In der Mathematik ist de Rham cohomology (nach Georges de Rham) ein Werkzeug, das sowohl zur algebraischen Topologie als auch zur Differenzialtopologie gehört, die dazu fähig ist, grundlegende topologische Information über glatte Sammelleitungen in einer Form besonders auszudrücken, die an die Berechnung und die konkrete Darstellung von cohomology Klassen angepasst ist. Es ist eine cohomology Theorie, die auf der Existenz von Differenzialformen mit vorgeschriebenen Eigenschaften gestützt ist.

Definition

Der Komplex von de Rham ist der cochain Komplex von Außendifferenzialformen auf einer glatten mannigfaltigen M mit der Außenableitung als das Differenzial.

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wo Ω (M) der Raum von glatten Funktionen auf der M ist, Ω ist (M) der Raum von 1 Formen und so weiter. Formen, die das Image anderer Formen unter der Außenableitung, plus die unveränderliche 0 Funktion darin sind, werden genau genannt, und bildet

wessen Außenableitung 0 ist, werden geschlossen genannt (sieh geschlossene und genaue Differenzialformen); die Beziehung sagt dann, dass genaue Formen geschlossen werden.

Das gegenteilige ist jedoch nicht im Allgemeinen wahr; geschlossene Formen brauchen nicht genau zu sein. Ein einfacher, aber bedeutender Fall ist die 1 Form des Winkelmaßes auf dem Einheitskreis, geschrieben herkömmlich als dθ. Es gibt keine wirkliche Funktion θ definiert auf dem ganzen Kreis, für den das wahr ist; die Zunahme 2π im Drehen einmal bedeutet des Kreises in der positiven Richtung, dass wir keinen einzeln geschätzten θ nehmen können. Wir können jedoch die Topologie ändern, indem wir gerade einen Punkt entfernen.

Die Idee von de Rham cohomology ist, die verschiedenen Typen von geschlossenen Formen auf einer Sammelleitung zu klassifizieren. Man führt diese Klassifikation durch, indem man sagt, dass zwei geschlossene Formen α und β darin cohomologous sind, wenn sie sich durch eine genaue Form unterscheiden, d. h. wenn genau ist. Diese Klassifikation veranlasst eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Raum von hereingebrochenen Formen. Man definiert dann die Gruppe von-th de Rham cohomology, um der Satz von Gleichwertigkeitsklassen, d. h. der Satz von geschlossenen Formen in modulo die genauen Formen zu sein.

Bemerken Sie, dass, für jede mannigfaltige M mit n Bestandteile verbunden

hat:

Das folgt aus der Tatsache, dass jede glatte Funktion auf der M mit der Nullableitung (d. h. lokal unveränderlich) auf jedem der verbundenen Bestandteile der M unveränderlich ist.

De Rham cohomology hat gerechnet

Man kann häufig den General de Rham cohomologies von einer Sammelleitung mit der obengenannten Tatsache über die Null cohomology und eine Folge von Mayer-Vietoris finden. Eine andere nützliche Tatsache ist, dass der de Rham cohomology ein homotopy invariant ist. Während die Berechnung nicht gegeben wird, der folgende sind der geschätzte de Rham cohomologies für einige allgemeine topologische Gegenstände:

Der N-Bereich:

Für den N-Bereich, und auch wenn genommen, zusammen mit einem Produkt von offenen Zwischenräumen haben wir das folgende. Lassen Sie n> 0, M  0, und ich ein offener echter Zwischenraum. Dann

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Der N-Ring:

Ähnlich n> 0 hier erlaubend, erhalten wir

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Durchstochener Euklidischer Raum:

Durchstochener Euklidischer Raum ist einfach Euklidischer Raum mit dem entfernten Ursprung. Für n> 0 haben wir:

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Der Möbius-Streifen, M:

Das folgt mehr oder weniger aus der Tatsache, dass der Streifen von Möbius, lose das Sprechen sein kann, das zum 1 Bereich "zusammengezogen" ist":

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Der Lehrsatz von De Rham

Der Lehrsatz von Stokes ist ein Ausdruck der Dualität zwischen de Rham cohomology und der Homologie von Ketten. Es sagt, dass die Paarung von Differenzialformen und Ketten, über die Integration, einen Homomorphismus von de Rham cohomology zu einzigartigen cohomology Gruppen H gibt (M; 'R). 'Der Lehrsatz von De Rham, der von Georges de Rham 1931 bewiesen ist, stellt fest, dass für eine glatte mannigfaltige M diese Karte tatsächlich ein Isomorphismus ist.

Das Keil-Produkt dotiert die direkte Summe dieser Gruppen mit einer Ringstruktur. Ein weiteres Ergebnis des Lehrsatzes besteht darin, dass die zwei Cohomology-Ringe isomorph sind (als sortierte Ringe), wo das analoge Produkt auf einzigartigem cohomology das Tasse-Produkt ist.

Mit dem Bündel theoretischer Isomorphismus von de Rham

Der de Rham cohomology ist zum Čech cohomology H isomorph (U, F), wo F das Bündel von abelian Gruppen ist, die durch F (U) = R für alle verbundenen offenen Sätze U in der M, und für offene Sätze U und V bestimmt sind, solch dass U  V, die Gruppe morphism res: F (V) wird  F (U) durch die Identitätskarte auf R gegeben, und wo U ein guter offener Deckel der M ist (d. h. alle offenen Sätze im offenen Deckel U contractible zu einem Punkt sind, und alle begrenzten Kreuzungen von Sätzen in U entweder leer sind oder contractible zu einem Punkt).

