In der Mathematik ist eine Quadratzahl, manchmal auch genannt ein vollkommenes Quadrat, eine ganze Zahl, die das Quadrat einer ganzen Zahl ist; mit anderen Worten ist es das Produkt von einer ganzen Zahl mit sich. Also, zum Beispiel, 9 ist eine Quadratzahl, da sie als 3 &times geschrieben werden kann; 3.

Die übliche Notation für die Formel für das Quadrat einer Nummer n ist nicht das Produkt n × n, aber der gleichwertige exponentiation n, hat sich gewöhnlich als "n kariert" ausgesprochen. Die Namenquadratzahl kommt aus dem Namen der Gestalt. Das ist, weil ein Quadrat mit der Seitenlänge n Gebiet n hat.

Quadratzahlen sind nichtnegativ. Eine andere Weise zu sagen, dass eine (nichtnegative) Zahl eine Quadratzahl ist, besteht darin, dass seine Quadratwurzel wieder eine ganze Zahl ist. Zum Beispiel, 9 = 3, so 9 ist eine Quadratzahl.

Eine positive ganze Zahl, die keine vollkommenen Quadratteiler außer 1 hat, wird quadratfrei genannt.

Für eine natürliche Zahl n ist die n-te Quadratzahl n, mit 0 = 0, das zeroth Quadrat seiend. Das Konzept des Quadrats kann zu einigen anderen Zahl-Systemen erweitert werden. Wenn rationale Zahlen eingeschlossen werden, dann ist ein Quadrat das Verhältnis von zwei quadratischen ganzen Zahlen, und umgekehrt, das Verhältnis von zwei quadratischen ganzen Zahlen ist ein Quadrat (z.B, 4/9 = (2/3)).

mit 1 anfängt, gibt es Quadratzahlen bis zu und einschließlich der M, wo der Ausdruck den Fußboden der Nummer x vertritt.

Beispiele

Die Quadrate, die kleiner sind als 60, sind:

:0 = 0

:1 = 1

:2 = 4

:3 = 9

:4 = 16

:5 = 25

:6 = 36

:7 = 49

:8 = 64

:9 = 81

:10 = 100

:11 = 121

:12 = 144

:13 = 169

:14 = 196

:15 = 225

:16 = 256

:17 = 289

:18 = 324

:19 = 361

:20 = 400

:21 = 441

:22 = 484

:23 = 529

:24 = 576

:25 = 625

:26 = 676

:27 = 729

:28 = 784

:29 = 841

:30 = 900

:31 = 961

:32 = 1024

:33 = 1089

:34 = 1156

:35 = 1225

:36 = 1296

:37 = 1369

:38 = 1444

:39 = 1521

:40 = 1600

:41 = 1681

:42 = 1764

:43 = 1849

:44 = 1936

:45 = 2025

:46 = 2116

:47 = 2209

:48 = 2304

:49 = 2401

:50 = 2500

:51 = 2601

:52 = 2704

:53 = 2809

:54 = 2916

:55 = 3025

:56 = 3136

:57 = 3249

:58 = 3364

:59 = 3481

Der Unterschied zwischen jedem vollkommenen Quadrat und seinem Vorgänger wird durch die Identität gegeben. Gleichwertig ist es möglich, Quadratzahlen durch das Hinzufügen zusammen des letzten Quadrats, der Wurzel des letzten Quadrats und der aktuellen Wurzel zusammenzuzählen, d. h.

Eigenschaften

Die Zahl-M ist eine Quadratzahl, wenn, und nur wenn man M Punkte in einem Quadrat einordnen kann:

Der Ausdruck für die n-te Quadratzahl ist n. Das ist auch der Summe der ersten n ungeraden Zahlen gleich, wie in den obengenannten Bildern gesehen werden kann, wo sich ein Quadrat aus dem vorherigen durch das Hinzufügen einer ungeraden Zahl von Punkten (gezeigt im Purpurrot) ergibt. Die Formel folgt:

Also zum Beispiel, 5 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Es gibt mehrere rekursive Methoden für Rechenquadratzahlen. Zum Beispiel kann die n-te Quadratzahl vom vorherigen Quadrat dadurch geschätzt werden. Wechselweise kann die n-te Quadratzahl von den vorherigen zwei durch die Verdoppelung berechnet werden (n − 1)-Th-Quadrat, (n &minus Abstriche machend; 2)-Th-Quadratzahl und das Hinzufügen 2, weil n = 2 (n − 1) − (n − 2) + 2. Zum Beispiel, 2 × 5 − 4 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6.

