In der Mathematik ist ein Differenzialoperator ein als eine Funktion des Unterscheidungsmaschinenbedieners definierter Maschinenbediener. Es ist als Angelegenheit für die Notation zuerst nützlich, um Unterscheidung als eine abstrakte Operation zu betrachten, eine Funktion akzeptierend und einen anderen (im Stil einer höherwertigen Funktion in der Informatik) zurückgebend.

Dieser Artikel denkt hauptsächlich geradlinige Maschinenbediener, die der allgemeinste Typ sind. Jedoch bestehen nichtlineare Differenzialoperatoren, wie die Ableitung von Schwarzian auch.

Notationen

Der allgemeinste Differenzialoperator ist die Handlung, die Ableitung selbst zu nehmen. Allgemeine Notationen, für die erste Ableitung in Bezug auf eine Variable x zu nehmen, schließen ein:

: und.

Wenn

er die höheren, n-ten Ordnungsableitungen nimmt, kann der Maschinenbediener auch geschrieben werden:

: oder

Die Ableitung einer Funktion f eines Arguments x wird manchmal als jeder des folgenden gegeben:

::

Der Gebrauch und Entwicklung der D Notation werden Oliver Heaviside kreditiert, der Differenzialoperatoren der Form gedacht

hat:

in seiner Studie von Differenzialgleichungen.

Einer der am häufigsten gesehenen Differenzialoperatoren ist der Maschinenbediener von Laplacian, der durch definiert ist

:

Ein anderer Differenzialoperator ist der Θ Maschinenbediener oder theta Maschinenbediener, der durch definiert ist

:

Das wird manchmal auch den Gleichartigkeitsmaschinenbediener genannt, weil seine eigenfunctions die Monome in z sind:

:

In n Variablen wird dem Gleichartigkeitsmaschinenbediener durch gegeben

:

Als in einer Variable sind die eigenspaces von Θ die Räume von homogenen Polynomen.

Das Ergebnis, das Differenzial nach links und nach rechts, und der Unterschied anzuwenden, hat vorgeherrscht, als es den Differenzialoperatoren nach links und nach rechts angewandt hat, wird durch Pfeile wie folgt angezeigt:

:::

Solch eine Notation des bidirektionalen Pfeils wird oft verwendet, für den Wahrscheinlichkeitsstrom der Quant-Mechanik zu beschreiben.

Del

Der Differenzialoperator del ist ein wichtiger Vektor-Differenzialoperator. Es erscheint oft in der Physik in Plätzen wie die Differenzialform der Gleichungen von Maxwell. In dreidimensionalen Kartesianischen Koordinaten wird del definiert:

:

Del wird verwendet, um den Anstieg, die Locke, die Abschweifung und laplacian von verschiedenen Gegenständen zu berechnen.

Adjoint eines Maschinenbedieners

In Anbetracht eines geradlinigen Differenzialoperatoren T

:

der adjoint dieses Maschinenbedieners wird als der solcher Maschinenbediener dass definiert

:

wo die Notation für das Skalarprodukt oder Skalarprodukt verwendet wird. Diese Definition hängt deshalb von der Definition des Skalarprodukts ab.

Formeller adjoint in einer Variable

Im funktionellen Raum des Quadrats integrable Funktionen wird das Skalarprodukt durch definiert

:

Wenn man außerdem die Bedingung hinzufügt, dass f oder g für verschwinden, und man kann auch den adjoint von T durch definieren

:

Diese Formel hängt von der Definition des Skalarprodukts nicht ausführlich ab. Es wird deshalb manchmal als eine Definition des adjoint Maschinenbedieners gewählt. Wenn gemäß dieser Formel definiert wird, wird es den formellen adjoint von T. genannt

Ein (formell) selbst adjungierter Maschinenbediener ist ein seinem eigenen (formellen) adjoint gleicher Maschinenbediener.

Mehrere Variablen

Wenn Ω ein Gebiet in R und P ein Differenzialoperator auf Ω ist, dann wird der adjoint von P in L definiert (&Omega) durch die Dualität auf die analoge Weise:

:

weil alle L-Funktionen f, g glätten. Da glatte Funktionen in L dicht sind, definiert das den adjoint auf einer dichten Teilmenge von L: P ist ein dicht definierter Maschinenbediener.

Beispiel

Der Sturm-Liouville Maschinenbediener ist ein wohl bekanntes Beispiel eines formellen selbst adjungierten Maschinenbedieners. Diese zweite Ordnung geradliniger Differenzialoperator L kann in der Form geschrieben werden

:

Dieses Eigentum kann verwendend der formellen adjoint Definition oben bewiesen werden.

:

L^*u & {} = (-1) ^2 D^2 [(-p) u] + (-1) ^1 D [(-p') u] + (-1) ^0 (qu) \\

& {} =-d^2 (pu) + D (p'u) +qu \\

& {} = - (pu) + (p'u)' +qu \\

& {} =-pu-2p'u '-pu+pu+p'u' +qu \\

& {} =-p'u '-pu+qu \\

& {} = - (pu')' +qu \\

& {} = Lu

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Dieser Maschinenbediener ist zur Sturm-Liouville Theorie zentral, wo die eigenfunctions (Entsprechungen Eigenvektoren) dieses Maschinenbedieners betrachtet werden.

