In der Topologie werden zwei dauernde Funktionen von einem topologischem Raum bis einen anderen homotopic genannt (griechischer ὁμός (homós) = dasselbe, ähnlich, und  (tópos) = Platz), wenn man unaufhörlich" in den anderen, solch eine Deformierung "deformiert werden kann, die einen homotopy zwischen den zwei Funktionen wird nennt. Ein hervorragender Gebrauch von homotopy ist die Definition von homotopy Gruppen und cohomotopy Gruppen, wichtigem invariants in der algebraischen Topologie.

In der Praxis gibt es technische Schwierigkeiten, homotopies mit bestimmten Räumen zu verwenden. Algebraische topologists arbeiten mit kompakt erzeugten Räumen, CW Komplexen oder Spektren.

Formelle Definition

Formell, ein homotopy zwischen zwei dauernden Funktionen f und g von einem

topologischer Raum X zu einem topologischen Raum Y wird definiert, um eine dauernde Funktion vom Produkt des Raums X mit dem Einheitszwischenraum [0,1] zu solchem Y dass, wenn dann und zu sein

Wenn wir an den zweiten Parameter von H denken, weil Zeit dann H eine dauernde Deformierung von f in g beschreibt: In der Zeit 0 haben wir die Funktion f, und in der Zeit 1 haben wir die Funktion g.

Eine alternative Notation soll sagen, dass ein homotopy zwischen zwei dauernden Funktionen eine Familie von dauernden Funktionen für den solchen ist, der und und die Karte von [0,1] bis den Raum aller dauernden Funktionen dauernd ist, die Die zwei Versionen durch das Setzen zusammenfallen

Eigenschaften

Wie man

sagt, sind dauernde Funktionen f und g homotopic wenn und nur, wenn es einen homotopy H gibt, f zu g, wie beschrieben, oben nehmend.

homotopic zu sein, ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf dem Satz aller dauernden Funktionen von X bis Y.

Diese homotopy Beziehung ist mit der Funktionszusammensetzung im folgenden Sinn vereinbar: Wenn homotopic sind, und homotopic sind, dann sind ihre Zusammensetzungen und auch homotopic.

Gleichwertigkeit von Homotopy

In Anbetracht zwei Räume X und Y sagen wir, dass sie homotopy Entsprechung oder von demselben homotopy Typ sind, wenn dort dauernde Karten und solch bestehen, der homotopic zum Identitätskarte-id ist und homotopic zu id ist.

Die Karten f und g werden homotopy Gleichwertigkeiten in diesem Fall genannt. Jeder homeomorphism ist eine homotopy Gleichwertigkeit, aber das gegenteilige ist nicht wahr: Zum Beispiel ist eine feste Platte nicht homeomorphic zu einem einzelnen Punkt, obwohl die Platte und der Punkt homotopy Entsprechung sind.

Zwei Räume X und Y sind homotopy Entsprechung, wenn sie in einander umgestaltet werden können, indem sie sich biegen, zurückweichend und Operationen ausbreitend. Zum Beispiel sind eine feste Platte oder fester Ball homotopy Entsprechung zu einem Punkt, und} ist homotopy Entsprechung zum Einheitskreis S. Räume, die homotopy Entsprechung zu einem Punkt sind, werden contractible genannt.

Ungültig-homotopy

Wie man

sagt, ist eine Funktion f ungültig-homotopic, wenn es homotopic zu einer unveränderlichen Funktion ist. (Der homotopy von f bis eine unveränderliche Funktion wird dann manchmal eine Null-homotopy genannt.) Zum Beispiel ist eine Karte vom Kreis S genau ungültig-homotopic, wenn es zu einer Karte der Scheibe D erweitert werden kann.

Es folgt aus diesen Definitionen, dass ein Raum X contractible ist, wenn, und nur wenn die Identitätskarte von X bis sich - der immer eine homotopy Gleichwertigkeit ist - ungültig-homotopic ist.

Homotopy invariance

Gleichwertigkeit von Homotopy ist wichtig, weil in der algebraischen Topologie viele Konzepte homotopy invariant sind, d. h. respektieren sie die Beziehung der homotopy Gleichwertigkeit. Zum Beispiel, wenn X und Y homotopy gleichwertige Räume, dann sind:

• Wenn X dann Pfad-verbunden ist, so ist Y.
• Wenn X einfach dann verbunden wird, so ist Y.
• Die (einzigartige) Homologie und cohomology Gruppen X und Y sind isomorph.
• Wenn X und Y Pfad-verbunden sind, dann sind die grundsätzlichen Gruppen X und Y isomorph, und sind auch höher homotopy Gruppen. (Ohne die Annahme des Pfad-Zusammenhangs hat man π (X, x) isomorph zu π (Y, f (x)), wo eine homotopy Gleichwertigkeit und ist

Ein Beispiel eines algebraischen invariant von topologischen Räumen, der nicht homotopy-invariant ist, ist kompakt unterstützte Homologie (der, grob das Sprechen, die Homologie des compactification ist, und compactification nicht homotopy-invariant ist).

