In der Rechnung, und mehr allgemein in der mathematischen Analyse ist die Integration durch Teile eine Regel, die das Integral von Produkten von Funktionen in anderen (ideal einfacher) Integrale umgestaltet. Die Regel kann in einer Linie durch die einfache Integrierung der Produktregel der Unterscheidung abgeleitet werden.

Wenn u = u (x), v = v (x), und die Differenziale du = f (x) dx und dv = v (x) dx, dann setzt die Integration durch Teile das fest

:

oder kompakter:

:

Allgemeinere Formulierungen der Integration durch Teile bestehen für den Riemann-Stieltjes integriertes und Lebesgue-Stieltjes Integral. Man kann auch eine getrennte Entsprechung für Folgen, genannt Summierung durch Teile formulieren.

Regel

Produkt von zwei Funktionen

Die Regel kann wie folgt abgeleitet werden. Nehmen Sie u (x) an, und v (x) sind zwei unaufhörlich differentiable Funktionen. Die Produktregel-Staaten (in der Notation von Lagrange):

:

Die Integrierung beider Seiten in Bezug auf x, über einen Zwischenraum ein  x  b:

:

dann den Hauptsatz der Rechnung, anwendend

:

gibt die Formel für die Integration durch Teile:

:

Da du und dv Differenziale einer Funktion einer Variable x, sind

:

Der ursprüngliche integrierte u v ′ dx enthält v ′ (Ableitung von v); um die Regel, v anzuwenden (Antiableitung von v &prime), muss und dann der resultierende integrierte v u &prime gefunden werden; dx muss bewertet werden.

Produkt von vielen Funktionen

Das Integrieren der Produktregel für Faktoren u (x), v (x), w (x), gibt ein ähnliches Ergebnis:

:

Im Allgemeinen für n Faktoren

:

der zu führt

:

wo das Produkt von allen Funktionen abgesehen von in demselben Begriff unterschiedener derjenigen ist.

Strategie

Die Integration durch Teile ist ein heuristischer aber nicht ein rein mechanischer Prozess, um Integrale zu lösen; in Anbetracht einer einzelnen Funktion, zu integrieren, ist die typische Strategie, es in ein Produkt von zwei Funktionen u (x) v (x) solch sorgfältig zu trennen, dass das Integral, das durch die Integration durch die Teil-Formel erzeugt ist, leichter ist zu bewerten als die ursprüngliche. Die folgende Form ist in der Veranschaulichung der besten Strategie nützlich zu nehmen:

:

Bemerken Sie, dass auf der rechten Seite u unterschieden wird und v integriert wird; folglich ist es nützlich, u als eine Funktion zu wählen, die, wenn unterschieden, vereinfacht, und/oder v als eine Funktion zu wählen, die, wenn integriert, vereinfacht. Als ein einfaches Beispiel, ziehen Sie in Betracht:

:

Seit der Ableitung von ln ist x 1/x, wir machen (ln x) einen Teil von u; da die Antiableitung von 1/x −1/x ist, machen wir (1/x) Teil von v. Die Formel trägt jetzt:

:

Das Bleiben integriert −1/x kann mit der Macht-Regel vollendet werden und ist 1/x.

Wechselweise können wir u und solchen v wählen, dass das Produkt u' (g dx) wegen der Annullierung vereinfacht. Nehmen Sie zum Beispiel an, dass wir integrieren möchten:

:

Wenn wir u (x) = ln (Sünde x) und v (x) = 1 / wählen (weil x), dann differenziert u zu 1/Lohe x, die das Verwenden der Kettenregel und v zur Lohe x integriert; so gibt die Formel:

:

Der integrand vereinfacht zu 1, so ist die Antiableitung x. Die Entdeckung einer Vereinfachungskombination ist oft mit Experimentieren verbunden.

In einigen Anwendungen kann es nicht notwendig sein sicherzustellen, dass das Integral, das durch die Integration durch Teile erzeugt ist, eine einfache Form hat; zum Beispiel, in der numerischen Analyse, kann es genügen, dass es kleinen Umfang hat und so nur einen kleinen Fehlerbegriff beiträgt. Einige andere spezielle Techniken werden in den Beispielen unten demonstriert.

Beispiele

Integrale mit Mächten von x oder e

Um zu rechnen:

:

Lassen Sie:

:

:

Dann:

:

\begin {richten }\aus

\int x\cos (x) \, dx & = \int u \, dv \\

& = uv - \int v \, du \\

& = x\sin (x) - \int \sin (x) \, dx \\

& = x\sin (x) + \cos (x) + C.

\end {richten }\aus

\! </Mathematik>

wo C eine willkürliche Konstante der Integration ist.

Durch das wiederholte Verwenden der Integration durch Teile, Integrale wie

:

kann auf dieselbe Mode geschätzt werden: Jede Anwendung der Regel senkt die Macht von x durch einen.

Ein ungewöhnliches Beispiel hat allgemein gepflegt, die Tätigkeit der Integration durch Teile zu untersuchen, ist

:

Hier wird die Integration durch Teile zweimal durchgeführt. Lassen Sie zuerst

:und:Dann::

Jetzt, um das integrierte Bleiben zu bewerten, verwenden wir Integration durch Teile wieder, mit:

::Dann::

Diese, zusammenstellend

:

Dieselben integrierten Shows an beiden Seiten dieser Gleichung. Das Integral kann einfach zu beiden Seiten hinzugefügt werden, um zu bekommen

::

wo, wieder, C (und C = C/2) eine willkürliche Konstante der Integration ist.

Eine ähnliche Methode wird verwendet, um das Integral der Sekante kubiert zu finden.

