In der Mathematik, dem Außenprodukt oder Keil-Produkt von Vektoren ist ein algebraischer in der Euklidischen Geometrie verwendeter Aufbau, um Gebiete, Volumina und ihre hoch-dimensionalen Analoga zu studieren. Das Außenprodukt von zwei Vektoren u und v, der durch u  v angezeigt ist, wird einen bivector genannt, und Leben in einem Raum haben das Außenquadrat, ein geometrischer Vektorraum genannt, der sich vom ursprünglichen Raum von Vektoren unterscheidet. Der Umfang von u  v kann als das Gebiet des Parallelogramms mit Seiten u und v interpretiert werden, der in drei Dimensionen auch mit dem Kreuzprodukt der zwei Vektoren geschätzt werden kann. Auch wie das Kreuzprodukt ist das Außenprodukt antiauswechselbar, das für alle Vektoren u und v bedeutend. Eine Weise, sich einen bivector zu vergegenwärtigen, ist als eine Familie von Parallelogrammen das ganze Lügen in demselben Flugzeug, den gemeinsamen Bereich, und mit derselben Orientierung ihrer Grenz-A-Wahl im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn habend. Wenn betrachtet, auf diese Weise wird das Außenprodukt von zwei Vektoren einen 2-Klingen-genannt. Mehr allgemein kann das Außenprodukt jeder Nummer k von Vektoren definiert werden und wird manchmal eine K-Klinge genannt. Es lebt in einem geometrischen als die k-th Außenmacht bekannten Raum. Der Umfang der resultierenden K-Klinge ist das Volumen des k-dimensional parallelotope, dessen Seiten die gegebenen Vektoren sind, gerade als der Umfang des dreifachen Skalarproduktes von Vektoren in drei Dimensionen das Volumen des durch jene Vektoren abgemessenen parallelepiped gibt.

Die Außenalgebra oder Algebra von Grassmann nach Hermann Grassmann, ist das algebraische System, dessen Produkt das Außenprodukt ist. Die Außenalgebra stellt eine algebraische Einstellung zur Verfügung, in der man auf geometrische Fragen antwortet. Zum Beispiel, wohingegen Klingen eine konkrete geometrische Interpretation haben, können Gegenstände in der Außenalgebra gemäß einer Reihe eindeutiger Regeln manipuliert werden. Die Außenalgebra enthält Gegenstände, die nicht nur K-Klingen, aber Summen von K-Klingen sind; solch eine Summe wird einen K-Vektoren genannt. Die K-Klingen, weil sie einfache Produkte von Vektoren sind, werden die einfachen Elemente der Algebra genannt. Die Reihe jedes Elements der Außenalgebra wird definiert, um die kleinste Zahl von einfachen Elementen zu sein, von denen es eine Summe ist. Das Außenprodukt streckt sich bis zu die volle Außenalgebra aus, so dass es Sinn hat, irgendwelche zwei Elemente der Algebra zu multiplizieren. Ausgestattet mit diesem Produkt ist die Außenalgebra eine assoziative Algebra, was das für irgendwelche Elemente α, β, γ bedeutet. Die K-Vektoren haben Grad k, bedeutend, dass sie Summen von Produkten von k Vektoren sind. Wenn Elemente von verschiedenen Graden multipliziert werden, tragen die Grade wie Multiplikation von Polynomen bei. Das bedeutet, dass die Außenalgebra eine abgestufte Algebra ist.

In einem genauen Sinn, der dadurch gegeben ist, was als ein universaler Aufbau bekannt ist, ist die Außenalgebra die größte Algebra, die ein Wechselprodukt auf Vektoren unterstützt, und in Bezug auf andere bekannte Gegenstände wie Tensor leicht definiert werden kann. Die Definition der Außenalgebra hat Sinn für Räume nicht nur geometrischer Vektoren, aber anderer einem Vektoren ähnlicher Gegenstände wie Vektorfelder oder Funktionen. In der vollen Allgemeinheit kann die Außenalgebra für Module über einen Ersatzring, und für andere Strukturen von Interesse in der abstrakten Algebra definiert werden. Es ist einer dieser allgemeineren Aufbauten, wo die Außenalgebra eine seiner wichtigsten Anwendungen findet, wo es als die Algebra von Differenzialformen erscheint, die in Gebieten diese Gebrauch-Differenzialgeometrie grundsätzlich ist. Differenzialformen sind mathematische Gegenstände, die unendlich kleine Gebiete von unendlich kleinen Parallelogrammen (und hoch-dimensionale Körper) vertreten, und so über Oberflächen und höhere dimensionale Sammelleitungen in einem Weg integriert werden können, der die Linienintegrale von der Rechnung verallgemeinert. Die Außenalgebra hat auch viele algebraische Eigenschaften, die sie ein günstiges Werkzeug in der Algebra selbst machen. Die Vereinigung der Außenalgebra zu einem Vektorraum ist ein Typ von functor auf Vektorräumen, was bedeutet, dass es auf eine bestimmte Weise mit geradlinigen Transformationen von Vektorräumen vereinbar ist. Die Außenalgebra ist ein Beispiel eines bialgebra, bedeutend, dass sein Doppelraum auch ein Produkt besitzt, und dieses Doppelprodukt mit dem Keil-Produkt vereinbar ist. Diese Doppelalgebra ist genau die Algebra, mehrgeradlinige Formen auf V abwechseln zu lassen, und die Paarung zwischen der Außenalgebra und seinem Doppel-wird durch das Innenprodukt gegeben.

