In der Mathematik sind der Maschinenbediener von Laplace oder Laplacian ein Differenzialoperator, der durch die Abschweifung des Anstiegs einer Funktion auf dem Euklidischen Raum gegeben ist. Es wird gewöhnlich durch die Symbole  angezeigt · ,  oder Δ. Der Laplacian ƒ (p) einer Funktion ƒ an einem Punkt ist p, bis zu einer Konstante abhängig von der Dimension, die Rate an der der durchschnittliche Wert ƒ über an p in den Mittelpunkt gestellte Bereiche, geht von &fnof ab; (p) weil wächst der Radius des Bereichs. In einem Kartesianischen Koordinatensystem wird Laplacian durch die Summe der zweiten partiellen Ableitungen der Funktion in Bezug auf jede unabhängige Variable gegeben. In anderen Koordinatensystemen wie zylindrische und kugelförmige Koordinaten hat Laplacian auch eine nützliche Form.

Der Maschinenbediener von Laplace wird nach dem französischen Mathematiker Pierre-Simon de Laplace (1749-1827) genannt, wer zuerst den Maschinenbediener auf die Studie der himmlischen Mechanik angewandt hat, wo der Maschinenbediener ein unveränderliches Vielfache der Massendichte gibt, wenn es auf ein gegebenes Gravitationspotenzial angewandt wird. Lösungen der Gleichung ƒ = 0, jetzt genannt die Gleichung von Laplace, sind die so genannten harmonischen Funktionen, und vertreten die möglichen Schwerefelder im freien Raum.

Der Laplacian kommt in Differenzialgleichungen vor, die viele physische Phänomene, wie elektrische und Gravitationspotenziale, die Verbreitungsgleichung für Hitze und Flüssigkeitsströmung, Welle-Fortpflanzung und Quant-Mechanik beschreiben. Der Laplacian vertritt die Flussdichte des Anstieg-Flusses einer Funktion. Zum Beispiel ist die Nettorate, an der sich eine in einer Flüssigkeit aufgelöste Chemikalie zu oder weg von einem Punkt bewegt, zu Laplacian der chemischen Konzentration an diesem Punkt proportional; ausgedrückt symbolisch ist die resultierende Gleichung die Verbreitungsgleichung. Aus diesen Gründen wird es in den Wissenschaften umfassend verwendet, um alle Arten von physischen Phänomenen zu modellieren. Der Laplacian ist der einfachste elliptische Maschinenbediener, und ist am Kern der Theorie von Hodge sowie den Ergebnissen von de Rham cohomology. In der Bildverarbeitung und Computervision ist der Maschinenbediener von Laplacian für verschiedene Aufgaben wie Tropfen und Flankenerkennung verwendet worden.

Definition

Der Laplace Maschinenbediener ist ein zweiter Ordnungsdifferenzialoperator im n-dimensional Euklidischen Raum, der als die Abschweifung definiert ist ( ·) des Anstiegs ( ƒ). So, wenn ƒ eine zweimal-differentiable reellwertige Funktion ist, dann wird Laplacian von ƒ durch definiert

Gleichwertig ist Laplacian von ƒ die Summe aller unvermischten zweiten partiellen Ableitungen in den Kartesianischen Koordinaten:

Als ein Differenzialoperator der zweiten Ordnung stellt der Maschinenbediener von Laplace C-Funktionen zu C-Funktionen für k  2 kartografisch dar. Der Ausdruck (oder gleichwertig) definiert einen Maschinenbediener, oder mehr allgemein einen Maschinenbediener für jeden offenen Satz Ω.