Relativer homotopy

Um die grundsätzliche Gruppe zu definieren, braucht man den Begriff von homotopy hinsichtlich eines Subraums. Das sind homotopies, die die Elemente des Subraums befestigt halten. Formell: Wenn f und g dauernde Karten von X bis Y sind und K eine Teilmenge X ist, dann sagen wir, dass f und g homotopic hinsichtlich K sind, wenn dort ein homotopy zwischen f und solchem g besteht, dass für alle, und außerdem wenn g ein Zurücknehmen von X bis K und f ist, die Identitätskarte ist, ist das als eine starke Deformierung bekannt treten X zu K zurück.

Wenn K ein Punkt ist, hat der Begriff angespitzt, dass homotopy verwendet wird.

Gruppen von Homotopy

Da die Beziehung von zwei Funktionen, die homotopic hinsichtlich eines Subraums sind, eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist, können wir auf die Gleichwertigkeitsklassen von Karten zwischen einem festen X und Y schauen. Wenn wir den Einheitszwischenraum [0,1] durchquert mit sich n Zeiten befestigen, und wir unseren Subraum nehmen, um seine Grenze ([0,1]) dann zu sein, bilden die Gleichwertigkeitsklassen eine Gruppe, hat π angezeigt (Y, y), wo y im Image des Subraums ([0,1]) ist.

Wir können die Handlung einer Gleichwertigkeitsklasse auf einem anderen definieren, und so bekommen wir eine Gruppe. Diese Gruppen werden die homotopy Gruppen genannt. Im Fall wird es auch die grundsätzliche Gruppe genannt.

Kategorie von Homotopy

Die Idee von homotopy kann in eine formelle Kategorie der Kategorie-Theorie verwandelt werden. Die homotopy Kategorie ist die Kategorie, deren Gegenstände topologische Räume sind, und dessen morphisms homotopy Gleichwertigkeitsklassen von dauernden Karten sind. Zwei topologische Räume X und Y sind in dieser Kategorie isomorph, wenn, und nur wenn sie homotopy-gleichwertig sind. Dann ist ein functor auf der Kategorie von topologischen Räumen homotopy invariant, wenn es als ein functor auf der homotopy Kategorie ausgedrückt werden kann.

Zum Beispiel sind Homologie-Gruppen ein functorial homotopy invariant: Das bedeutet dass, wenn f und g von X bis Y homotopic sind, dann ist der Gruppenhomomorphismus, der durch f und g auf dem Niveau von Homologie-Gruppen veranlasst ist, dasselbe: H (f) = H (g): H (X)  H (Y) für den ganzen n. Ebenfalls, wenn X und Y außerdem Pfad verbunden sind, und der homotopy zwischen f und g angespitzt wird, dann ist der Gruppenhomomorphismus, der durch f und g auf dem Niveau von homotopy Gruppen veranlasst ist, auch dasselbe: π (f) = π (g): π (X)  π (Y).

Zeitmäßighomotopy

Auf einer Sammelleitung von Lorentzian sind bestimmte Kurven als zeitmäßig bemerkenswert. Ein Zeitmäßighomotopy zwischen zwei Zeitmäßigkurven ist ein solcher homotopy, dass jede Zwischenkurve zeitmäßig ist. Keine geschlossene Zeitmäßigkurve (CTC) auf einer Sammelleitung von Lorentzian ist Zeitmäßighomotopic zu einem Punkt (d. h. ungültiger Zeitmäßighomotopic); wie man deshalb sagt, ist solch eine Sammelleitung multiplizieren verbunden durch Zeitmäßigkurven. Eine Sammelleitung solcher als der 3-Bereiche-kann einfach (durch jeden Typ der Kurve) verbunden werden, und noch zeitmäßig sein multiplizieren

connected.http://dx.doi.org/10.1007/s10701-008-9254-9

Homotopy, der Eigentum hebt

Wenn wir einen homotopy und einen Deckel haben und uns eine solche Karte dass gegeben wird (wird ein Heben von h genannt), dann können wir den ganzen H zu einer solcher Karte heben, dass Der homotopy das Heben des Eigentums verwendet wird, um fibrations zu charakterisieren.