Das Motivieren von Beispielen

Gebiete im Flugzeug

Das Kartesianische Flugzeug R ist ein Vektorraum, der mit einer Basis ausgestattet ist, die aus einem Paar von Einheitsvektoren besteht

:

Nehmen Sie das an

:

sind ein Paar von gegebenen Vektoren in R, der in Bestandteilen geschrieben ist. Es gibt ein einzigartiges Parallelogramm, das v und w als zwei seiner Seiten hat. Das Gebiet dieses Parallelogramms wird durch die bestimmende Standardformel gegeben:

:

Denken Sie jetzt das Außenprodukt von v und w:

:\begin {richten }\aus

{\\mathbf v }\\verkeilen {\\mathbf w\& = (ein {\\mathbf e} _1 + b {\\mathbf e\_2) \wedge (c {\\mathbf e} _1 + d {\\mathbf e\_2) \\

& = ac {\\mathbf e\_1\wedge {\\mathbf e\_1 + Anzeige {\\mathbf e\_1\wedge {\\mathbf e\_2+bc {\\mathbf e\_2\wedge {\\mathbf e\_1+bd {\\mathbf e\_2\wedge {\\mathbf e\_2 \\

& = (Anzeige-bc) {\\mathbf e\_1\wedge {\\mathbf e\_2

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo der erste Schritt das verteilende Gesetz für das Keil-Produkt und den letzten Gebrauch die Tatsache verwendet, dass das Keil-Produkt abwechselt, und insbesondere. Bemerken Sie, dass der Koeffizient in diesem letzten Ausdruck genau die Determinante der Matrix ist. Die Tatsache, dass das positiv sein kann oder negatives, hat das intuitive Meinen, dass v und w in gegen den Uhrzeigersinn oder im Uhrzeigersinn Sinn als die Scheitelpunkte des Parallelogramms orientiert werden können, das sie definieren. Solch ein Gebiet wird das unterzeichnete Gebiet des Parallelogramms genannt: Der absolute Wert des unterzeichneten Gebiets ist das gewöhnliche Gebiet, und das Zeichen bestimmt seine Orientierung.

Die Tatsache, dass dieser Koeffizient das unterzeichnete Gebiet ist, ist nicht ein Unfall. Tatsächlich ist es relativ leicht zu sehen, dass das Außenprodukt mit dem unterzeichneten Gebiet verbunden sein sollte, wenn man zu axiomatize dieses Gebiet als eine algebraische Konstruktion versucht. Im Detail, wenn das unterzeichnete Gebiet des Parallelogramms anzeigt, das vom Paar von Vektoren v und w bestimmt ist, dann muss A die folgenden Eigenschaften befriedigen:

1. (jv, Kilowatt) = j k (v, w) für irgendwelche reellen Zahlen j und k, seit dem Wiederschuppen von jeder der Seiten erklettert das Gebiet durch denselben Betrag wieder (und das Umkehren der Richtung von einer der Seiten kehrt die Orientierung des Parallelogramms um).
2. (v, v) = 0, da ist das Gebiet des degenerierten Parallelogramms, das durch v (d. h., ein Liniensegment) bestimmt ist, Null.
3. (w, v) = A (v, w), seit dem Austauschen der Rollen von v und w kehrt die Orientierung des Parallelogramms um.
4. (v + jw, w) = (v, w), für echten j, seit dem Hinzufügen eines Vielfaches von w zu v betrifft weder die Basis noch die Höhe des Parallelogramms und bewahrt folglich sein Gebiet.
5. (e, e) = 1, da das Gebiet des Einheitsquadrats dasjenige ist.

Mit Ausnahme vom letzten Eigentum befriedigt das Keil-Produkt dieselben formellen Eigenschaften wie das Gebiet. Im gewissen Sinne verallgemeinert das Keil-Produkt das Endeigentum, indem es dem Gebiet eines Parallelogramms erlaubt wird, im Vergleich zu diesem jedes "Standards" gewähltes Parallelogramm (hier, dasjenige mit Seiten e und e) zu sein. Mit anderen Worten stellt das Außenprodukt in zwei Dimensionen eine basisunabhängige Formulierung des Gebiets zur Verfügung.

Kreuz und dreifache Produkte

Für Vektoren in R ist die Außenalgebra nah mit dem Kreuzprodukt und dreifachen Produkt verbunden. Mit der Standardbasis {e, e, e}, das Keil-Produkt eines Paares von Vektoren

:

und

:

ist

:

wo {e Λ e, e Λ e, e Λ e} die Basis für den dreidimensionalen Raum Λ (R) ist. Das imitiert die übliche Definition des Kreuzproduktes von Vektoren in drei Dimensionen.

Das Holen in einem dritten Vektoren

:

das Keil-Produkt von drei Vektoren ist

:

wo e Λ e Λ e der Basisvektor für den eindimensionalen Raum Λ (R) ist. Das imitiert die übliche Definition des dreifachen Produktes.

