In der Differenzialgeometrie erweitert die Außenableitung das Konzept des Differenzials einer Funktion, die eine 1 Form zu Differenzialformen des höheren Grads ist. Seine aktuelle Form wurde von Élie Cartan erfunden.

Die Außenableitung d hat das Eigentum das und ist das Differenzial (coboundary) hat gepflegt, de Rham cohomology auf Formen zu definieren. Die Integration von Formen gibt einen natürlichen Homomorphismus vom de Rham cohomology zum einzigartigen cohomology einer glatten Sammelleitung. Der Lehrsatz von de Rham zeigt, dass diese Karte wirklich ein Isomorphismus ist. In diesem Sinn ist die Außenableitung die "Doppel-" von der Grenzkarte auf einzigartigem simplices.

Definition

Die Außenableitung einer Differenzialform des Grads k ist eine Differenzialform des Grads Es gibt eine Vielfalt von gleichwertigen Definitionen der Außenableitung.

Außenableitung einer Funktion

Wenn ƒ eine glatte Funktion ist, dann ist die Außenableitung von ƒ das Differenzial von ƒ. D. h. dƒ ist die einzigartige solche eine Form, dass für jedes glatte Vektorfeld X, wo Xƒ die Richtungsableitung von ƒ in der Richtung auf X ist. So ist die Außenableitung einer Funktion (oder 0-Formen-) eine eine Form.

Außenableitung einer K-Form

Die Außenableitung wird definiert, um der einzigartige R-linear zu sein, der von K-Formen bis (k+1) - Formen kartografisch darstellt, die die folgenden Eigenschaften befriedigen:

1. dƒ ist das Differenzial von ƒ für den glatten Funktions-ƒ.

1. für jeden glatten Funktions-ƒ.

1. wo α eine P-Form ist. Das heißt, ist d eine Antiabstammung des Grads 1 auf der Außenalgebra von Differenzialformen.

Das zweite Definieren-Eigentum hält in mehr Allgemeinheit: tatsächlich, für jede K-Form α. Das ist ein Teil des Lemmas von Poincaré. Das dritte Definieren-Eigentum bezieht als ein spezieller Fall dass ein, wenn ƒ eine Funktion und α eine K-Form ist, dann verkeilen \wedge \text {d} ^2x^ {i_p} \wedge \text {d} x^ {i_ {p+1} }\\\cdots

\wedge \text {d} x^ {i_k }\

</Mathematik>::

= \text {d} f_I \wedge \text {d} X^ {i_1} \wedge \cdots \wedge \text {d} X^ {i_k}

</Mathematik>::

= \sum_ {i=1} ^n \frac {\\teilweiser f_I} {\\teilweiser x^i} \text {d} X^i \wedge \text {d} X^ {i_1} \wedge \cdots \wedge \text {d} x^ {i_k }\

</Mathematik>

Hier haben wir hier ƒ als eine Nullform interpretiert, und dann die Eigenschaften der Außenableitung angewandt.

Formel von Invariant

Wechselweise kann eine ausführliche Formel für die Außenableitung einer K-Form ω, wenn paarweise angeordnet, mit k+1 willkürlichen glatten Vektorfeldern V, V..., V gegeben werden:

:::

wo anzeigt, Liegen Klammer und der Hut zeigen die Weglassung dieses Elements an:

:

Insbesondere für 1 Formen haben wir: wo X und Y Vektorfelder sind.

Beispiele

1

Ziehen Sie über eine 1-Form-Basis in Betracht.

Die Außenableitung ist:

:

::

::

Die letzte Formel folgt leicht von den Eigenschaften des Keil-Produktes. Nämlich.