Erweiterungseigentum von Homotopy

Ein anderes nützliches Eigentum, das homotopy einschließt, ist das homotopy Erweiterungseigentum,

der die Erweiterung eines homotopy zwischen zwei Funktionen von einer Teilmenge von einem Satz zum Satz selbst charakterisiert. Es ist wenn nützlich, sich cofibrations befassend.

Isotopy

Im Falle dass die zwei gegebenen dauernden Funktionen f und g vom topologischen Raum X zum topologischen Raum Y homeomorphisms sind, kann man fragen, ob sie 'durch homeomorphisms' verbunden werden können. Das verursacht das Konzept von isotopy, der ein homotopy, H in der Notation ist, die vorher verwendet ist, solch, der für jeden t, H befestigt hat (x, t) gibt einen homeomorphism.

Das Verlangen, dass zwei homeomorphisms, isotopic sein, eine stärkere Voraussetzung sind als das sie, homotopic sein. Wie man zeigen kann, sind Einheitsbälle, die sich über die Grenze einigen, isotopic der Trick von verwendendem Alexander.

Zum Beispiel ist die Karte der Einheitsscheibe in R, der durch f (x, y) = (−x, −y) definiert ist, zu einer 180-Grade-Folge um den Ursprung gleichwertig, und so sind die Identitätskarte und f isotopic, weil sie durch Folgen verbunden werden können. Jedoch ist die Karte auf dem Zwischenraum [−1,1] in R, der durch f (x) = −x definiert ist, nicht isotopic zur Identität. Jeder homotopy von f bis die Identität würde die Endpunkte austauschen müssen, die bedeuten würden, dass sie einander würden 'durchführen' müssen. Außerdem hat f die Orientierung des Zwischenraums geändert, folglich kann es nicht isotopic zur Identität sein. Jedoch sind die Karten homotopic; ein homotopy von f bis die Identität ist H: [−1,1] × [0,1]  [−1,1] gegeben durch H (x, y) = 2yx-x.

In der geometrischen Topologie zum Beispiel in der Knoten-Theorie - wird die Idee von isotopy verwendet, um Gleichwertigkeitsbeziehungen zu bauen. Zum Beispiel wann sollten zwei Knoten als dasselbe betrachtet werden? Wir nehmen zwei Knoten, K und K im dreidimensionalen Raum. Ein Knoten ist ein Einbetten eines eindimensionalen Raums, die "Schleife der Schnur" in diesen Raum, und ist ein Einbetten einfach ein homeomorphism. Die intuitive Idee, diejenige zum anderen zu deformieren, sollte einem Pfad von embeddings entsprechen: Eine dauernde Funktion, die an t=0 mit dem K-Einbetten anfängt, an t=1 mit dem K-Einbetten mit allen Zwischenwerten endend, die embeddings sind; das entspricht der Definition von isotopy. Das arbeitet gut, so lange wir verlangen, dass alle Karten, die beteiligt sind, differentiable sind, aber fehlt

wenn ihnen einfach erlaubt wird, dauernd zu sein, weil es dann kein Hindernis für das Ziehen des gespannten Knotens gibt. Ein umgebender isotopy, der in diesem Zusammenhang studiert ist, ist ein isotopy des größeren Raums, der im Licht seiner Handlung auf der eingebetteten Subsammelleitung betrachtet ist. Knoten K und K werden gleichwertig betrachtet, wenn es einen umgebenden isotopy gibt, der K zu K bewegt. Das ist die passende Definition im

topologische Kategorie.

Ähnliche Sprache wird für das gleichwertige Konzept in Zusammenhängen verwendet, wo man einen stärkeren Begriff der Gleichwertigkeit hat. Zum Beispiel ist ein Pfad zwischen zwei diffeomorphisms 'durch den diffeomorphism Raum' ein glatter isotopy, oder ein Pfad durch symplectomorphisms ist ein symplectic isotopy.

Anwendungen

Gestützt auf dem Konzept des homotopy werden Berechnungsmethoden für algebraische und unterschiedliche Gleichungen entwickelt. Die Methoden für algebraische Gleichungen schließen die homotopy Verlängerungsmethode und die Verlängerungsmethode ein. Die Methoden für Differenzialgleichungen schließen die homotopy Analyse-Methode ein.

Siehe auch

• Klassengruppe kartografisch darstellend
• Homeotopy
• Regelmäßiger homotopy
• Poincaré vermuten
• Analyse-Methode von Homotopy