Das Kreuzprodukt und dreifache Produkt in drei Dimensionen lässt jeder sowohl geometrische als auch algebraische Interpretationen zu. Das Kreuzprodukt kann als ein Vektor interpretiert werden, der sowohl auf u als auch auf v rechtwinklig ist, und dessen Umfang dem Gebiet des durch die zwei Vektoren bestimmten Parallelogramms gleich ist. Es kann auch als der Vektor interpretiert werden, der aus den Minderjährigen der Matrix mit Spalten u und v besteht. Das dreifache Produkt von u, v, und w sind geometrisch ein (unterzeichnetes) Volumen. Algebraisch ist es die Determinante der Matrix mit Spalten u, v und w. Das Außenprodukt in drei Dimensionen berücksichtigt ähnliche Interpretationen. Tatsächlich, in Gegenwart von einer positiv orientierten orthonormalen Basis, verallgemeinert das Außenprodukt diese Begriffe zu höheren Dimensionen.

Formelle Definitionen und algebraische Eigenschaften

Die Außenalgebra Λ (V) über einen Vektorraum V über Feld K wird als die Quotient-Algebra der Tensor-Algebra durch das zweiseitige Ideal definiert, das ich durch alle Elemente der solcher Form dass erzeugt habe. Symbolisch,

:

Das Keil-Produkt  zwei Elemente von Λ (V) wird durch definiert

:

Anticommutativity des Keil-Produktes

Das Keil-Produkt wechselt auf Elementen V ab, was das für alle bedeutet. Hieraus folgt dass das Produkt auch auf Elementen V, weil angenommen, dass, antiauswechselbar

ist:

folglich

:

Umgekehrt folgt es aus dem anticommutativity des Produktes, das das Produkt abwechseln lässt, wenn K charakteristische zwei nicht hat.

Mehr allgemein, wenn x, x..., x Elemente V sind, und σ eine Versetzung der ganzen Zahlen [1..., k], dann ist

:

wo sgn (σ) die Unterschrift der Versetzung σ ist.

Die Außenmacht

Die kth Außenmacht V, angezeigter Λ (V), ist der Vektor-Subraum von Λ (V) abgemessen durch Elemente der Form

:

Wenn, dann, wie man sagt, ist α ein K-Mehrvektor. Wenn, außerdem, α als ein Keil-Produkt von k Elementen V ausgedrückt werden kann, dann, wie man sagt, ist α zerlegbar. Obwohl zerlegbare Mehrvektoren Λ (V), nicht abmessen, ist jedes Element von Λ (V) zerlegbar. Zum Beispiel, in R, ist der folgende 2-Mehrvektoren-nicht zerlegbar:

:

(Das ist tatsächlich eine Symplectic-Form, seitdem α  α  0.)

Basis und Dimension

Wenn die Dimension V n und {e ist..., e} ist eine Basis V, dann der Satz

:

ist eine Basis für Λ (V). Der Grund ist der folgende: in Anbetracht jedes Keil-Produktes der Form

:

dann kann jeder Vektor v als eine geradlinige Kombination der Basisvektoren e geschrieben werden; mit dem bilinearity des Keil-Produktes kann das zu einer geradlinigen Kombination von Keil-Produkten jener Basisvektoren ausgebreitet werden. Jedes Keil-Produkt, in dem derselbe Basisvektor mehr erscheint als ist einmal, Null; jedes Keil-Produkt, in dem die Basisvektoren in der richtigen Ordnung nicht erscheinen, kann wiederbestellt werden, das Zeichen ändernd, wann auch immer zwei Basisvektoren Plätze ändern. Im Allgemeinen können die resultierenden Koeffizienten der BasisK-Vektoren als die Minderjährigen der Matrix geschätzt werden, die die Vektoren v in Bezug auf die Basis e beschreibt.

Durch das Zählen der Basiselemente ist die Dimension von Λ (V) einem binomischen Koeffizienten gleich:

:

Insbesondere Λ (V) = {0} für k> n.

Jedes Element der Außenalgebra kann als eine Summe von Mehrvektoren geschrieben werden. Folglich, als ein Vektorraum ist die Außenalgebra eine direkte Summe

:

(wo durch die Tagung Λ (V) = K und Λ (V) = V), und deshalb seine Dimension der Summe der binomischen Koeffizienten gleich ist, die 2 ist.

Reihe eines Mehrvektoren

Wenn α  Λ (V), dann ist es möglich, α als eine geradlinige Kombination von zerlegbaren Mehrvektoren auszudrücken:

:

wo jeder α zerlegbar ist, sagen Sie

:

Die Reihe des Mehrvektoren α ist die minimale Zahl von zerlegbaren Mehrvektoren in solch einer Vergrößerung von α. Das ist dem Begriff der Tensor-Reihe ähnlich.

Reihe ist in der Studie von 2 Mehrvektoren besonders wichtig. Die Reihe eines 2-Mehrvektoren-α kann mit der Hälfte der Reihe der Matrix von Koeffizienten von α in einer Basis identifiziert werden. So, wenn e eine Basis für V ist, dann kann α einzigartig als ausgedrückt werden

:

wo = a (ist die Matrix von Koeffizienten - symmetrisch verdrehen). Die Reihe der Matrix deshalb sogar zu sein, und ist zweimal die Reihe der Form α.

In der Eigenschaft 0 hat der 2-Mehrvektoren-α Reihe p wenn und nur wenn

:und:

Abgestufte Struktur

Das Keil-Produkt eines K-Mehrvektoren mit einem P-Mehrvektoren ist (k+p)-multivector, wieder bilinearity anrufend. Demzufolge, die Zergliederung der direkten Summe der vorhergehenden Abteilung

:

gibt der Außenalgebra die zusätzliche Struktur einer abgestuften Algebra. Symbolisch,

:

Außerdem wird das Keil-Produkt antiauswechselbar sortiert, dass wenn α  Λ (V) und β  Λ (V), dann bedeutend

:

Zusätzlich zum Studieren der abgestuften Struktur auf der Außenalgebra, zusätzlichen abgestuften Strukturen von Studien auf Außenalgebra, wie diejenigen auf der Außenalgebra eines abgestuften Moduls (ein Modul, das bereits seinen eigenen schrittweisen Übergang trägt).

