Dreieckszahl- oder Dreieck-Zahl numeriert die Gegenstände, die ein gleichseitiges Dreieck, als im Diagramm rechts bilden können. Die n-te Dreieck-Zahl ist die Zahl von Punkten in einem Dreieck mit N-Punkten auf einer Seite; es ist die Summe der n natürlichen Zahlen von 1 bis n. Die Folge von Dreieckszahlen ist:

:1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55....

Die Dreieck-Zahlen werden durch die folgenden ausführlichen Formeln gegeben:

:

T_n = \sum_ {k=1} ^n k = 1+2+3 + \dotsb +n = \frac {n (n+1)} {2} = {n+1 \choose 2} </Mathematik>

wo ein binomischer Koeffizient ist. Es vertritt die Zahl von verschiedenen Paaren, die von n + 1 Gegenstände ausgewählt werden können, und es laut als gelesen wird, "n plus wählt man zwei". In dieser Form behebt die dreieckige Nummer T das Händedruck-Problem, die Zahl von Händedrücken aufzuzählen, wenn sich jede Person in einem Zimmer, das mit n + 1 Gesamtmenschen voll ist, einmal mit einander Person die Hände schüttelt.

Dreieck-Zahlen sind das zusätzliche Analogon der factorials, die die Produkte von ganzen Zahlen von 1 bis n sind.

Die Zahl von Linien, die Sie zwischen jedem der Punkte ziehen können, kann mit der folgenden Wiederauftreten-Beziehung vertreten werden:

L_n = L_ {n-1} + 3 (n-1)

</Mathematik>

Das Verhältnis zwischen den zwei Zahlen, Punkten und Linien hat auch das interessante Eigentum:

\lim_ {n\to\infty} \frac {T_n} {L_n} = \frac {1} {3 }\

</Mathematik>

Beziehungen zu anderen figurate Zahlen

Dreieckszahlen haben ein großes Angebot an Beziehungen zu anderen figurate Zahlen.

Am einfachsten ist die Summe von zwei Konsekutivdreieckszahlen eine Quadratzahl mit der Summe, die das Quadrat des Unterschieds zwischen den zwei ist. Algebraisch,

:

Wechselweise kann dieselbe Tatsache grafisch demonstriert werden:

Es gibt ungeheuer viele Dreieckszahlen, die auch Quadratzahlen sind; z.B, 1, 36. Einige von ihnen können durch einen einfachen rekursiven formula: erzeugt werden..

: mit

Alle quadrieren Dreieckszahlen werden vom recursion gefunden

: mit und

Außerdem ist das Quadrat der n-ten Dreieckszahl dasselbe als die Summe der Würfel der ganzen Zahlen 1 zu n.

Die Summe aller Dreieckszahlen bis zur n-ten Dreieckszahl ist die n-te vierflächige Zahl,

:

Mehr allgemein ist der Unterschied zwischen der n-ten M gonal Zahl und dem n-ten (M + 1)-gonal Zahl (n - 1) th Dreieckszahl. Zum Beispiel kommt die sechste heptagonal Nummer (81) minus die sechste sechseckige Nummer (66) der fünften Dreieckszahl, 15 gleich. Jede andere Dreieckszahl ist eine sechseckige Zahl. Die Dreieckszahlen wissend, kann man jede in den Mittelpunkt gestellte polygonale Zahl rechnen: Das n-te hat im Mittelpunkt gestanden k-gonal Zahl wird durch die Formel erhalten

:

wo T eine Dreieckszahl ist.

Der positive Unterschied von zwei Dreieckszahlen ist eine trapezoide Zahl.

Andere Eigenschaften

Dreieckszahlen entsprechen dem Fall der 1. Ordnung der Formel von Faulhaber.

Jede gleiche vollkommene Zahl ist dreieckig, durch die Formel gegeben

:

:where M ist erster Mersenne. Keine sonderbaren vollkommenen Zahlen sind folglich bekannt alle bekannten vollkommenen Zahlen sind dreieckig.

:For-Beispiel, die 3. Dreieckszahl ist 3x2 = 6; der 7. ist 7x4 = 28; der 31. ist 31x16 = 496; und der 127. ist 127x64 = 8128.