Festgesetzt ein anderer Weg, wenn M eine C Kompaktsammelleitung der Dimension M ist, dann für jeden km gibt es einen Isomorphismus

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wo die linke Seite die Gruppe von k-th de Rham cohomology ist und die Rechte der Čech cohomology für das unveränderliche Bündel mit der Faser R ist.

Beweis

Lassen Sie Ω das Bündel von Keimen von K-Formen auf der M (mit Ω das Bündel von C-Funktionen auf M) anzeigen. Durch das Lemma von Poincaré ist die folgende Folge von Bündeln (in der Kategorie von Bündeln) genau:

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Diese Folge löst sich jetzt in kurze genaue Folgen auf

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Jeder von diesen veranlasst eine lange genaue Folge in cohomology.

Da das Bündel von C-Funktionen auf einer Sammelleitung Teilungen der Einheit zulässt, verschwindet das Bündel-cohomology H (Ω) für i> 0. So trennen sich die langen genauen cohomology Folgen selbst schließlich in eine Kette des Isomorphismus. An einem Ende der Kette ist der Čech cohomology und an den anderen Lügen der de Rham cohomology.

Zusammenhängende Ideen

Der de Rham cohomology hat viele mathematische Ideen, einschließlich Dolbeault cohomology, Theorie von Hodge und des Atiyah-Sänger-Index-Lehrsatzes begeistert. Jedoch, sogar in mehr klassischen Zusammenhängen, hat der Lehrsatz mehrere Entwicklungen begeistert. Erstens beweist die Theorie von Hodge, dass es einen Isomorphismus zwischen dem cohomology gibt, der aus harmonischen Formen und dem de Rham cohomology besteht, aus geschlossenen Formen modulo genaue Formen bestehend. Das verlässt sich auf eine passende Definition von harmonischen Formen und des Lehrsatzes von Hodge. Weil weitere Details Theorie von Hodge sehen.

Harmonische Formen

Wenn eine Kompaktsammelleitung von Riemannian ist, dann enthält jede Gleichwertigkeitsklasse darin genau eine harmonische Form. D. h. jedes Mitglied ω einer gegebenen Gleichwertigkeitsklasse von geschlossenen Formen kann als geschrieben werden

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wo eine Form ist, und γ harmonisch ist: Δγ = 0.

Jede harmonische Funktion auf einer verbundenen Kompaktsammelleitung von Riemannian ist eine Konstante. So, wie man verstehen kann, ist dieses besondere vertretende Element ein extremum (ein Minimum) aller cohomologously gleichwertigen Formen auf der Sammelleitung. Zum Beispiel, auf einem 2-Ringe-, kann man sich eine unveränderliche 1 Form als diejenige vorstellen, wo das ganze "Haar" ordentlich in derselben Richtung (und das ganze "Haar" gekämmt wird, das dieselbe Länge hat). In diesem Fall gibt es zwei cohomologically verschiedene combings; alle anderen sind geradlinige Kombinationen. Insbesondere das deutet an, dass die 1. Zahl von Betti eines zwei-Ringe-zwei ist. Mehr allgemein, auf einem n-dimensional Ring T, kann man den verschiedenen combings von K-Formen auf dem Ring denken. Es gibt n wählen k solcher combings, der verwendet werden kann, um die Basisvektoren dafür zu bilden; die k-th Zahl von Betti für den de Rham cohomology Gruppe für den N-Ring ist so n wählen k.

Genauer, für eine mannigfaltige DifferenzialM, kann man es mit einem metrischen Hilfsriemannian ausstatten. Dann wird Laplacian Δ durch definiert

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mit d die Außenableitung und der δ der codifferential. Der Laplacian ist ein homogener (im Sortieren) geradliniger Differenzialoperator, der nach der Außenalgebra von Differenzialformen handelt: Wir können auf seine Handlung auf jedem Bestandteil des Grads k getrennt schauen.

Wenn M kompakt und orientiert ist, ist die Dimension des Kerns von Laplacian, der nach dem Raum von K-Formen handelt, dann (durch die Theorie von Hodge) diesem des de Rhams cohomology Gruppe im Grad k gleich: Laplacian wählt eine einzigartige harmonische Form in jeder cohomology Klasse von geschlossenen Formen aus. Insbesondere der Raum aller harmonischen K-Formen auf der M ist zu H isomorph (M; R). Die Dimension jedes solchen Raums ist begrenzt, und wird durch die k-th Zahl von Betti gegeben.

Zergliederung von Hodge

Lassend, der codifferential zu sein, sagt man, dass eine Form co-closed wenn und co-exact wenn für eine Form ist. Die Zergliederung von Hodge stellt fest, dass jede K-Form in drei L Bestandteile gespalten werden kann:

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wo harmonisch ist:. Das folgt durch die Anmerkung, dass genau und Co-Exact-Formen orthogonal sind; die orthogonale Ergänzung besteht dann aus Formen, die sowohl geschlossen werden und co-closed: d. h. harmonischer Formen. Hier wird orthogonality in Bezug auf das L Skalarprodukt definiert auf:

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Eine genaue Definition und Beweis der Zergliederung verlangen, dass das Problem auf Räumen von Sobolev formuliert wird. Die Idee hier besteht darin, dass ein Raum von Sobolev die natürliche Einstellung sowohl für die Idee vom Quadrat-Integrability als auch für die Idee von der Unterscheidung zur Verfügung stellt. Diese Sprache hilft, einige der Beschränkungen zu überwinden, Kompaktunterstützung zu verlangen.

Siehe auch

• Theorie von Hodge