Universales Eigentum

Lassen Sie V ein Vektorraum über Feld K sein. Informell wird die Multiplikation in Λ (V) durch die Manipulierung von Symbolen und das Auferlegen eines verteilenden Gesetzes, eines assoziativen Gesetzes, und das Verwenden der Identität v  v = 0 für v  V durchgeführt. Formell, Λ (V) ist die "allgemeinste" Algebra, in der diese Regeln für die Multiplikation im Sinn halten, dass jede unital assoziative K-Algebra, die V mit der Wechselmultiplikation auf V enthält, ein homomorphic Image von Λ (V) enthalten muss. Mit anderen Worten hat die Außenalgebra das folgende universale Eigentum:

In Anbetracht jeder unital assoziativen K-Algebra stellen A und jeder K-linear solch kartografisch dar, dass für jeden v in V, dann dort genau ein unital Algebra-Homomorphismus solch das für den ganzen v in V besteht.

Um die allgemeinste Algebra zu bauen, die V enthält, und dessen Multiplikation auf V abwechselt, ist es natürlich, mit der allgemeinsten Algebra anzufangen, die V, die Tensor-Algebra T (V) enthält, und dann machen Sie das Wechseleigentum geltend, indem Sie einen passenden Quotienten nehmen. Wir nehmen so das zweiseitige Ideal I in T (V) erzeugt durch alle Elemente der Form vv für v in V, und definieren Λ (V) als der Quotient

:

(und verwenden Sie Λ als das Symbol für die Multiplikation in Λ (V)). Es ist dann aufrichtig, um zu zeigen, dass Λ (V) V enthält und das obengenannte universale Eigentum befriedigt.

Demzufolge dieses Aufbaus, der Operation des Zuweisens einem Vektorraum ist V seine Außenalgebra Λ (V) ein functor von der Kategorie von Vektorräumen zur Kategorie von Algebra.

Anstatt Λ (V) erst zu definieren und dann die Außenmächte Λ (V) als bestimmte Subräume zu identifizieren, kann man die Räume Λ (V) erst wechselweise definieren und sie dann verbinden, um die Algebra Λ (V) zu bilden. Diese Annäherung wird häufig in der Differenzialgeometrie verwendet und wird in der folgenden Abteilung beschrieben.

Generalisationen

In Anbetracht eines Ersatzrings R und eines R-Moduls M können wir die Außenalgebra Λ (M) gerade als oben, als ein passender Quotient der Tensor-Algebra T (M) definieren. Es wird das analoge universale Eigentum befriedigen. Viele der Eigenschaften von Λ (M) verlangen auch, dass M ein projektives Modul ist. Wo begrenzt-dimensionality, wird verwendet, die Eigenschaften verlangen weiter, dass M begrenzt erzeugt und projektiv wird. Generalisationen zu den allgemeinsten Situationen können darin gefunden werden.

Außenalgebra von Vektor-Bündeln werden oft in der Geometrie und Topologie betrachtet. Es gibt keine wesentlichen Unterschiede zwischen den algebraischen Eigenschaften der Außenalgebra von endlich-dimensionalen Vektor-Bündeln und derjenigen der Außenalgebra begrenzt erzeugter projektiver Module durch den Serre-Schwan-Lehrsatz. Allgemeinere Außenalgebra können für Bündel von Modulen definiert werden.

Dualität

Wechselmaschinenbediener

In Anbetracht zwei Vektorräume V und X sind ein Wechselmaschinenbediener (oder antisymmetrischer Maschinenbediener) von V bis X eine mehrgeradlinige Karte

:

solch das, wann auch immer v..., v lineare abhängig Vektoren in V, dann sind

:

Ein wohl bekanntes Beispiel ist die Determinante, ein Wechselmaschinenbediener von (K) bis K.

Die Karte

:

der zu k Vektoren von V ihrem Keil-Produkt, d. h. ihrem entsprechenden K-Vektoren verkehrt, wechselt auch ab. Tatsächlich ist diese Karte der "allgemeinste" Wechselmaschinenbediener, der auf V definiert ist: In Anbetracht jedes anderen Wechselmaschinenbedieners, dort besteht eine einzigartige geradlinige Karte damit. Dieses universale Eigentum charakterisiert den Raum Λ (V) und kann als seine Definition dienen.

Das Wechseln mehrgeradliniger Formen

Die obengenannte Diskussion spezialisiert sich zum Fall wenn, das Grundfeld. In diesem Fall eine mehrgeradlinige Wechselfunktion

:

wird eine mehrgeradlinige Wechselform genannt. Der Satz aller mehrgeradlinigen Wechselformen ist ein Vektorraum, weil die Summe von zwei solchen Karten oder das Produkt solch einer Karte mit einem Skalar, wieder abwechselt. Durch das universale Eigentum der Außenmacht ist der Raum, Formen des Grads k auf V abwechseln zu lassen, mit dem Doppelvektorraum (ΛV) natürlich isomorph. Wenn V endlich-dimensional ist, dann ist der Letztere zu Λ (V) natürlich isomorph. Insbesondere die Dimension des Raums von antisymmetrischen Karten von V bis K ist der binomische Koeffizient n wählen k.