In der Basis 10 ist die Digitalwurzel einer Dreieckszahl immer 1, 3, 6, oder 9. Folglich ist jede Dreieckszahl durch drei entweder teilbar oder hat einen Rest 1, wenn geteilt, durch neun:

:1 = 9×0+1,

:3 = 3×1,

:6 = 3×2,

:10 = 9×1+1,

:15 = 3×5,

:21 = 3×7,

:28 = 9×3+1,

:36 = 9×4,

:45 = 9×5,

:55 = 9×6+1,

:...

:The Digitalwurzelmuster, alle neun Begriffe wiederholend, ist "1 3 6 1 6 3 1 9 9".

Das Gegenteil der Behauptung ist jedoch oben, nicht immer wahr. Zum Beispiel ist die Digitalwurzel 12, der nicht eine Dreieckszahl ist, 3 und teilbar durch drei.

Wenn x eine Dreieckszahl ist, dann ist ax+b auch eine Dreieckszahl, in Anbetracht der folgenden Bedingungen sind zufrieden:

a=an sonderbares Quadrat, b = (a-1)/8

Bemerken Sie, dass b immer eine Dreieckszahl sein wird, weil 8T+1 = (2n+1), der alle sonderbaren Quadrate nachgibt, durch das Multiplizieren einer Dreieckszahl durch 8 und das Hinzufügen 1 offenbart werden, und der Prozess für b gegeben eines sonderbaren Quadrats zu sein, das Gegenteil dieser Operation ist.

Die ersten mehreren Paare dieser Form (1x+0 nicht zählend), sind: 9x+1, 25x+3, 49x+6, 81x+10, 121x+15, 169x+21..... Gegebener x ist T gleich, diese Formeln geben T, T, T, T und so weiter nach.

Die Summe der Gegenstücke aller Dreieckszahlen ist:

:

Das kann durch das Verwenden der grundlegenden Summe einer telescoping Reihe gezeigt werden:

:

Zwei andere interessante Formeln bezüglich Dreieckszahlen sind:

:

und

:

von denen beide irgendein durch das Schauen auf Punktmuster leicht gegründet werden können (sieh oben), oder mit einer einfachen Algebra.

1796 haben deutscher Mathematiker und Wissenschaftler Carl Friedrich Gauss entdeckt, dass jede positive ganze Zahl als eine Summe von höchstens drei Dreieckszahlen wiederpräsentabel ist, in seinem Tagebuch seine berühmten Wörter, "EΥΡHKA schreibend! num = Δ + Δ + Δ" Bemerken, dass dieser Lehrsatz nicht andeutet, dass die Dreieckszahlen (als im Fall von 20=10+10) verschieden sind, noch dass eine Lösung mit drei Nichtnulldreieckszahlen bestehen muss. Das ist ein spezieller Fall des Polygonalen Zahl-Lehrsatzes von Fermat.

Die größte Dreieckszahl der Form 2-1 ist 4095, sieh Ramanujan-Nagell Gleichung.

Wacław Franciszek Sierpiński hat die Frage betreffs der Existenz von vier verschiedenen Dreieckszahlen im geometrischen Fortschritt gestellt. Es wurde vom polnischen Mathematiker Kazimierz Szymiczek vermutet, um unmöglich zu sein. Diese Vermutung wurde von Fang und Chen 2007 bewiesen.

Dreieckswurzeln und Tests auf Dreieckszahlen

Analog mit der Quadratwurzel kann man die (positive) Dreieckswurzel als die solche Nummer n dass definieren:

:

Eine ganze Zahl ist dreieckig, wenn, und nur wenn ein Quadrat ist. Gleichwertig, wenn die positive Dreieckswurzel dessen eine ganze Zahl ist, dann die th Dreieckszahl ist.

Siehe auch

• 1 + 2 + 3 + 4 + …
• Das Gesetz von Metcalfe, dass die Kompliziertheit der Kommunikation zwischen einer Gruppe von Leuten mit der Zahl von Paaren von Leuten, einer Dreieckszahl wächst.
• Wunderbares Ziehen des Fisches, einer Episode von den Evangelien, die die dreieckige Nummer 153 einschließen; wie man dachte, war die Dreiecksform dieser Zahl vom Heiligen Augustine in der Interpretation dieses Durchgangs wichtig.
• Fünfeckige Zahl
• Sechseckige Zahl

Referenzen

Links

• Dreieckszahlen an der Knoten-Kürzung
• Dort bestehen Sie Dreieckszahlen, die auch an der Knoten-Kürzung quadratisch

sind

• Dreieckszahlen über 12 Tage von Weihnachten durch Vi Hart