2} \quad\Rightarrow\quad f^\\erst (z) = {\\textstyle \frac {1} {2}} z^ {-1/2 }\\,

</Mathematik>

aus dem wir beschließen können, dass die Ableitung von f besteht und überall auf der Oberfläche von Riemann begrenzt ist, außer, wenn z = 0 (d. h. f holomorphic, außer, wenn z = 0 ist).

Wie der Riemann kann, für die Funktion zu erscheinen

w = g (z) = \left (z^2 - 1\right) ^ {1/2}, \,

</Mathematik>

auch besprochen oben, gebaut werden? Wieder beginnen wir mit zwei Kopien des z-plane, aber dieses Mal wird jeder entlang dem echten Liniensegment geschnitten, das sich von z = −1 zu z = 1 ausstreckt - das sind die zwei Zweigpunkte von g (z). Wir schnipsen einen von diesen umgekehrt, so klebt der zwei imaginäre Axt-Punkt in entgegengesetzten Richtungen, und die entsprechenden Ränder der zwei Kürzungsplatten zusammen. Wir können nachprüfen, dass g eine einzeln geschätzte Funktion auf dieser Oberfläche durch die Nachforschung eines Stromkreises um einen Kreis des Einheitsradius ist, der an z = 1 in den Mittelpunkt gestellt ist. Wenn wir am Punkt z = 2 auf der ersten Platte anfangen, drehen wir halbwegs den Kreis vor dem Antreffen auf die Kürzung an z = 0 um. Die Kürzung zwingt uns auf die zweite Platte, so dass, als z eine volle Umdrehung um den Zweig verfolgt hat, anspitzen, dass z = 1, w gerade eine Hälfte einer vollen Umdrehung genommen hat, ist das Zeichen von w (seit e = −1) umgekehrt worden, und unser Pfad hat uns in den Punkt z = 2 auf der zweiten Platte der Oberfläche gebracht. Das Fortsetzen durch eine andere Hälfte der Umdrehung wir stoßen auf die andere Seite der Kürzung, wo z = 0, und schließlich unseren Startpunkt (z = 2 auf der ersten Platte) nach dem Bilden zwei voller Umdrehungen um den Zweigpunkt erreichen.

Die natürliche Weise, θ = arg (z) in diesem Beispiel zu etikettieren, soll − &lt untergehen; θ π auf der ersten Platte, mit π < θ 3π auf dem zweiten. Die imaginären Äxte auf den zwei Platten weisen in entgegengesetzten Richtungen hin, so dass gegen den Uhrzeigersinn der Sinn der positiven Folge bewahrt wird, als sich eine geschlossene Kontur von einer Platte bis den anderen bewegt (erinnern Sie sich, die zweite Platte ist umgekehrt). Stellen Sie sich diese Oberfläche vor, die in einem dreidimensionalen Raum mit beider Platte-Parallele zum xy-plane eingebettet ist. Dann scheint es, ein vertikales Loch in der Oberfläche zu geben, wo die zwei Kürzungen zusammengetroffen werden. Und wenn die Kürzung von z = −1 unten die echte Achse zum Punkt an der Unendlichkeit, und von z = 1, die echte Achse gemacht wird, bis die Kürzung sich entspricht? Wieder kann eine Oberfläche von Riemann gebaut werden, aber dieses Mal ist das "Loch" horizontal. Topologisch sprechend, sind beide Versionen dieser Oberfläche von Riemann gleichwertig - sie sind orientable zweidimensionale Oberflächen der Klasse ein.

Gebrauch des komplizierten Flugzeugs in der Steuerungstheorie

In der Steuerungstheorie ist ein Gebrauch des komplizierten Flugzeugs als der 's-plane' bekannt. Es wird verwendet, um sich die Wurzeln der Gleichung zu vergegenwärtigen, die ein Verhalten eines Systems (die charakteristische Gleichung) grafisch beschreibt. Die Gleichung wird normalerweise ausgedrückt, weil sich ein Polynom im Parameter 's' Laplace, folglich das Flugzeug des Namens 's' verwandelt.

Ein anderer zusammenhängender Gebrauch des komplizierten Flugzeugs ist mit dem Stabilitätskriterium von Nyquist. Das ist ein geometrischer Grundsatz, der der Stabilität eines Feed-Back-Systems des geschlossenen Regelkreises erlaubt, durch das Kontrollieren eines Anschlags von Nyquist seines Umfangs der offenen Schleife und Phase-Antwort als eine Funktion der Frequenz (oder Schleife-Übertragungsfunktion) im komplizierten Flugzeug bestimmt zu werden.

Der 'z-plane' ist eine Version der diskreten Zeit des s-plane, wo z-transforms statt der Transformation von Laplace verwendet werden.

Andere Bedeutungen des "komplizierten Flugzeugs"

Die vorhergehenden Abteilungen dieses Artikels befassen sich mit dem komplizierten Flugzeug als die geometrische Entsprechung der komplexen Zahlen. Obwohl dieser Gebrauch des Begriffes "kompliziertes Flugzeug" eine lange und mathematisch reiche Geschichte hat, ist es keineswegs das einzige mathematische Konzept, das als "das komplizierte Flugzeug" charakterisiert werden kann. Es gibt mindestens drei zusätzliche Möglichkeiten.

1+1-dimensional sind Raum von Minkowski, auch bekannt als das mit dem Spalt komplizierte Flugzeug, ein "kompliziertes Flugzeug" im Sinn, dass die algebraischen komplexen Zahlen des Spalts in zwei echte Bestandteile getrennt werden können, die mit dem Punkt (x, y) im Kartesianischen Flugzeug leicht vereinigt werden.
Der Satz von Doppelzahlen über den reals kann auch in die isomorphe Ähnlichkeit mit den Punkten (x, y) vom Kartesianischen Flugzeug gelegt werden, und ein anderes Beispiel eines "komplizierten Flugzeugs" vertreten.
Der Vektorraum C×C, das Kartesianische Produkt der komplexen Zahlen mit sich, ist auch ein "kompliziertes Flugzeug" im Sinn, dass es ein zweidimensionaler Vektorraum ist, dessen Koordinaten komplexe Zahlen sind.

Fachsprache

Während die Fachsprache "kompliziertes Flugzeug" historisch akzeptiert wird, konnte der Gegenstand "komplizierte Linie" passender genannt werden, weil es ein 1-dimensionaler komplizierter Vektorraum ist.

Siehe auch

Konstellationsdiagramm
Bereich von Riemann
S Flugzeug

Zeichen

Nachgedruckt (1973) durch die internationale Standardbuchnummer von Chelsea Publishing Company 0-8284-0207-8.

Links

Vereinbarung von Notational
Stereografische Vorsprünge
Ausschnitt des Flugzeugs
Mehrgeschätzte Beziehungen und Zweigpunkte
Das Einschränken des Gebiets von Meromorphic-Funktionen
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Andere Bedeutungen des "komplizierten Flugzeugs"
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