Geisterhafte Methoden sind eine Klasse von Techniken, die in der angewandten Mathematik und wissenschaftlichen Computerwissenschaft verwendet sind, um bestimmte Dynamische Systeme numerisch zu lösen, häufig mit dem Gebrauch des Schnellen Fouriers verbunden zu sein, verwandelt Sich. Wo anwendbar, haben geisterhafte Methoden ausgezeichnete Fehlereigenschaften, mit der so genannten "Exponentialkonvergenz" das schnellstmögliche zu sein. Geisterhafte Methoden wurden in einer langen Reihe von Vorträgen von Steven Orszag entwickelt, der 1969 einschließlich anfängt, aber auf, Reihe-Methoden von Fourier für periodische Geometrie-Probleme, polynomische geisterhafte Methoden für begrenzte und unbegrenzte Geometrie-Probleme, pseudogeisterhafte Methoden für hoch nichtlineare Probleme und geisterhafte Iterationsverfahren für die schnelle Lösung unveränderlicher Zustandprobleme nicht beschränkt.

Teilweise Differenzialgleichungen (PDEs) beschreiben eine breite Reihe von physischen Prozessen wie Hitzeleitung, Flüssigkeitsströmung und Schallausbreitung. In vielen solchen Gleichungen, dort unterliegen "grundlegenden Wellen", die verwendet werden können, um effiziente Algorithmen für Rechenlösungen dieser PDEs zu geben. In einem typischen Fall nutzen geisterhafte Methoden diese Tatsache durch das Schreiben der Lösung als seine Reihe von Fourier, das Ersetzen dieser Reihe in den PDE aus, um ein System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen (ODEN) in den zeitabhängigen Koeffizienten der trigonometrischen Begriffe in der Reihe (geschrieben in der komplizierten Exponentialform) und das Verwenden einer zeitgehenden Methode zu bekommen, jene ODEN zu lösen.

Die geisterhafte Methode und die begrenzte Element-Methode sind nah verbunden und haben auf dieselben Ideen gebaut; der Hauptunterschied zwischen ihnen ist, dass die geisterhafte Methode der Lösung als geradlinige Kombination von dauernden Funktionen näher kommt, die allgemein Nichtnull über das Gebiet der Lösung sind (gewöhnlich sinusoids oder Polynome von Tschebyscheff), während die begrenzte Element-Methode der Lösung als eine geradlinige Kombination von Piecewise-Funktionen näher kommt, die Nichtnull auf kleinen Subgebieten sind. Wegen dessen übernimmt die geisterhafte Methode eine globale Annäherung, während die begrenzte Element-Methode eine lokale Annäherung ist. Das ist ein Teil dessen, warum die geisterhafte Methode am besten arbeitet, wenn die Lösung glatt ist. Tatsächlich gibt es kein bekanntes dreidimensionales einzelnes Gebiet geisterhafte Stoß-Gefangennehmen-Ergebnisse.

In der begrenzten Element-Gemeinschaft wird eine Methode, wo der Grad der Elemente sehr hoch ist oder als der Bratrost-Parameter h Abnahmen zur Null zunimmt, manchmal eine geisterhafte Element-Methode genannt.

Die Durchführung der geisterhaften Methode wird normalerweise entweder mit der Kollokation oder mit Galerkin oder einer Annäherung von Tau vollbracht.

Beispiele von geisterhaften Methoden

Ein konkretes, geradliniges Beispiel

Hier wagen wir ein Verstehen der grundlegenden multivariate Rechnung und Reihe von Fourier. Wenn g (x, y) eine bekannte, Komplex-geschätzte Funktion von zwei echten Variablen ist, und g in x und y periodisch ist (d. h. g (x, y) =g (x+2π, y) =g (x, y+2π)) dann, interessieren wir uns für die Entdeckung einer Funktion f (x, y) so dass

:

wo der Ausdruck links die zweiten partiellen Ableitungen von f in x und y beziehungsweise anzeigt. Das ist die Gleichung von Poisson, und kann als eine Art Hitzeleitungsproblem physisch interpretiert werden.

