In der Mathematik ist ein eigenfunction eines geradlinigen Maschinenbedieners, A, definiert auf einem Funktionsraum jede Nichtnullfunktion f in diesem Raum, der vom Maschinenbediener genau zurückkehrt, wie abgesehen von einem multiplicative Skalenfaktor ist. Genauer hat man

:

\mathcal Ein f = \lambda f

</Mathematik>

für einen Skalar, λ, der entsprechende eigenvalue. Die Lösung des Differenzials eigenvalue Problem hängt auch von irgendwelchen Grenzbedingungen ab, die dessen erforderlich sind. In jedem Fall gibt es nur bestimmten eigenvalues , die eine entsprechende Lösung für (mit jedem Gehören dem eigenvalue), wenn verbunden, mit den Grenzbedingungen zulassen. Die Existenz von eigenfunctions ist normalerweise die aufschlussreicheste Weise zu analysieren.

Zum Beispiel, ist ein eigenfunction für den Differenzialoperatoren

:

\mathcal = \frac {d^2} {dx^2} - \frac {d} {dx }\

</Mathematik>

für jeden Wert, mit entsprechendem eigenvalue. Wenn Grenzbedingungen auf dieses System angewandt werden (z.B, an zwei physischen Positionen im Raum), dann befriedigen nur bestimmte Werte dessen die Grenzbedingungen, entsprechenden getrennten eigenvalues erzeugend.

Spezifisch, in der Studie von Signalen und Systemen, ist der eigenfunction eines Systems das Signal, das, wenn eingegeben, ins System, eine Antwort mit der komplizierten Konstante erzeugt.

Anwendungen

Eigenfunctions spielen eine wichtige Rolle in vielen Zweigen der Physik. Ein wichtiges Beispiel ist Quant-Mechanik, wo die Gleichung von Schrödinger

:

\mathcal H \psi = E \psi

</Mathematik>,

mit

:

\mathcal H =-\frac {\\hbar^2} {2-M-}\\nabla^2 + V (\mathbf {r}, t)

</Mathematik>

hat Lösungen der Form

:

\psi (t) = \sum_k e^ {-i E_k t/\hbar} \phi_k,

</Mathematik>

wo eigenfunctions des Maschinenbedieners mit eigenvalues sind. Die Tatsache, dass nur bestimmte eigenvalues mit verbundenem eigenfunctions die Gleichung von Schrödinger befriedigen, führt zu einer natürlichen Basis für die Quant-Mechanik und das Periodensystem der Elemente, mit jedem ein zulässiger Energiestaat des Systems. Der Erfolg dieser Gleichung im Erklären der geisterhaften Eigenschaften von Wasserstoff wird als einer der großen Triumphe der Physik des 20. Jahrhunderts betrachtet.

Wegen der Natur des Maschinenbedieners von Hamiltonian sind seine eigenfunctions orthogonale Funktionen. Das ist nicht notwendigerweise der Fall für eigenfunctions anderer Maschinenbediener (wie das Beispiel, das oben erwähnt ist). Orthogonale Funktionen, haben Sie das Eigentum das

:

0 = \int f_i^ {*} f_j

</Mathematik>

wo

f_i^ {* }\

</Mathematik> ist der von verbundene Komplex

wann auch immer, in welchem Fall, wie man sagt, der Satz orthogonal ist. Außerdem ist es linear unabhängig.

Referenzen

• Methoden der Mathematischen Physik durch R. Courant, internationale Standardbuchnummer von D. Hilbert 0-471-50447-5 (Paperback des Bands 1) internationale Standardbuchnummer 0-471-50439-4 (Paperback des Bands 2) internationale Standardbuchnummer 0-471-17990-6 (Eingebundenes Buch)

Siehe auch

• Eigenvalue, Eigenvektor und eigenspace
• Lehrsatz von Hilbert-Schmidt
• Geisterhafte Theorie von gewöhnlichen Differenzialgleichungen
• Fester Punkt combinator