Unter dieser Identifizierung nimmt das Keil-Produkt eine konkrete Form an: Es erzeugt eine neue antisymmetrische Karte von zwei gegebenen. Denken Sie, und sind zwei antisymmetrische Karten. Als im Fall von Tensor-Produkten von mehrgeradlinigen Karten ist die Zahl von Variablen ihres Keil-Produktes die Summe der Zahlen ihrer Variablen. Es wird wie folgt definiert:

:

wo der Wechsel Alt einer mehrgeradlinigen Karte definiert wird, um der unterzeichnete Durchschnitt der Werte über alle Versetzungen seiner Variablen zu sein:

:

Diese Definition des Keil-Produktes ist bestimmt, selbst wenn Feld K begrenzte Eigenschaft, wenn hat

man denkt eine gleichwertige Version des obengenannten, das factorials oder irgendwelche Konstanten nicht verwendet:

:

wo hier die Teilmenge (k, m) Schlurfen ist: Versetzungen σ des Satzes {1,2, …, k+m} solch dass σ (1)

:

Diese Tagung wird hier nicht angenommen, aber wird im Zusammenhang mit dem Wechseltensor besprochen. </ref>

Struktur von Bialgebra

In formellen Begriffen gibt es eine Ähnlichkeit zwischen der abgestuften Doppel-von der abgestuften Algebra Λ (V) und dem Wechseln mehrgeradliniger Formen auf V. Das Keil-Produkt von mehrgeradlinigen Formen, die oben definiert sind, ist zu einem coproduct Doppel-, der auf Λ (V) definiert ist, die Struktur eines coalgebra gebend.

Der coproduct ist eine geradlinige Funktion, die auf zerlegbaren Elementen durch gegeben ist

:

Zum Beispiel,

::

\Delta (x_1 \wedge x_2) = 1 \otimes (x_1 \wedge x_2) + x_1 \otimes x_2 - x_2 \otimes x_1 + (x_1 \wedge x_2) \otimes 1.

</Mathematik>

Das streckt sich durch die Linearität bis zu eine auf der ganzen Außenalgebra definierte Operation aus. In Bezug auf den coproduct ist das Keil-Produkt auf dem Doppelraum gerade der abgestufte Doppel-vom coproduct:

:

wo das Tensor-Produkt auf der rechten Seite von mehrgeradlinigen geradlinigen Karten ist (erweitert durch die Null auf Elementen des unvereinbaren homogenen Grads: Genauer, wo ε der counit, wie definiert, jetzt ist).

Der counit ist der Homomorphismus, der den 0-abgestuften Bestandteil seines Arguments zurückgibt. Der coproduct und counit, zusammen mit dem Keil-Produkt, definieren die Struktur eines bialgebra auf der Außenalgebra.

Mit einem Antipoden, der auf homogenen Elementen dadurch definiert ist, ist die Außenalgebra außerdem eine Algebra von Hopf.

Innenprodukt

Nehmen Sie an, dass V endlich-dimensional ist. Wenn V den Doppelraum zum Vektorraum V anzeigt, dann für jeden ist es möglich, eine Antiabstammung auf der Algebra Λ (V), zu definieren

:

Diese Abstammung wird das Innenprodukt mit α, oder manchmal den Einfügungsmaschinenbediener oder die Zusammenziehung durch α genannt.

Nehmen Sie das an. Dann ist w V zu K mehrgeradlinig kartografisch darzustellen, so wird es durch seine Werte auf dem k-fold Kartesianischen Produkt V × V × definiert... × V. Wenn u, u..., u k1 Elemente V sind, dann definieren

:

Lassen Sie zusätzlich, wenn = 0, wann auch immer f ein reiner Skalar ist (d. h., ΛV gehörend).

Axiomatische Charakterisierung und Eigenschaften

Das Innenprodukt befriedigt die folgenden Eigenschaften:

1. Für jeden k und jeden α  V,
2. ::
3. : (Durch die Tagung, Λ = {0}.)
4. Wenn v ein Element V ist (= ΛV), dann ist iv = α (v) die Doppelpaarung zwischen Elementen V und Elementen V.
5. Für jeden α  V bin ich eine abgestufte Abstammung des Grads 1:

::

Tatsächlich sind diese drei Eigenschaften genügend, um das Innenprodukt zu charakterisieren sowie es im allgemeinen unendlich-dimensionalen Fall zu definieren.

Weitere Eigenschaften des Innenproduktes schließen ein:

:*

:*

Dualität von Hodge

Nehmen Sie an, dass V begrenzte Dimension n hat. Dann veranlasst das Innenprodukt einen kanonischen Isomorphismus von Vektorräumen

:

In der geometrischen Einstellung wird ein Nichtnullelement der Spitzenaußenmacht Λ (V) (der ein eindimensionaler Vektorraum ist) manchmal eine Volumen-Form genannt (oder Orientierungsform, obwohl dieser Begriff manchmal zu Zweideutigkeit führen kann.) Hinsichtlich eines gegebenen Volumen-Form-σ wird der Isomorphismus ausführlich durch gegeben

:

Wenn, zusätzlich zu einer Volumen-Form, der Vektorraum V mit einem Skalarprodukt ausgestattet wird, das sich V mit V identifiziert, dann wird der resultierende Isomorphismus den Hodge Doppel-(oder allgemeiner der Sternmaschinenbediener von Hodge) genannt

:

Die Zusammensetzung mit sich stellt Λ (V)  Λ (V) kartografisch dar und ist immer ein Skalarvielfache der Identitätskarte. In den meisten Anwendungen ist die Volumen-Form mit dem Skalarprodukt im Sinn vereinbar, dass es ein Keil-Produkt einer orthonormalen Basis V ist. In diesem Fall,

:

wo ich die Identität bin, und das Skalarprodukt metrische Unterschrift (p, q) — p plusses und q minuses hat.