Motivation

Verbreitung

In der physischen Theorie der Verbreitung entsteht der Maschinenbediener von Laplace (über die Gleichung von Laplace) natürlich in der mathematischen Beschreibung des Gleichgewichts. Spezifisch, wenn u die Dichte am Gleichgewicht von etwas Menge wie eine chemische Konzentration ist, dann ist der Nettofluss von u durch die Grenze jedes glatten Gebiets V Null, vorausgesetzt dass es keine Quelle oder Becken innerhalb V gibt:

:

wo n die äußere Einheit ist, die zur Grenze V normal ist. Durch den Abschweifungslehrsatz,

:

Da das für alle glatten Gebiete V hält, kann es gezeigt werden, dass das einbezieht

:

Die linke Seite dieser Gleichung ist der Maschinenbediener von Laplace. Der Laplace Maschinenbediener selbst hat eine physische Interpretation für die Nichtgleichgewicht-Verbreitung als das Ausmaß, zu dem ein Punkt eine Quelle oder Becken der chemischen Konzentration, gewissermaßen gemacht genau durch die Verbreitungsgleichung vertritt.

Dichte hat zu einem Potenzial verkehrt

Wenn φ das elektrostatische Potenzial anzeigt, das zu einem Anklage-Vertrieb q vereinigt ist, dann wird der Anklage-Vertrieb selbst von Laplacian von φ gegeben:

Das ist eine Folge des Gesetzes von Gauss. Tatsächlich, wenn V ein glattes Gebiet ist, dann nach dem Gesetz von Gauss ist der Fluss des elektrostatischen Feldes E der Anklage eingeschlossen (in passenden Einheiten) gleich:

:

wo die erste Gleichheit die Tatsache verwendet, dass das elektrostatische Feld der Anstieg des elektrostatischen Potenzials ist. Der Abschweifungslehrsatz gibt jetzt

:

und da das für alle Gebiete V hält, folgt.

Dieselbe Annäherung deutet an, dass Laplacian des Gravitationspotenzials der Massenvertrieb ist. Häufig die Anklage (oder Masse) Vertrieb wird gegeben, und das verbundene Potenzial ist unbekannt. Die Entdeckung des potenziellen Funktionsthemas passenden Grenzbedingungen ist zum Lösen der Gleichung von Poisson gleichwertig.

Energieminimierung

Eine andere Motivation für Laplacian, der in der Physik erscheint, ist, dass Lösungen in Gebiet U Funktionen sind, die die Energie von Dirichlet funktionell stationär machen:

:

Um das zu sehen, nehmen Sie an

ist eine Funktion und

ist eine Funktion, die auf dem verschwindet

Grenze von U. Dann

:

\frac {d} {d\varepsilon }\\Großer |_ {\\varepsilon = 0} E (f +\varepsilon u)

\int_U \nabla f \cdot \nabla u \, \mathrm {d} x

- \int_U u \Delta f \mathrm {d} x

</Mathematik>

wo die letzte Gleichheit dem Verwenden die erste Identität von Green folgt.

Diese Berechnung zeigt dass wenn, dann

E ist um f stationär. Umgekehrt, wenn E stationärer ist

um f, dann durch das grundsätzliche Lemma der Rechnung von Schwankungen.

Koordinatenausdrücke

Zwei Dimensionen

Dem Laplace Maschinenbediener in zwei Dimensionen wird durch gegeben

:

wo x und y die Kartesianischen Standardkoordinaten des xy-plane sind.

In Polarkoordinaten,

:

\Delta f

&= {1 \over r} {\\teilweiser \over \partial r }\

\left (r {\\teilweiser f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2} {\\partial^2 f \over \partial \theta^2 }\\\

&= {1 \over r} {\\teilweiser f \over \partial r\

+ {\\partial^2 f \over \partial r^2 }\

+ {1 \over r^2} {\\partial^2 f \over \partial \theta^2 }\

.

\end {richten} {aus}

</Mathematik>

Drei Dimensionen

In drei Dimensionen ist es üblich, mit Laplacian in einer Vielfalt von verschiedenen Koordinatensystemen zu arbeiten.

In Kartesianischen Koordinaten,

:

\Delta f = \frac {\\partial^2 f\{\\teilweiser x^2} + \frac {\\partial^2 f\{\\teilweiser y^2} + \frac {\\partial^2 f\{\\teilweiser z^2}.