Eine Quadratzahl ist auch die Summe von zwei Konsekutivdreieckszahlen. Die Summe von zwei Konsekutivquadratzahlen ist eine in den Mittelpunkt gestellte Quadratzahl. Jedes sonderbare Quadrat ist auch eine in den Mittelpunkt gestellte achteckige Zahl.

Ein anderes Eigentum einer Quadratzahl besteht darin, dass sie eine ungerade Zahl von Teilern hat, während andere Zahlen eine gerade Zahl von Teilern haben. Eine Wurzel der ganzen Zahl ist der einzige Teiler, dass Paare mit sich, um die Quadratzahl nachzugeben, während andere Teiler in Paaren kommen.

Der quadratische Lehrsatz von Lagrange stellt fest, dass jede positive ganze Zahl als die Summe von vier oder weniger vollkommenen Quadraten geschrieben werden kann. Drei Quadrate sind für Zahlen der Form 4 (8 M + 7) nicht genügend. Eine positive ganze Zahl kann als eine Summe von zwei Quadraten genau vertreten werden, wenn sein erster factorization keine sonderbaren Mächte der Blüte der Form 4k + 3 enthält. Das wird durch das Problem von Waring verallgemeinert.

Eine Quadratzahl kann nur mit Ziffern 0,1,4,6,9, oder 25 in der Basis 10, wie folgt enden:

1. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 0 ist, müssen seine Quadratenden in einer geraden Zahl von 0s (so mindestens 00) und die Ziffern, die dem Ende 0s vorangehen, auch ein Quadrat bilden.
2. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 1 oder 9 ist, müssen seine Quadratenden in 1 und die durch seine vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl durch vier teilbar sein.
3. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 2 oder 8 ist, müssen seine Quadratenden in 4 und die vorhergehende Ziffer gleich sein.
4. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 3 oder 7 ist, müssen seine Quadratenden in 9 und die durch seine vorhergehenden Ziffern gebildete Zahl durch vier teilbar sein.
5. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 4 oder 6 ist, müssen seine Quadratenden in 6 und die vorhergehende Ziffer seltsam sein.
6. Wenn die letzte Ziffer einer Zahl 5 ist, müssen seine Quadratenden in 25 und die vorhergehenden Ziffern 0, 2, 06, oder 56 sein.

In der Basis 16 kann eine Quadratzahl nur mit 0,1,4 oder 9 und enden

- im Falle dass 0 nur 0,1,4,9 ihm, vorangehen können

- im Falle dass 4 nur gerade Zahlen ihm vorangehen können.

Im Allgemeinen, wenn ein erster p eine Quadratzahl M dann teilt, muss das Quadrat von p auch M teilen; wenn p scheitert sich zu teilen, dann ist M bestimmt nicht quadratisch. Die Abteilungen des vorherigen Satzes wiederholend, beschließt man, dass jede Blüte ein gegebenes vollkommenes Quadrat eine gerade Zahl von Zeiten (einschließlich vielleicht 0mal) teilen muss. So, die Zahl M ist eine Quadratzahl, wenn, und nur wenn, in seiner kanonischen Darstellung, alle Hochzahlen gleich sind.

Prüfung von Squarity kann als alternativer Weg in factorization der großen Anzahl verwendet werden. Anstatt für die Teilbarkeit zu prüfen, prüfen Sie für squarity: für die gegebene M und eine Nummer k, wenn k ² − M ist das Quadrat einer ganzen Zahl n dann k − n teilt M (Das ist eine Anwendung des factorization eines Unterschieds von zwei Quadraten.) Zum Beispiel, 100 ² − 9991 ist das Quadrat 3, so folglich 100 − 3 teilt sich 9991. Dieser Test ist für sonderbare Teiler in der Reihe von k &minus deterministisch; n zu k + n, wo k eine Reihe von natürlichen Zahlen k  m bedeckt.

Eine Quadratzahl kann keine vollkommene Zahl sein.