Skalarprodukt

Für V ein endlich-dimensionaler Raum definiert ein Skalarprodukt auf V einen Isomorphismus V mit V, und so auch ein Isomorphismus von ΛV mit (ΛV). Die Paarung zwischen diesen zwei Räumen nimmt auch die Form eines Skalarprodukts an. Auf zerlegbaren K-Mehrvektoren,

:

die Determinante der Matrix von Skalarprodukten. Im speziellen Fall v = w ist das Skalarprodukt die Quadratnorm des Mehrvektoren, der durch die Determinante der Matrix von Gramian (v, v ) gegeben ist. Das wird dann bilinear (oder sesquilinearly im komplizierten Fall) zu einem nichtdegenerierten Skalarprodukt auf ΛV erweitert. Wenn e, i=1,2..., n, eine orthonormale Basis V, dann die Vektoren der Form bilden

:

setzen Sie eine orthonormale Basis für Λ (V) ein.

In Bezug auf das Skalarprodukt sind Außenmultiplikation und das Innenprodukt gegenseitig adjoint. Spezifisch, für v  Λ (V), w  Λ (V), und x  V,

:

wo x  V das geradlinige durch definierte funktionelle ist

:

für alle. Dieses Eigentum charakterisiert völlig das Skalarprodukt auf der Außenalgebra.

Functoriality

Nehmen Sie an, dass V und W ein Paar von Vektorräumen sind und eine geradlinige Transformation ist. Dann, durch den universalen Aufbau, dort besteht ein einzigartiger Homomorphismus von abgestuften Algebra

:

solch dass

:

Insbesondere Λ bewahrt (f) homogenen Grad. Die k-graded Bestandteile von Λ (f) werden auf zerlegbaren Elementen durch gegeben

:Lassen Sie:

Die Bestandteile der Transformation Λ (k) hinsichtlich einer Basis V und W sind die Matrix von Minderjährigen von f. Insbesondere wenn und V der begrenzten Dimension n ist, dann ist Λ (f) eines eindimensionalen Vektorraums Λ zu sich kartografisch darzustellen, und wird deshalb durch einen Skalar gegeben: die Determinante von f.

Genauigkeit

Wenn

:

ist eine kurze genaue Folge von Vektorräumen, dann

:

ist eine genaue Folge von abgestuften Vektorräumen, wie ist

:

Direkte Summen

Insbesondere die Außenalgebra einer direkten Summe ist zum Tensor-Produkt der Außenalgebra isomorph:

:

Das ist ein abgestufter Isomorphismus; d. h.,

:

Ein bisschen mehr allgemein, wenn

:

ist eine kurze genaue Folge von Vektorräumen dann Λ (V) hat ein Filtrieren

:

mit Quotienten:. Insbesondere wenn U dann 1-dimensional

ist:ist

genau, und wenn W dann 1-dimensional

ist:ist

genau.

Die Wechseltensor-Algebra

Wenn K ein Feld der Eigenschaft 0 ist, dann kann die Außenalgebra eines Vektorraums V mit dem Vektor-Subraum von T (V) kanonisch identifiziert werden, aus dem antisymmetrischen Tensor bestehend. Rufen Sie zurück, dass die Außenalgebra der Quotient von T (V) durch das Ideal ist, das ich durch x  x erzeugt habe.

Lassen Sie T (V) der Raum des homogenen Tensor des Grads r sein. Das wird durch den zerlegbaren Tensor abgemessen

:

Der antisymmetrization (oder manchmal zu zu verdrehen-symmetrization), eines zerlegbaren Tensor wird durch definiert

:

wo die Summe die symmetrische Gruppe von Versetzungen auf den Symbolen {1..., r} übernommen wird. Das streckt sich durch die Linearität und Gleichartigkeit zu einer Operation aus, die auch von Alt, auf der vollen Tensor-Algebra T (V) angezeigt ist. Das Image Alt (T (V)) ist die Wechseltensor-Algebra, angezeigt (V). Das ist ein Vektor-Subraum von T (V), und er erbt die Struktur eines abgestuften Vektorraums davon auf T (V). Es trägt ein assoziatives abgestuftes durch definiertes Produkt

:

Obwohl sich dieses Produkt vom Tensor-Produkt unterscheidet, ist der Kern von Alt genau das Ideal I (wieder, annehmend, dass K Eigenschaft 0 hat), und es einen kanonischen Isomorphismus gibt

:

Index-Notation

Nehmen Sie an, dass V begrenzte Dimension n hat, und dass eine Basis e..., e V gegeben wird. dann kann jeder Wechseltensor in der Index-Notation als geschrieben werden

:

wo t in seinen Indizes völlig antisymmetrisch ist.