Wenn wir f und g in der Reihe von Fourier schreiben:

::

und Ersatz in die Differenzialgleichung, wir erhalten diese Gleichung:

:

Wir haben teilweise Unterscheidung mit einer unendlichen Summe ausgetauscht, die legitim ist, wenn wir zum Beispiel annehmen, dass f eine dauernde zweite Ableitung hat. Durch den Einzigartigkeitslehrsatz für Vergrößerungen von Fourier müssen wir dann den mitwirkenden Begriff von Fourier durch den Begriff ausgleichen, gebend

:(*)

der eine ausführliche Formel für die Koeffizienten von Fourier a ist.

Mit periodischen Grenzbedingungen besitzt die Gleichung von Poisson eine Lösung nur wenn b = 0. Deshalb

wir können frei wählen, der der bösartigen von der Entschlossenheit gleich sein wird. Das entspricht Auswahl des

unveränderliche Integration.

Um das in einen Algorithmus nur begrenzt zu verwandeln, werden viele Frequenzen dafür gelöst. Das führt einen Fehler ein, der, wie man zeigen kann, dazu proportional ist, wo und die höchste Frequenz ist, hat behandelt.

Algorithmus

1. Rechnen Sie der Fourier verwandeln sich (b
2. Rechnen Sie der Fourier verwandeln sich (a) von f über die Formel (*), und der Fourier verwandeln sich von g.
3. Schätzen Sie f, indem Sie ein Gegenteil nehmen, von dem sich Fourier verwandelt (a

Da wir uns nur für ein begrenztes Fenster von Frequenzen interessieren (der Größe n, sagen Sie) das kann mit einem Schnellen Fourier getan werden Gestalten Algorithmus Um. Deshalb, allgemein die Algorithmus-Läufe rechtzeitig O (n loggen n).

Ein konkretes, nichtlineares Beispiel

Wir möchten die Gleichung des erzwungenen, vergänglichen, nichtlinearen Burgers mit einer geisterhaften Annäherung lösen.

Gegeben auf dem periodischen Gebiet

, finden Sie solch dass

:

In der schwachen, konservativen Form wird das

:

wo

\overline {g (x) }\\, dx </Mathematik> im Anschluss an die Skalarprodukt-Notation. Die Integrierung durch Teile und das Verwenden der Periodizität gewähren

:

Um die FourierGalerkin Methode anzuwenden, wählen Sie beide

:und:

wo. Das reduziert das Problem auf die solche Entdeckung dass

:

Mit der orthogonality Beziehung, wo das Delta von Kronecker ist, vereinfachen wir die obengenannten drei Begriffe für jeden, um zu sehen

:

\begin {richten }\aus

\langle \partial_ {t} u, e^ {ich k x }\\rangle &= \langle \partial_ {t} \sum_ {l} \hat {u} _ {l} e^ {ich l x}, e^ {ich k x} \rangle = \langle \sum_ {l} \partial_ {t} \hat {u} _ {l} e^ {ich l x}, e^ {ich k x} \rangle = 2 \pi \partial_t \hat {u} _k,

\\

\langle f, e^ {ich k x} \rangle &= \langle \sum_ {l} \hat {f} _ {l} e^ {ich l x}, e^ {ich k x }\\rangle = 2 \pi \hat {f} _k, \text {und }\

\\

\langle

\frac {1} {2} u^2 - \nu \partial_ {x} u

\partial_x e^ {ich k x }\

\rangle

&=

\langle

\frac {1} {2 }\

\left (\sum_ {p} \hat {u} _p e^ {ich p x }\\Recht)

\left (\sum_ {q} \hat {u} _q e^ {ich q x }\\Recht)

- \nu \partial_x \sum_ {l} \hat {u} _l e^ {ich l x }\

\partial_x e^ {ich k x }\

\rangle\\&= \langle \frac {1} {2 }\

\sum_ {p} \sum_ {q} \hat {u} _p \hat {u} _q e^ {ich \left (p+q\right) x }\

ich k e^ {ich k x }\

\rangle

-

\langle

\nu i \sum_ {l} l \hat {u} _l e^ {ich l x }\

ich k e^ {ich k x }\\rangle\\&=

- \frac {ich k} {2 }\

\langle \sum_ {p} \sum_ {q} \hat {u} _p \hat {u} _q e^ {ich \left (p+q\right) x }\

e^ {ich k x }\

\rangle

- \nu k

\langle

\sum_ {l} l \hat {u} _l e^ {ich l x }\

e^ {ich k x }\\rangle\\&=

- ich \pi k \sum_ {p+q=k} \hat {u} _p \hat {u} _q - 2\pi\nu {} K^2\hat {u} _k.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Sammeln Sie die drei Begriffe für jeden, um zu erhalten