Eigenschaften von Differenzialoperatoren

Unterscheidung, ist d. h., geradlinig

::

wo f und g Funktionen sind, und einer Konstante zu sein.

Jedes Polynom in D mit Funktionskoeffizienten ist auch ein Differenzialoperator. Wir können auch Differenzialoperatoren durch die Regel zusammensetzen

:

Etwas Sorge ist dann erforderlich: Erstens müssen irgendwelche Funktionskoeffizienten im Maschinenbediener D differentiable so oft sein, wie die Anwendung von D verlangt. Um einen Ring solcher Maschinenbediener zu bekommen, müssen wir Ableitungen aller Ordnungen der verwendeten Koeffizienten annehmen. Zweitens wird dieser Ring nicht auswechselbar sein: Ein Maschinenbediener gD ist nicht dasselbe im Allgemeinen als Dg. Tatsächlich haben wir zum Beispiel die in der Quant-Mechanik grundlegende Beziehung:

:

Der Subring von Maschinenbedienern, die Polynome in D mit unveränderlichen Koeffizienten sind, ist im Vergleich, auswechselbar. Es kann ein anderer Weg charakterisiert werden: Es besteht aus den Maschinenbedienern der Übersetzung-invariant.

Die Differenzialoperatoren folgen auch dem Verschiebungslehrsatz.

Mehrere Variablen

Dieselben Aufbauten können mit partiellen Ableitungen, Unterscheidung in Bezug auf verschiedene Variablen ausgeführt werden, die Maschinenbediener verursachen, die pendeln (sieh Symmetrie der zweiten Ableitungen).

Koordinatenunabhängige Beschreibung

In der Differenzialgeometrie und algebraischen Geometrie ist es häufig günstig, eine koordinatenunabhängige Beschreibung von Differenzialoperatoren zwischen zwei Vektor-Bündeln zu haben. Lassen Sie E, und F, zwei Vektor-Bündel über einen differentiable sein, vervielfältigen M Ein von Abteilungen kartografisch darstellender R-linear wird gesagt, eine Kth-Ordnung geradliniger Differenzialoperator' wenn es Faktoren durch das Strahlbündel J (E) zu sein.

Mit anderen Worten, dort besteht des Vektoren geradlinig kartografisch darzustellen, stopft

:

solch dass

:

wo die Verlängerung ist, die zu jeder Abteilung von E sein K-Strahl vereinigt.

Das bedeutet gerade das für einen gegebenen Abteilungen s von E, dem Wert von P (s) an einem Punkt x &isin; M wird durch die Kth-Ordnung unendlich kleines Verhalten von s in x völlig bestimmt. Insbesondere deutet das an, dass P (s) (x) vom Keim von s in x bestimmt wird, der durch den Ausspruch ausgedrückt wird, dass Differenzialoperatoren lokal sind. Ein Foundational-Ergebnis ist der Lehrsatz von Peetre zeigend, dass das gegenteilige auch wahr ist: Jeder (geradlinige) lokale Maschinenbediener ist unterschiedlich.

Beziehung zur Ersatzalgebra

Eine gleichwertige aber rein algebraische Beschreibung von geradlinigen Differenzialoperatoren ist wie folgt: Eine R-linear Karte P ist eine Kth-Ordnung geradliniger Differenzialoperator, wenn für einen k + 1 glatte Funktionen wir haben

:

Hier wird die Klammer als der Umschalter definiert

:

Diese Charakterisierung von geradlinigen Differenzialoperatoren zeigt, dass sie besonderer mappings zwischen Modulen über eine Ersatzalgebra sind, dem Konzept erlaubend, als ein Teil der Ersatzalgebra gesehen zu werden.

Beispiele

• In Anwendungen auf die physischen Wissenschaften, Maschinenbediener wie das Maschinenbediener-Spiel von Laplace eine Hauptrolle in der Aufstellung und dem Lösen teilweiser Differenzialgleichungen.
• In der Differenzialtopologie Liegt die Außenableitung und abgeleitete Maschinenbediener haben innere Bedeutung.
• In der abstrakten Algebra berücksichtigt das Konzept einer Abstammung Generalisationen von Differenzialoperatoren, die den Gebrauch der Rechnung nicht verlangen. Oft werden solche Generalisationen in der algebraischen Geometrie und Ersatzalgebra verwendet. Siehe auch Strahl (Mathematik).

Geschichte

Der Begriffsschritt, einen Differenzialoperatoren als etwas Freistehendes zu schreiben, wird Louis François Antoine Arbogast 1800 zugeschrieben.

Siehe auch

• Unterschied-Maschinenbediener
• Delta-Maschinenbediener
• Elliptischer Maschinenbediener
• Bruchrechnung
• Differenzialoperator von Invariant
• Differenzialrechnung über Ersatzalgebra
• System von Lagrangian
• Geisterhafte Theorie