Das Keil-Produkt von zwei Wechseltensor t und s von Reihen r und p wird durch gegeben

:

Die Bestandteile dieses Tensor sind genau der verdrehen Teil der Bestandteile des Tensor-Produktes, das durch eckige Klammern auf den Indizes angezeigt ist:

:

Das Innenprodukt kann auch in der Index-Notation wie folgt beschrieben werden. Lassen Sie, ein antisymmetrischer Tensor der Reihe r zu sein. Dann, für α  V, ist es ein Wechseltensor der Reihe r-1, gegeben durch

:

wo n die Dimension V ist.

Anwendungen

Geradlinige Algebra

In Anwendungen auf die geradlinige Algebra stellt das Außenprodukt eine abstrakte algebraische Weise zur Verfügung, für die Determinante und die Minderjährigen einer Matrix zu beschreiben. Zum Beispiel ist es wohl bekannt, dass der Umfang der Determinante einer Quadratmatrix dem Volumen des parallelotope gleich ist, dessen Seiten die Säulen der Matrix sind. Das weist darauf hin, dass die Determinante in Bezug auf das Außenprodukt der Spaltenvektoren definiert werden kann. Ebenfalls können die Minderjährigen einer Matrix definiert werden, indem sie auf die Außenprodukte von Spaltenvektoren gewählter k auf einmal schauen. Diese Ideen können nicht nur zu matrices, aber zu geradlinigen Transformationen ebenso erweitert werden: Der Umfang der Determinante einer geradlinigen Transformation ist der Faktor, durch den es das Volumen jeder gegebenen Verweisung parallelotope erklettert. So kann die Determinante einer geradlinigen Transformation in Bezug darauf definiert werden, was die Transformation zur Spitzenaußenmacht tut. Die Handlung einer Transformation auf den kleineren Außenmächten gibt einem Basisunabhängigen weg, um über die Minderjährigen der Transformation zu sprechen.

Geradlinige Geometrie

Die zerlegbaren K-Vektoren haben geometrische Interpretationen: Der bivector vertritt das Flugzeug, das durch die Vektoren abgemessen ist, die mit einer Zahl "beschwert" sind", die durch das Gebiet des orientierten Parallelogramms mit Seiten u und v gegeben ist. Analog vertritt der 3-Vektoren-den abgemessenen 3-Räume-, der durch das Volumen des orientierten parallelepiped mit Rändern u, v, und w beschwert ist.

Projektive Geometrie

Zerlegbare K-Vektoren in ΛV entsprechen beschwerten k-dimensional Subräumen V. Insbesondere Grassmannian von k-dimensional Subräumen V, hat Gr (V) angezeigt, kann mit einer algebraischen Subvielfalt des projektiven Raums P (ΛV) natürlich identifiziert werden. Das wird das Einbetten von Plücker genannt.

Differenzialgeometrie

Die Außenalgebra hat bemerkenswerte Anwendungen in der Differenzialgeometrie, wo es verwendet wird, um Differenzialformen zu definieren. Eine Differenzialform an einem Punkt einer Differentiable-Sammelleitung ist eine mehrgeradlinige Wechselform auf dem Tangente-Raum am Punkt. Gleichwertig ist eine Differenzialform des Grads k ein geradliniger funktioneller auf der k-th Außenmacht des Tangente-Raums. Demzufolge definiert das Keil-Produkt von mehrgeradlinigen Formen ein natürliches Keil-Produkt für Differenzialformen. Differenzialformen spielen eine Hauptrolle in verschiedenen Gebieten der Differenzialgeometrie.

Insbesondere die Außenableitung gibt die Außenalgebra von Differenzialformen auf einer Sammelleitung die Struktur einer Differenzialalgebra. Die Außenableitung pendelt mit dem Hemmnis entlang glattem mappings zwischen Sammelleitungen, und es ist deshalb ein natürlicher Differenzialoperator. Die Außenalgebra von Differenzialformen, die mit der Außenableitung ausgestattet sind, ist ein cochain Komplex, dessen cohomology den de Rham cohomology der zu Grunde liegenden Sammelleitung genannt wird und eine Lebensrolle in der algebraischen Topologie von Differentiable-Sammelleitungen spielt.

Darstellungstheorie

In der Darstellungstheorie ist die Außenalgebra einer von den zwei grundsätzlichen Schur functors auf der Kategorie von Vektorräumen, der andere, die symmetrische Algebra seiend. Zusammen werden diese Aufbauten verwendet, um die nicht zu vereinfachenden Darstellungen der allgemeinen geradlinigen Gruppe zu erzeugen; sieh grundsätzliche Darstellung.

Physik

Die Außenalgebra ist ein archetypisches Beispiel einer Superalgebra, die eine grundsätzliche Rolle in physischen Theorien spielt, die fermions und Supersymmetrie gehören. Für eine physische Diskussion, sieh Zahl von Grassmann. Für verschiedene andere Anwendungen zusammenhängender Ideen zur Physik, sieh Superraum und Supergruppe (Physik).

Lügen Sie Algebra-Homologie

Lassen Sie L eine Lüge-Algebra über ein Feld k sein, dann ist es möglich, die Struktur eines Kettenkomplexes auf der Außenalgebra von L zu definieren. Das ist ein k-linear, der kartografisch darstellt

:

definiert auf zerlegbaren Elementen durch

:

Die Jacobi Identität hält, ob und nur wenn  = 0, und so ist das eine notwendige und genügend Bedingung für eine nichtassoziative Antiersatzalgebra L, um eine Lüge-Algebra zu sein. Außerdem in diesem Fall ist ΛL ein Kettenkomplex mit dem Grenzmaschinenbediener . Die zu diesem Komplex vereinigte Homologie ist die Lüge-Algebra-Homologie.