2

Für eine über R definierte 1 Form. Wir haben, indem Sie die obengenannte Formel auf jeden Begriff anwenden (ziehen Sie in Betracht und) die folgende Summe,

:

\left (\sum_ {ich

1\^2 \frac {\\teilweise u\{\\teilweiser x^i} \text {d} X^i \wedge \text {d} x \right) + \left (\sum_ {i=1} ^2 \frac {\\teilweiser v} {\\teilweiser x^i} \text {d} X^i \wedge \text {d} y \right) </Mathematik>

::::::

Weitere Eigenschaften

Geschlossene und genaue Formen

Differenzialformen im Kern von d werden geschlossene Formen genannt. Das Image von d wird genaue Formen genannt. Geschlossene und genaue Formen, sind wegen der Identität für jede K-Form α verbunden. Das deutet an, dass jede genaue Form geschlossen wird. Das gegenteilige ist in contractible Gebieten durch das Lemma von Poincaré wahr.

Naturality

Die Außenableitung ist natürlich. Wenn eine glatte Karte ist und Ω glatter functor der Kontravariante ist, der jeder Sammelleitung den Raum von K-Formen auf der Sammelleitung zuteilt, dann tauscht das folgende Diagramm ein

so, wo ƒ * das Hemmnis von ƒ anzeigt. Das folgt aus diesem ƒ *ω (·), definitionsgemäß, ist ω(ƒ (·)), ƒ, der der pushforward von ƒ ist. So ist d eine natürliche Transformation von Ω bis Ω.

Die Außenableitung in der Rechnung

Die meisten Vektor-Rechnungsmaschinenbediener sind spezielle Fälle dessen, oder haben nahe Beziehungen zu, der Begriff der Außenunterscheidung.

Anstieg

Eine glatte Funktion f: R  ist R ein 0-Formen-. Die Außenableitung davon 0-Formen-ist die 1 Form

:

D. h. der Form-dƒ folgt jedem Vektorfeld V durch outputting, an jedem Punkt, dem Skalarprodukt V mit dem Anstieg  ƒ von ƒ.

Der 1-Form-dƒ ist eine Abteilung des Kotangens-Bündels, das eine lokale geradlinige Annäherung an den ƒ im Kotangens-Raum an jedem Punkt gibt.

Abschweifung

Ein Vektorfeld V = (v, v... v) auf R hat ein Entsprechen (n-1) - bilden

:</Mathematik>:

wo die Weglassung dieses Elements anzeigt.

(Zum Beispiel, wenn n = 3, im dreidimensionalen Raum, der 2-Formen-ω lokal das dreifache Skalarprodukt mit V. ist), ist Das Integral von ω über eine Hyperoberfläche der Fluss V über diese Hyperoberfläche.

Die Außenableitung davon (n&minus;1) - Form ist die N-Form

:

Locke

Ein Vektorfeld V auf R hat auch eine entsprechende 1 Form

:

Lokal ist η das Punktprodukt mit V. Das Integral von η entlang einem Pfad ist die geleistete Arbeit gegen-V entlang diesem Pfad.

Wenn n = 3, im dreidimensionalen Raum, der Außenableitung der 1 Form η der 2-Formen-ist

:

Formulierungen von Invariant des Studenten im Aufbaustudium, der Locke, div, und Laplacian

Die drei Maschinenbediener können oben in der koordinatenfreien Notation wie folgt geschrieben werden:

:

\begin {Reihe} {rcccl }\

\operatorname {Student im Aufbaustudium} (f) &=& \nabla f &=& \left ({\\mathbf d} f \right) ^\\scharf \\

\operatorname {div} (F) &=& \nabla \cdot F &=& \star {\\mathbf d\\left (\star F^\\Wohnung \right) \\

\operatorname {Locke} (F) &=& \nabla \times F &=& \left [\star \left ({\\mathbf d} F^\\Wohnung \right) \right] ^\\scharf, \\

\Delta f &=& \nabla^2 f &=& \star {\\mathbf d\\left (\star {\\mathbf d} f \right) \\

\end {ordnen }\

</Mathematik>

wo der Sternmaschinenbediener von Hodge ist und und der Musikisomorphismus sind.

Siehe auch

• Kovariante Außenableitung
• Komplex von de Rham
• Getrennte Außenrechnung
• Der Lehrsatz des Grüns
• Lügen Sie Ableitung
• Der Lehrsatz von Stokes