</Mathematik>

In zylindrischen Koordinaten,

:

{1 \over \rho} {\\teilweiser \over \partial \rho }\

\left (\rho {\\teilweiser f \over \partial \rho} \right)

+ {1 \over \rho^2} {\\partial^2 f \over \partial \theta^2 }\

+ {\\partial^2 f \over \partial z^2}.

</Mathematik>

In kugelförmigen Koordinaten:

:

{1 \over r^2} {\\teilweiser \over \partial r }\

\left (r^2 {\\teilweiser f \over \partial r} \right)

+ {1 \over R^2 \sin \varphi} {\\teilweiser \over \partial \varphi }\

\left (\sin \varphi {\\teilweiser f \over \partial \varphi} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\\partial^2 f \over \partial \theta^2}.

</Mathematik>

(hier vertritt θ den scheitelwinkligen Winkel und φ der Zenit-Winkel oder die Co-Breite).

In allgemeinen krummlinigen Koordinaten :

wo die Summierung über die wiederholten Indizes einbezogen wird.

N Dimensionen

In kugelförmigen Koordinaten in N Dimensionen, mit dem parametrization x = rθ  R mit r das Darstellen eines positiven echten Radius und θ ein Element des Einheitsbereichs S,

:

\frac {\\partial^2 f\{\\teilweiser r^2 }\

+ \frac {n-1} {r} \frac {\\teilweise f\{\\teilweiser r }\

+ \frac {1} {R^2} \Delta_ {S^ {n-1}} f

</Mathematik>

wo der Laplace-Beltrami Maschinenbediener auf (N&minus;1) - Bereich, bekannt als kugelförmiger Laplacian ist. Die zwei radialen Begriffe können als gleichwertig umgeschrieben werden

:

Demzufolge kann kugelförmiger Laplacian einer Funktion, die auf S  R definiert ist, als gewöhnlicher Laplacian der Funktion geschätzt werden, die zu R\{0} erweitert ist, so dass es entlang Strahlen unveränderlich, d. h., von der Grad-Null homogen ist.

Geisterhafte Theorie

Das Spektrum des Maschinenbedieners von Laplace besteht aus dem ganzen eigenvalues λ, für den es einen entsprechenden eigenfunction ƒ mit gibt

:

Wenn Ω ein begrenztes Gebiet in R dann ist, sind die eigenfunctions von Laplacian eine orthonormale Basis für den Raum von Hilbert L (&Omega). Dieses Ergebnis folgt im Wesentlichen aus dem geisterhaften Lehrsatz auf selbst adjungierten Kompaktmaschinenbedienern, die auf das Gegenteil von Laplacian angewandt sind (der, durch die Ungleichheit von Poincaré und Kondrakov kompakt ist, der Lehrsatz einbettet). Es kann auch gezeigt werden, dass die eigenfunctions ungeheuer differentiable Funktionen sind. Mehr allgemein halten diese Ergebnisse für den Laplace-Beltrami Maschinenbediener auf jeder Kompaktsammelleitung von Riemannian mit der Grenze, oder tatsächlich für das Problem von Dirichlet eigenvalue jedes elliptischen Maschinenbedieners mit glatten Koeffizienten auf einem begrenzten Gebiet. Wenn Ω der N-Bereich ist, sind die eigenfunctions von Laplacian die wohl bekannten kugelförmigen Obertöne.

Generalisationen

Laplace-Beltrami Maschinenbediener

Der Laplacian kann auch einem elliptischen Maschinenbediener genannt den Laplace-Beltrami auf einer Sammelleitung von Riemannian definierten Maschinenbediener verallgemeinert werden. Der Maschinenbediener von D'Alembert verallgemeinert einem Hyperbelmaschinenbediener auf Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen. Der Laplace-Beltrami Maschinenbediener, wenn angewandt, auf eine Funktion, ist die Spur von Jute der Funktion:

:

wo die Spur in Bezug auf das Gegenteil des metrischen Tensor genommen wird. Der Laplace-Beltrami Maschinenbediener kann auch einem Maschinenbediener verallgemeinert werden (auch hat den Laplace-Beltrami Maschinenbediener genannt), der auf Tensor-Feldern durch eine ähnliche Formel funktioniert.

