In der geradlinigen Algebra strecken sich die Doppelzahlen aus die reellen Zahlen durch das Angrenzen an ein neues Element ε mit dem Eigentum ε = 0 (ε ist nilpotent). Die Sammlung von Doppelzahlen bildet eine besondere zweidimensionale assoziative unital Ersatzalgebra über die reellen Zahlen. Jede Doppelzahl hat die Form z = + bε mit a und b hat einzigartig reelle Zahlen bestimmt. Das Flugzeug aller Doppelzahlen ist ein "alternatives kompliziertes Flugzeug", das das gewöhnliche Flugzeug der komplexen Zahl C und das Flugzeug von komplexen Zahlen des Spalts ergänzt.

Geradlinige Darstellung

Mit matrices können Doppelzahlen als vertreten werden

:.

Die Summe und das Produkt von Doppelzahlen werden dann mit der gewöhnlichen Matrixhinzufügung und Matrixmultiplikation berechnet; beide Operationen sind auswechselbar und assoziativ.

Dieses Verfahren ist der Matrixdarstellung von komplexen Zahlen analog.

Außerdem ist das Konzept der Doppelzahl notwendig, wenn es eine Matrix liest.

Geometrie

Der "Einheitskreis" von Doppelzahlen besteht aus denjenigen mit = 1 oder 1, da diese z z * = 1 wo z * = ein  bε befriedigen. Bemerken Sie jedoch das

:

so bedeckt die auf den ε-axis angewandte Exponentialfunktion nur Hälfte des "Kreises".

Wenn ein  0 und M = b/a, dann ist z = (1 + M ε) die polare Zergliederung der Doppelnummer z und die SteigungsM, sein winkeliger Teil sind.

Das Konzept einer Folge im Doppelzahl-Flugzeug ist zu einem vertikalen gleichwertig scheren seitdem (1 + p ε) (1 + q ε) = 1 + (p+q) ε kartografisch darzustellen.

Das Doppelzahl-Flugzeug wird verwendet, um die naive Raum-Zeit von Galileo in einer Studie genannt galiläischen invariance zu vertreten, da die klassische Ereignis-Transformation mit der Geschwindigkeit v ähnlich ist:

:, das ist.

Zyklen

In Anbetracht zwei Doppelzahlen p und q bestimmen sie den Satz von solchem z, dass der galiläische Winkel zwischen den Linien von z bis p und q unveränderlich ist. Dieser Satz ist ein Zyklus im Doppelzahl-Flugzeug; da die Gleichung, die den Unterschied im Hang der Linien zu einer Konstante setzt, eine quadratische Gleichung im echten Teil von z ist, ist ein Zyklus eine Parabel. In der Umkehrenden Ringgeometrie von Doppelzahlen stößt man "auf zyklische Folge" als ein projectivity auf der projektiven Linie über Doppelzahlen. Gemäß Yaglom (Seiten 92,3), der Zyklus Z = {z: y = α ist x\invariant unter der Zusammensetzung des Scherens

: mit der Übersetzung

:.

Diese Zusammensetzung ist eine zyklische Folge; das Konzept ist weiter von V. V. Kisil entwickelt worden.

Algebraische Eigenschaften

In abstrakten Algebra-Begriffen können die Doppelzahlen als der Quotient des polynomischen Rings R [X] durch das Ideal beschrieben werden, das durch das Polynom X, erzeugt ist

:R [X]/>.

Das Image X im Quotienten ist die "imaginäre" Einheit ε. Mit dieser Beschreibung ist es klar, dass die Doppelzahlen einen Ersatzring mit der Eigenschaft 0 bilden. Außerdem gibt die geerbte Multiplikation den Doppelzahlen die Struktur einer auswechselbaren und assoziativen Algebra über den reals der Dimension zwei. Die Algebra ist nicht eine Abteilungsalgebra oder Feld, da die imaginären Elemente nicht invertible sind. Tatsächlich sind alle imaginären Nichtnullelemente Nullteiler (sieh auch die Abteilung "Abteilung"). Die Algebra von Doppelzahlen ist zur Außenalgebra dessen isomorph.

Generalisation

Dieser Aufbau kann mehr allgemein ausgeführt werden: Für einen Ersatzring R kann man die Doppelzahlen über R als der Quotient des polynomischen Rings R [X] durch das Ideal (X) definieren: Das Image X hat dann Quadrat, das der Null gleich ist, und entspricht dem Element ε von oben.

Dieser Ring und seine Verallgemeinerungen spielen eine wichtige Rolle in der algebraischen Theorie von Abstammungen und Differenzialen von Kähler (rein algebraische Differenzialformen).