Algebra von Homological

Die Außenalgebra ist die Hauptzutat im Aufbau des Komplexes von Koszul, eines grundsätzlichen Gegenstands in der homological Algebra.

Geschichte

Die Außenalgebra wurde zuerst von Hermann Grassmann 1844 unter dem generellen Begriff von Ausdehnungslehre oder Theorie der Erweiterung eingeführt.

Das hat mehr allgemein auf einen algebraischen (oder axiomatisch) Theorie von verlängerten Mengen verwiesen und war einer der frühen Vorgänger zum modernen Begriff eines Vektorraums. Saint-Venant hat auch ähnliche Ideen von der Außenrechnung veröffentlicht, für die er Vorrang vor Grassmann gefordert hat.

Die Algebra selbst wurde aus einer Reihe von Regeln oder Axiomen gebaut, die formellen Aspekte von Cayleys Theorie und Sylvesters von Mehrvektoren gewinnend. Es war so eine Rechnung viel wie die Satzrechnung außer dem eingestellten exklusiv auf die Aufgabe des formellen Denkens in geometrischen Begriffen.

Insbesondere diese neue Entwicklung hat eine axiomatische Charakterisierung der Dimension, ein Eigentum berücksichtigt, das vorher nur aus dem Koordinatengesichtspunkt untersucht worden war.

Der Import dieser neuen Theorie von Vektoren und Mehrvektoren wurde gegen Mathematiker der Mitte des 19. Jahrhunderts, verloren

bis

er durch Giuseppe Peano 1888 gründlich untersucht worden ist. Die Arbeit von Peano ist auch etwas dunkel bis zur Jahrhundertwende geblieben, als das Thema von Mitgliedern der französischen Geometrie-Schule vereinigt wurde (namentlich Henri Poincaré, Élie Cartan und Gaston Darboux), wer die Ideen von Grassmann zur Rechnung von Differenzialformen angewandt hat.

Eine kurze Zeit später hat Alfred North Whitehead, von den Ideen von Peano und Grassmann borgend, seine universale Algebra eingeführt. Das hat dann für die Entwicklungen des 20. Jahrhunderts der abstrakten Algebra durch das Stellen des axiomatischen Begriffs eines algebraischen Systems auf einem festen logischen Stand den Weg geebnet.

Siehe auch

• symmetrische Algebra, das symmetrische Analogon
• Algebra von Clifford, eine Quant-Deformierung der Außenalgebra durch eine quadratische Form
• Algebra von Weyl, der symmetrischen Algebra durch einen symplectic bilden
• mehrgeradlinige Algebra
• Tensor-Algebra
• geometrische Algebra
• Komplex von Koszul

Zeichen

Mathematische Verweisungen

:: Schließt eine Behandlung des Wechseltensor und der Wechselformen, sowie einer ausführlichen Diskussion der Dualität von Hodge von der in diesem Artikel angenommenen Perspektive ein.

:: Das ist die mathematische Hauptverweisung für den Artikel. Es führt die Außenalgebra eines Moduls über einen Ersatzring ein (obwohl sich dieser Artikel in erster Linie zum Fall spezialisiert, wenn der Ring ein Feld ist), einschließlich einer Diskussion des universalen Eigentums, functoriality, der Dualität und der bialgebra Struktur. Sieh Kapitel III.7 und III.11.

:: Dieses Buch enthält Anwendungen von Außenalgebra zu Problemen in teilweisen Differenzialgleichungen. Reihe und verwandte Konzepte werden in den frühen Kapiteln entwickelt.

:: Abschnitte 6-10 des Kapitels XVI geben eine elementarere Rechnung der Außenalgebra, einschließlich Dualität, Determinanten und Minderjähriger und Wechselformen.

:: Enthält eine klassische Behandlung der Außenalgebra als Wechseltensor und Anwendungen auf die Differenzialgeometrie.

Historische Verweisungen

• (Die Geradlinige Erweiterungstheorie - Ein neuer Zweig der Mathematik) alternative Verweisung
• ;.

Andere Verweisungen und weiterführende Literatur

:: Eine Einführung in die Außenalgebra und geometrische Algebra, mit einem Fokus auf Anwendungen. Auch schließt eine Geschichtsabteilung und Bibliografie ein.

:: Schließt Anwendungen der Außenalgebra zu Differenzialformen ein, spezifisch hat sich auf Integration und den Lehrsatz von Stokes konzentriert. Die Notation ΛV in diesem Text wird verwendet, um den Raum von WechselK-Formen auf V zu bedeuten; d. h. für Spivak ist ΛV, was dieser Artikel ΛV* nennen würde. Spivak bespricht das im Nachtrag 4.

:: Schließt eine elementare Behandlung des axiomatization von Determinanten als unterzeichnete Gebiete, Volumina und hoch-dimensionale Volumina ein.

• Wendell H. Fleming (1965) Funktionen von mehreren Variablen, Addison-Wesley.

:: Kapitel 6: Außenalgebra und Differenzialrechnung, Seiten 205-38. Dieses Lehrbuch in der multivariate Rechnung führt die Außenalgebra von Differenzialformen geschickt in die Rechnungsfolge für Universitäten ein.

:: Eine Einführung in die koordinatenfreie Annäherung in der grundlegenden endlich-dimensionalen geradlinigen Algebra, mit Außenprodukten.