Eine andere Generalisation des Maschinenbedieners von Laplace, der auf Pseudo-Riemannian-Sammelleitungen verfügbar ist, verwendet die Außenableitung, in Bezug auf die Laplacian als ausgedrückt wird

:

Hier ist d der codifferential, der auch mit dem Doppel-Hodge ausgedrückt werden kann. Mehr allgemein wird Laplacian auf Differenzialformen &alpha definiert; durch

:

Das ist als der Laplace-de Rham Maschinenbediener bekannt, der Laplace-Beltrami Maschinenbediener durch die Identität von Weitzenböck verbunden ist.

D'Alembertian

Der Laplacian kann auf bestimmte Weisen zu nicht-euklidischen Räumen verallgemeinert werden, wo es elliptisch, hyperbolisch, oder ultrahyperbolisch sein kann.

Im Raum von Minkowski wird der Laplace-Beltrami Maschinenbediener der Maschinenbediener von D'Alembert oder d'Alembertian:

:

\frac {1} {c^2} {\\Partial^2 \over \partial t^2 }\

-

{\\Partial^2 \over \partial x^2 }\

-

{\\Partial^2 \over \partial y^2 }\

-

{\\Partial^2 \over \partial z^2}.

</Mathematik>

Es ist die Verallgemeinerung des Maschinenbedieners von Laplace im Sinn, dass es der Differenzialoperator ist, der invariant unter der Isometrie-Gruppe des zu Grunde liegenden Raums ist und es auf den Maschinenbediener von Laplace, wenn eingeschränkt, auf die Zeit unabhängige Funktionen reduziert. Bemerken Sie, dass das gesamte Zeichen des metrischen hier solch gewählt wird, dass die Raumteile des Maschinenbedieners ein negatives Zeichen zulassen, das die übliche Tagung in der hohen Energiepartikel-Physik ist. Der Maschinenbediener von D'Alembert ist auch bekannt als der Welle-Maschinenbediener, weil es der Differenzialoperator ist, der in den Wellengleichungen erscheint, und es auch ein Teil der Gleichung von Klein-Gordon ist, die zur Wellengleichung im massless Fall abnimmt.

Der zusätzliche Faktor von c im metrischen ist in der Physik erforderlich, wenn Zeit und Raum in verschiedenen Einheiten gemessen wird; ein ähnlicher Faktor wäre erforderlich, wenn, zum Beispiel, die x Richtung in Metern gemessen würde, während die y Richtung in Zentimeter gemessen wurde. Tatsächlich arbeiten theoretische Physiker gewöhnlich in solchen Einheiten, dass c=1, um die Gleichung zu vereinfachen.

Siehe auch

• Der Vektor Maschinenbediener von Laplacian, eine Generalisation von Laplacian zu Vektorfeldern.
• Der Laplacian in der Differenzialgeometrie.
• Der getrennte Maschinenbediener von Laplace ist ein Analogon des begrenzten Unterschieds dauernden Laplacian, der auf Graphen und Bratrost definiert ist.
• Der Laplacian ist ein allgemeiner Maschinenbediener in der Bildverarbeitung und Computervision (sieh Laplacian von Gaussian, Tropfen-Entdecker, und erklettern Sie Raum).
• Die Liste von Formeln in der Geometrie von Riemannian enthält Ausdrücke für Laplacian in Bezug auf Symbole von Christoffel.
• Das Lemma von Weyl (Gleichung von Laplace)
• Der Lehrsatz von Earnshaw, der zeigt, dass stabile statische magnetische oder elektrostatische Gravitationssuspendierung unmöglicher ist
• Andere Situationen, in denen ein laplacian definiert wird, sind: Analyse auf fractals, Rechnung des zeitlichen Rahmens und getrennte Außenrechnung.
• Laplacian von Gaussian

Referenzen

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Links