Die Summe der Reihe von Macht-Zahlen

kann auch durch die Formel vertreten werden

Die ersten Begriffe dieser Reihe (die pyramidalen Quadratzahlen) sind:

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201....

Alle vierten Mächte, die sechsten Mächte, sind die achten Mächte und so weiter vollkommene Quadrate.

Spezielle Fälle

• Wenn die Zahl von der Form m5 ist, wo M die vorhergehenden Ziffern vertritt, ist sein Quadrat n25, wo n = M × (M + 1) und Ziffern vorher 25 vertritt. Zum Beispiel kann das Quadrat 65 durch n = 6 × (6 + 1) = 42 berechnet werden, der das Quadrat gleich 4225 macht.
• Wenn die Zahl von der Form m0 ist, wo M die vorhergehenden Ziffern vertritt, ist sein Quadrat n00 wo n = M. Zum Beispiel ist das Quadrat 70 4900.
• Wenn die Zahl zwei Ziffern hat und von der Form 5 M ist, wo M die Einheitsziffer vertritt, ist sein Quadrat AABB wo AA = 25 + M und BB = M Beispiel: Das Quadrat 57, 25 + 7 = 32 und 7 = 49 zu berechnen, was 57 = 3249 bedeutet.

Gerade und ungerade Quadratzahlen

Quadrate von geraden Zahlen sind sogar (und tatsächlich teilbar durch 4), seitdem (2n) = 4n.

Quadrate von ungeraden Zahlen, sind seitdem (2n + 1) = 4 (n + n) + 1 seltsam.

Hieraus folgt dass Quadratwurzeln von sogar Quadratzahlen sogar sind, und Quadratwurzeln von sonderbaren Quadratzahlen seltsam sind.

Gebrauch

Da das Produkt von echten negativen Zahlen positiv ist, und das Produkt von zwei echten positiven Zahlen auch positiv ist, hieraus folgt dass keine Quadratzahl negativ ist. Hieraus folgt dass keine Quadratwurzel einer negativen Zahl innerhalb des Systems von reellen Zahlen genommen werden kann. Das verlässt eine Lücke im System der reellen Zahl, das Mathematiker füllen, indem sie komplexe Zahlen verlangen, mit der imaginären Einheit i beginnend, der durch die Tagung eine der Quadratwurzeln −1. ist

Quadrieren wird in der Statistik in der Bestimmung der Standardabweichung von einer Reihe von Werten verwendet. Die Abweichung jedes Werts vom bösartigen vom Satz wird als der Unterschied definiert. Diese Abweichungen werden dann quadratisch gemacht ein bösartiger wird des neuen Satzes von Zahlen genommen (von denen jeder positiv ist). Das bedeutet ist die Abweichung, und seine Quadratwurzel ist die Standardabweichung. In der Finanz ist die Flüchtigkeit eines Finanzinstrumentes die Standardabweichung seiner Werte.

Siehe auch

• Quadratwurzel
• Methoden, Quadratwurzeln zu schätzen
• Quadratischer Rückstand
• Polygonale Zahl
• Die quadratische Identität von Euler
• Würfel (Algebra)
• Der Lehrsatz von Fermat auf Summen von zwei Quadraten
• Pythagoreischer Lehrsatz
• Parallelogramm-Gesetz
• Brahmagupta-Fibonacci Identität
• Das Buch von Quadraten
• Quadratwurzel der ganzen Zahl
• Quadrieren Sie Dreieckszahl
• Zahl von Automorphic
• Exponentiation
• Macht von zwei

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Conway, J. H. und Kerl, R. K. Das Buch von Zahlen. New York: Springer-Verlag, Seiten 30-32, 1996. Internationale Standardbuchnummer 0 387 97993 X

Links

• Erfahren Sie Quadratzahlen. Praxis-Quadratzahlen bis zu 144 mit diesem Multiplikationsspiel von Kindern
• Dario Alpern, Summe von Quadraten. Java applet, um eine natürliche Zahl in eine Summe von bis zu vier Quadraten zu zersetzen.
• Fibonacci und Square Numbers an der Konvergenz
• Die ersten 1,000,000 vollkommenen Quadrate Schließen ein Programm Ein, um vollkommene Quadrate zu 10^15 zu erzeugen.