Über jeden Ring R die Doppelzahl a + ist bε eine Einheit (d. h. multiplicatively invertible) wenn und nur wenn einer Einheit in R zu sein. In diesem Fall ist das Gegenteil + bε ein  baε. Demzufolge sehen wir, dass die Doppelzahlen über jedes Feld (oder jeden lokalen Ersatzring) einen lokalen Ring, sein maximales Ideal bilden, das das durch ε erzeugte Hauptideal ist.

Unterscheidung

Eine Anwendung von Doppelzahlen ist automatische Unterscheidung. Denken Sie die echten Doppelzahlen oben. In Anbetracht jedes echten Polynoms P (x) = p+px+px +... +px ist es aufrichtig, um das Gebiet dieses Polynoms vom reals bis die Doppelzahlen zu erweitern. Dann haben wir dieses Ergebnis:

: wo die Ableitung dessen ist.

Indem

wir über die Doppelzahlen, aber nicht über den reals rechnen, können wir das verwenden, um Ableitungen von Polynomen zu schätzen. Mehr allgemein können wir Abteilung von Doppelzahlen definieren und dann fortsetzen, transzendente Funktionen von Doppelzahlen zu definieren, indem wir f (a+bε) = definieren

f (a) +bf  (a) ε. Durch Rechenzusammensetzungen dieser Funktionen über die Doppelzahlen und das Überprüfen des Koeffizienten von ε im Ergebnis finden wir, dass wir die Ableitung der Zusammensetzung automatisch geschätzt haben.

Diese Wirkung kann aus dem Sonderanalyse-Gesichtspunkt erklärt werden. Die imaginäre Einheit ε Doppelzahlen ist ein Ende hinsichtlich des in der Sonderrechnung verwendeten unendlich kleinen: Tatsächlich ist das Quadrat (oder jede höhere Macht) ε genau Null, und das Quadrat eines unendlich kleinen ist fast Null an der Skala dieses infinitesimal (ist eine unendlich kleine von einer höheren Ordnung genauer).

Superraum

Doppelzahlen finden Anwendungen in der Physik, wo sie eines der einfachsten nichttrivialen Beispiele eines Superraums einsetzen. Die Richtung entlang ε wird die "fermionic" Richtung genannt, und der echte Bestandteil wird die "bosonic" Richtung genannt. Die fermionic Richtung verdient diesen Namen von der Tatsache, dass fermions dem Ausschluss-Grundsatz von Pauli folgen: Unter dem Austausch von Koordinaten das Quant verschwindet mechanisches Welle-Funktionsänderungszeichen, und so, wenn zwei Koordinaten zusammengebracht werden; diese physische Idee wird durch die algebraische Beziehung ε = 0 gewonnen.

Abteilung

Die Abteilung von Doppelzahlen wird definiert, wenn der echte Teil des Nenners Nichtnull ist. Der Abteilungsprozess ist der komplizierten Abteilung analog, in der der Nenner mit seinem verbundenen multipliziert wird, um die nichtechten Teile zu annullieren.

Deshalb, um eine Gleichung der Form zu teilen:

:

Wir multiplizieren die Spitze und den Boden durch den verbundenen vom Nenner:

:

{ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-bd\varepsilon^2 \over (c^2+cd\varepsilon-cd\varepsilon-d^2\varepsilon^2) }\

{ac-ad\varepsilon+bc\varepsilon-0 \over c^2-0} </Mathematik>

::

Der definiert wird, wenn c Nichtnull ist.

Wenn, andererseits, c Null ist, während d nicht, dann die Gleichung ist

:

1. hat keine Lösung, wenn Nichtnull ist
2. wird durch jede Doppelzahl der Form sonst gelöst

:.

Das bedeutet, dass der nichtechte Teil des "Quotienten" willkürlich ist und Abteilung deshalb für rein nichtechte Doppelzahlen nicht definiert wird. Tatsächlich sind sie (trivial) Nullteiler und bilden klar ein Ideal der assoziativen Algebra (und klingeln so) der Doppelzahlen.

Siehe auch

• Algebra von Clifford
• Doppelquaternion
• Außenalgebra
• Unruhe-Theorie
• Eduard Study (1903) Geometrie der Dynamen, Seite 196, von Cornell Historical Mathematical Monographs.
• Josef Grunwald (1906) "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie", Pelz von Monatshefte Mathematik17, 81-136.
• Isaak Yaglom (1968) komplexe Zahlen in der Geometrie
• V.V. Kisil (2007) "Erfindung eines Rades, das Parabolische" arXiv:0707.4024
• William Kingdon Clifford (1873) Einleitende Skizze von Bi-quaternions, Verhandlungen Londons Mathematische Gesellschaft 4:381-95
• Bencivenga, Uldrico (1946) "Sulla rappresentazione geometrica della algebra doppie dotate di modulo", Schönheit-lettre von Atti della real accademia della scienze e di Napoli, Ser (3) v.2 No7. Sieh MR0021123.
• E.Pennestr, R.Stefanelli. Geradlinige Algebra und numerische Algorithmen mit Doppelzahlen