In der Physik sind das Gesetz von Gauss, auch bekannt als der Fluss-Lehrsatz von Gauss, ein Gesetz, das den Vertrieb der elektrischen Anklage zum resultierenden elektrischen Feld verbindet.

Das Gesetz wurde von Carl Friedrich Gauss 1835 formuliert, aber wurde bis 1867 nicht veröffentlicht. Es ist eine der Gleichungen von vier Maxwell, die die Basis der klassischen Elektrodynamik, die anderen drei bilden, die das Gesetz von Gauss für den Magnetismus, das Gesetz von Faraday der Induktion und das Gesetz von Ampère mit der Korrektur von Maxwell sind. Das Gesetz von Gauss kann verwendet werden, um das Gesetz der Ampere-Sekunde, und umgekehrt abzuleiten.

Qualitative Beschreibung des Gesetzes

In Wörtern stellt das Gesetz von Gauss dass fest:

:The elektrischer Fluss durch jede geschlossene Oberfläche ist zur beiliegenden elektrischen Anklage proportional.

Das Gesetz von Gauss hat eine nahe mathematische Ähnlichkeit mit mehreren Gesetzen in anderen Gebieten der Physik, wie das Gesetz von Gauss für den Magnetismus und das Gesetz von Gauss für den Ernst. Tatsächlich kann jedes "Umgekehrt-Quadratgesetz" in einem dem Gesetz von Gauss ähnlichen Weg formuliert werden: Zum Beispiel ist das Gesetz von Gauss selbst zum Gesetz der Umgekehrt-Quadratampere-Sekunde im Wesentlichen gleichwertig, und das Gesetz von Gauss für den Ernst ist zum umgekehrt-quadratischen Newtonschen Gesetz des Ernstes im Wesentlichen gleichwertig.

Das Gesetz von Gauss kann verwendet werden, um zu demonstrieren, dass alle elektrischen Felder innerhalb eines Käfigs von Faraday eine elektrische Anklage haben. Das Gesetz von Gauss ist etwas einer elektrischen Entsprechung des Gesetzes von Ampère, das sich mit Magnetismus befasst.

Das Gesetz kann mathematisch mit der Vektor-Rechnung in der integrierten Form und Differenzialform ausgedrückt werden, beide sind gleichwertig, da sie durch den Abschweifungslehrsatz, auch genannt den Lehrsatz von Gauss verbunden sind. Jede dieser Formen kann auch der Reihe nach zwei Wege ausgedrückt werden: In Bezug auf eine Beziehung zwischen dem elektrischen Feld E und der elektrischen Gesamtanklage, oder in Bezug auf die elektrische Versetzung Feld D und die freie elektrische Anklage.

Gleichung, die E-Feld einschließt

Das Gesetz von Gauss kann mit entweder dem elektrischen Feld E oder der elektrischen Versetzung Feld D festgesetzt werden. Diese Abteilung zeigt einige der Formen mit E; die Form mit D ist unten, wie andere Formen mit E sind.

Integrierte Form

Das Gesetz von Gauss kann als ausgedrückt werden::

:

wo Φ der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche S ist, jeden Band V, Q einschließend, ist die Gesamtanklage, die innerhalb von S eingeschlossen ist, und ε ist die elektrische Konstante. Der elektrische Fluss Φ wird als ein Oberflächenintegral des elektrischen Feldes definiert:

:

wo E das elektrische Feld ist, ist dA ein Vektor, der ein unendlich kleines Element des Gebiets vertritt, und · vertritt das Punktprodukt von zwei Vektoren.

Da der Fluss als ein Integral des elektrischen Feldes definiert wird, wird dieser Ausdruck des Gesetzes von Gauss die integrierte Form genannt.

Die Verwendung der integrierten Form

Wenn das elektrische Feld überall bekannt ist, macht das Gesetz von Gauss es ziemlich leicht, im Prinzip den Vertrieb der elektrischen Anklage zu finden: Die Anklage in jedem gegebenen Gebiet kann durch die Integrierung des elektrischen Feldes abgeleitet werden, um den Fluss zu finden.

Jedoch, viel öfter, ist es das Rückproblem, das gelöst werden muss: Der elektrische Anklage-Vertrieb ist bekannt, und das elektrische Feld muss geschätzt werden. Das ist viel schwieriger, seitdem wenn Sie den Gesamtfluss durch eine gegebene Oberfläche wissen, die fast keine Information über das elektrische Feld gibt, konnte das (für alles wissen Sie), hineingehen und aus der Oberfläche in willkürlich komplizierten Mustern.

Eine Ausnahme ist, wenn es etwas Symmetrie in der Situation gibt, die das beauftragt, führt das elektrische Feld die Oberfläche auf eine gleichförmige Weise durch. Dann, wenn der Gesamtfluss bekannt ist, kann das Feld selbst an jedem Punkt abgeleitet werden. Allgemeine Beispiele von symmetries, die sich zum Gesetz von Gauss leihen, schließen zylindrische Symmetrie, planare Symmetrie und kugelförmige Symmetrie ein. Sieh den Artikel Gaussian für Beispiele erscheinen, wo diese symmetries ausgenutzt werden, um elektrische Felder zu schätzen.

Differenzialform

Durch die Abschweifung kann Lehrsatz-Gesetz von Gauss in der Differenzialform wechselweise geschrieben werden:

:

wo  · E ist die Abschweifung des elektrischen Versetzungsfeldes, und ρ ist die elektrische Gesamtanklage-Dichte.