:

2 \pi \partial_t \hat {u} _k

- ich \pi k \sum_ {p+q=k} \hat {u} _p \hat {u} _q

- 2\pi\nu {} K^2\hat {u} _k

+ 2 \pi \hat {f} _k

\quad k\in\left\{-N/2, \dots, N/2-1 \right\}, \forall t> 0.

</Mathematik>

Sich durch durch teilend, erreichen wir schließlich

:

\partial_t \hat {u} _k

- \frac {ich k} {2} \sum_ {p+q=k} \hat {u} _p \hat {u} _q

- \nu {} K^2\hat {u} _k

+ \hat {f} _k

\quad k\in\left\{-N/2, \dots, N/2-1 \right\}, \forall t> 0.</Mathematik>

Mit Fouriers umgestalteten anfänglichen Bedingungen und dem Zwingen kann dieses verbundene System von gewöhnlichen Differenzialgleichungen rechtzeitig (das Verwenden, z.B, eine Technik von Runge Kutta) integriert werden, um eine Lösung zu finden. Der nichtlineare Begriff ist eine Gehirnwindung, und es gibt mehrere verwandeln sich - gestützte Techniken, um ihn effizient zu bewerten. Sieh die Verweisungen durch Boyd und Canutoet al. für mehr Details.

Eine Beziehung mit der geisterhaften Element-Methode

Man kann zeigen, dass, wenn ungeheuer differentiable ist, dann Verwandelt Sich der numerische Algorithmus mit Schnellem Fourier, schneller zusammenlaufen wird als jedes Polynom in der Bratrost-Größe h. D. h. für jeden n> 0 gibt es a

Weil eine geisterhafte Element-Methode eine begrenzte Element-Methode der sehr hohen Ordnung ist, gibt es eine Ähnlichkeit in den Konvergenz-Eigenschaften. Jedoch, wohingegen die geisterhafte Methode auf dem eigendecomposition des besonderen Grenzwertproblems basiert, verwendet die geisterhafte Element-Methode diese Information und Arbeiten für willkürliche elliptische Grenzwertprobleme nicht.

Siehe auch

• Getrennte Element-Methode
• Bratrost von Gaussian
• Pseudogeisterhafte Methode
• Geisterhafte Element-Methode
• Methode von Galerkin
• Kollokationsmethode
• Bengt Fornberg (1996) ein praktisches Handbuch zu pseudogeisterhaften Methoden. Universität von Cambridge Presse, Cambridge, das Vereinigte Königreich
• Tschebyscheff und Fourier geisterhafte Methoden durch John P. Boyd.
• Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A. und Zang T.A. (2006) geisterhafte Methoden. Grundlagen in einzelnen Gebieten. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg
• Javier de Frutos, Julia Novo: Eine Geisterhafte Element-Methode für Navier - Schürt Gleichungen mit der Verbesserten Genauigkeit
• Polynomische Annäherung von Differenzialgleichungen, durch Daniele Funaro, Vortrag-Zeichen in Physik, Band 8, Springer-Verlag, Heidelberg 1992
• D. Gottlieb und S. Orzag (1977) "Numerische Analyse von geisterhaften Methoden: Theorie und Anwendungen", SIAM, Philadelphia, Pennsylvanien
• J. Hesthaven, S. Gottlieb und D. Gottlieb (2007) "Geisterhafte Methoden für zeitabhängige Probleme", Cambridge Oben, Cambridge, das Vereinigte Königreich
• Steven A. Orszag (1969) Numerische Methoden für die Simulation der Turbulenz, Phys. Flüssigkeiten Supp. II, 12, 250-257
• Lloyd N. Trefethen (2000) geisterhafte Methoden in MATLAB. SIAM, Philadelphia, Pennsylvanien