In der Mathematik, besonders unterschiedlichen Geometrie, ist das Kotangens-Bündel einer glatten Sammelleitung das Vektor-Bündel aller Kotangens-Räume an jedem Punkt in der Sammelleitung. Es kann auch als das Doppelbündel zum Tangente-Bündel beschrieben werden.

Das Kotangens-Bündel

Glatte Abteilungen des Kotangens-Bündels sind unterschiedliche eine Formen.

Definition des Kotangens-Bündels

Lassen Sie M×M das Kartesianische Produkt der M mit sich sein. Die Diagonale kartografisch darstellend Δ sendet einen Punkt p in der M zum Punkt (p, p) M×M. Das Image Δ wird die Diagonale genannt. Lassen Sie, das Bündel von Keimen von glatten Funktionen auf M×M zu sein, die auf der Diagonale verschwinden. Dann besteht das Quotient-Bündel aus Gleichwertigkeitsklassen von Funktionen, die auf der Diagonale modulo höhere Ordnungsbegriffe verschwinden. Das Kotangens-Bündel ist das Hemmnis dieses Bündels zur M:

Durch den Lehrsatz von Taylor ist das ein lokal freies Bündel von Modulen in Bezug auf das Bündel von Keimen von glatten Funktionen der M. So definiert es ein Vektor-Bündel auf der M: das Kotangens-Bündel.

Das Kotangens-Bündel als Phase-Raum

Seit dem Kotangens-Bündel ist X=T*M ein Vektor-Bündel, es kann als eine Sammelleitung in seinem eigenen Recht betrachtet werden. Wegen der Weise, auf die sich die Definition von T*M auf die Differenzialtopologie der GrundraumM, X bezieht, besitzt eine kanonische eine Form θ (auch tautologische eine Form oder symplectic Potenzial). Die Außenableitung θ ist ein symplectic 2-Formen-, aus dem eine nichtdegenerierte Volumen-Form für X gebaut werden kann. Zum Beispiel, infolgedessen X ist immer eine Orientable-Sammelleitung (das Meinen, dass das Tangente-Bündel X ein orientable Vektor-Bündel ist). Ein spezieller Satz von Koordinaten kann auf dem Kotangens-Bündel definiert werden; diese werden die kanonischen Koordinaten genannt. Weil von Kotangens-Bündeln als symplectic Sammelleitungen gedacht werden kann, kann jede echte Funktion auf dem Kotangens-Bündel interpretiert werden, um Hamiltonian zu sein; so, wie man verstehen kann, ist das Kotangens-Bündel ein Phase-Raum, auf dem Mechanik von Hamiltonian erschöpft.

Die tautologische eine Form

Das Kotangens-Bündel trägt eine tautologische eine Form θ auch bekannt als die 1 Form von Poincaré oder 1 Form von Liouville. (Die Form ist auch bekannt als die kanonische eine Form, obwohl das manchmal zu Verwirrung führen kann.) Bedeutet das, dass, wenn wir T*M als eine Sammelleitung in seinem eigenen Recht betrachten, es eine kanonische Abteilung des Vektor-Bündel-T * (T*M) über T*M gibt.

Diese Abteilung kann auf mehrere Weisen gebaut werden. Die elementarste Methode ist, lokale Koordinaten zu verwenden. Nehmen Sie an, dass x lokale Koordinaten auf der mannigfaltigen GrundM sind. In Bezug auf diese Grundkoordinaten gibt es Faser-Koordinaten p: Eine eine Form an einem besonderen Punkt von T*M hat die Form pdx (Summierungstagung von Einstein einbezogen). So trägt der mannigfaltige T*M selbst lokale Koordinaten (x, p), wo die x Koordinaten auf der Basis sind und die p Koordinaten in der Faser sind. Die kanonische eine Form wird in diesen Koordinaten durch gegeben

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