Gleichwertigkeit von integrierten und unterschiedlichen Formen

Die integrierten und unterschiedlichen Formen sind durch den Abschweifungslehrsatz mathematisch gleichwertig. Hier ist das Argument mehr spezifisch.

:

Gleichung, die D-Feld einschließt

Freie, gebundene und ganze Anklage

Die elektrische Anklage, die in den einfachsten Lehrbuch-Situationen entsteht, würde als "freie Anklage" — zum Beispiel, die Anklage klassifiziert, die in der statischen Elektrizität oder der Anklage auf einem Kondensatorteller übertragen wird. Im Gegensatz "entsteht gebundene Anklage" nur im Zusammenhang des Dielektrikums (polarizable) Materialien. (Alle Materialien sind polarizable einigermaßen.), Wenn solche Materialien in ein elektrisches Außenfeld gelegt werden, bleiben die Elektronen bestimmt zu ihren jeweiligen Atomen, aber wechseln eine mikroskopische Entfernung als Antwort auf das Feld aus, so dass sie mehr auf einer Seite des Atoms sind als der andere. Alle diese mikroskopischen Versetzungen stimmen, um einen makroskopischen Nettoanklage-Vertrieb zu geben, und das setzt die "bestimmte Anklage" ein.

Obwohl mikroskopisch die ganze Anklage im Wesentlichen dasselbe ist, gibt es häufig praktische Gründe dafür, gebundene Anklage verschieden von der freien Anklage behandeln zu wollen. Das Ergebnis besteht darin, dass das Gesetz des "grundsätzlicheren" Gauss, in Bezug auf E (oben), manchmal in die gleichwertige Form unten gestellt wird, die in Bezug auf D und die freie Anklage nur ist.

Integrierte Form

Diese Formulierung des Gesetzes von Gauss setzt analog zur Gesamtanklage-Form fest:

:

wo Φ der D-Feldfluss durch eine Oberfläche S ist, der einen Band V einschließt, und Q die freie Anklage ist, die in V enthalten ist. Der Fluss Φ wird analog zum Fluss Φ des elektrischen Feldes E durch S definiert:

:

Differenzialform

Die Differenzialform des Gesetzes von Gauss, freie Anklage nur, Staaten einschließend:

:

wo  · D ist die Abschweifung des elektrischen Versetzungsfeldes, und ρ ist die freie elektrische Anklage-Dichte.

Gleichwertigkeit von ganzen und freien Anklage-Behauptungen

:

Gleichung für geradlinige Materialien

Im homogenen, dem isotropischen, nondispersive, den geradlinigen Materialien, gibt es eine einfache Beziehung zwischen E und D:

:

wo ε der permittivity des Materials ist. Für den Fall des Vakuums (auch bekannt als freier Raum), ε = ε. Unter diesen Verhältnissen modifiziert das Gesetz von Gauss zu

:

für die integrierte Form und

den:

für die Differenzialform.

Beziehung zum Gesetz der Ampere-Sekunde

Das Abstammen des Gesetzes von Gauss aus dem Gesetz der Ampere-Sekunde

Das Gesetz von Gauss kann aus dem Gesetz der Ampere-Sekunde abgeleitet werden.

:

Bemerken Sie, dass da das Gesetz der Ampere-Sekunde nur für stationäre Anklagen gilt, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass das Gesetz von Gauss hält, um Anklagen zu bewegen, die auf dieser Abstammung gestützt sind, allein. Tatsächlich hält das Gesetz von Gauss wirklich, um Anklagen zu bewegen, und in dieser Beziehung ist das Gesetz von Gauss allgemeiner als das Gesetz der Ampere-Sekunde.

Das Abstammen des Gesetzes der Ampere-Sekunde aus dem Gesetz von Gauss

Genau genommen kann das Gesetz der Ampere-Sekunde nicht aus dem Gesetz von Gauss allein abgeleitet werden, da das Gesetz von Gauss keine Information bezüglich der Locke von E gibt (sieh Zergliederung von Helmholtz und das Gesetz von Faraday). Jedoch kann das Gesetz der Ampere-Sekunde aus dem Gesetz von Gauss bewiesen werden, wenn es außerdem angenommen wird, dass das elektrische Feld von einer Punkt-Anklage kugelförmig symmetrisch ist (diese Annahme, wie das Gesetz der Ampere-Sekunde selbst, ist genau wahr, wenn die Anklage stationär, und ungefähr wahr ist, wenn die Anklage in der Bewegung ist).

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Siehe auch

• Die Methode des Images belädt
• Einzigartigkeitslehrsatz für die Gleichung von Poisson

Referenzen

Jackson, John David (1999). Klassische Elektrodynamik, 3. Hrsg., New York: Wiley. Internationale Standardbuchnummer 0 471 30932 X.

Links

• MIT Videovortrag-Reihe (30 x 50-minutige Vorträge) - Elektrizität und durch Professor Walter Lewin Unterrichteter Magnetismus.
• Abteilung auf dem Gesetz von Gauss in einem Online-Lehrbuch
• Das Gesetz von Gauss für die Kugelförmige Symmetrie (PDF Datei) durch Peter Signell für Projekt-PHYSNET.
• Das Gesetz von Gauss, das zum Zylindrischen und Planaren Anklage-Vertrieb] (PDF Datei) durch Peter Signell für Projekt-PHYSNET angewandt ist.