Austausch der Ordnung der Integration

Weil ein Beispiel der in dieser Abteilungsnotation verwendeten Notation Multiple_integration#Normal_domains_on_R2. sieht

Die obengenannte Formulierung schließt die Technik des Austausches der Ordnung der Integration ein, die auf diese Weise nicht gewöhnlich angesehen wird. Denken Sie das wiederholte Integral:

: den wir als schreiben werden

In der Ordnung, die oben geschrieben ist, wird der Streifen der Breite dx zuerst über die Y-Richtung integriert (ein Streifen der Breite dx in der x Richtung wird in Bezug auf die y Variable über die y Richtung integriert), wie gezeigt, in der linken Tafel der Zahl, die besonders ungünstig ist, wenn Funktion h (y) nicht leicht integriert wird. Das Integral kann auf eine einzelne Integration durch das Umkehren der Ordnung der Integration, wie gezeigt, in der richtigen Tafel der Zahl reduziert werden. Um diesen Austausch von Variablen zu vollbringen, wird der Streifen der Breite dy zuerst von der Linie x = y zur Grenze x = z integriert, und dann wird das Ergebnis von y = zu y = z integriert, hinauslaufend:

:

Dieses Ergebnis kann auch durch das Neuschreiben der Formel für die Integration durch Teile erhalten werden: Man fängt mit der Formel an

:

und Ersatz

:

der das Ergebnis gibt.

Mehr Beispiele

Zwei andere wohl bekannte Beispiele sind, wenn die Integration durch Teile auf eine Funktion ausgedrückt als ein Produkt 1 und es angewandt wird. Das arbeitet, wenn die Ableitung der Funktion, und das Integral dieser bekannt ist, sind abgeleitete Zeiten x auch bekannt.

Das erste Beispiel ist  ln (x) dx. Wir schreiben das als:

:Lassen Sie:::Dann:

:

\begin {richten }\aus

\int \ln (x) \, dx & = x \ln (x) - \int \frac {x} {x} \, dx \\

& = x \ln (x) - \int 1 \, dx \\

& = x \ln (x) - x + C

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo, wieder, C die Konstante der Integration ist.

Das zweite Beispiel ist  arctan (x) dx, wo arctan (x) die umgekehrte Tangente-Funktion ist. Schreiben Sie das als um

:

Lassen Sie jetzt:

::

Dann

: \begin {richten }\aus

\int \arctan (x) \, dx

& = x \arctan (x) - \int \frac {x} {1 + x^2} \, dx \\[8pt]

& = x \arctan (x) - {1 \over 2} \ln \left (1 + X^2 \right) + C

\end {richten }\aus</Mathematik>

das Verwenden einer Kombination der umgekehrten Kette herrscht über Methode und den natürlichen Logarithmus integrierte Bedingung.

Hier ist ein Beispiel:

:::

Regel von Liate

Eine von Herbert Kasube von Universität von Bradley vorgeschlagene Faustregel teilt mit, dass, welch auch immer Funktion zuerst in der folgenden Liste kommt, u sein sollte:

:L: Logarithmische Funktionen: ln x, Klotz x, usw.

:I: Umgekehrte trigonometrische Funktionen: arctan x, arcsec x, usw.

:A: Algebraische Funktionen: x, 3x, usw.

:T: Trigonometrische Funktionen: Sündigen Sie x, Lohe x usw.

:E: Exponentialfunktionen: e, 19, usw.

Die Funktion, die ist, dv zu sein, besteht darin, welch auch immer letzt in der Liste kommt: Funktionen tiefer auf der Liste haben leichtere Antiableitungen als die Funktionen über ihnen. Die Regel wird manchmal als "DETAIL" geschrieben, wo D für dv eintritt.

Um die LIATE-Regel zu demonstrieren, denken Sie den integrierten

:

Im Anschluss an die LIATE-Regel, u = x und dv =, weil x dx, folglich du = dx und v = x sündigen, der das Integral werden

lässt:

der gleichkommt

:

Im Allgemeinen versucht man, u und solchen dv zu wählen, dass du einfacher ist, als u und dv leicht sind zu integrieren. Wenn stattdessen, weil x als u und x als dv gewählt wurde, wir den integrierten haben würden

:

der, nach der rekursiven Anwendung der Integration durch die Teil-Formel, klar auf einen unendlichen recursion und Leitung nirgends hinauslaufen würde.

Obwohl eine nützliche Faustregel, es Ausnahmen zur LIATE-Regel gibt. Eine allgemeine Alternative soll die Regeln in der "ILATE"-Ordnung stattdessen denken. Außerdem in einigen Fällen müssen polynomische Begriffe auf nichttriviale Weisen gespalten werden. Zum Beispiel, um zu integrieren

:

man würde setzen

:

so dass

:Dann:

uv - \int v \, du

\frac12 x^2 e^ {x^2} - \int xe^ {x^2 }\\, dx. </math>

Schließlich läuft das auf hinaus

:

Rekursive Integration durch Teile

Die Integration durch Teile kann häufig rekursiv zum Begriff angewandt werden, um die folgende Formel zur Verfügung zu stellen

:

Hier, ist die erste Ableitung und

:

Es gibt n + 1 Integrale.

Bemerken Sie, dass sich der integrand über (uv) von der vorherigen Gleichung unterscheidet. Der dv Faktor ist als v rein für die Bequemlichkeit geschrieben worden.

Die obengenannte erwähnte Form ist günstig, weil sie durch das Unterscheiden des ersten Begriffes und die Integrierung des zweiten (mit einer Zeichen-Umkehrung jedes Mal) bewertet werden kann, mit uv aufbrechend. Es ist besonders in Fällen sehr nützlich, wenn u Null für einen k + 1 wird. Folglich kann die integrierte Einschätzung anhalten, sobald der U-Begriff erreicht worden ist.

Tabellarische Integration durch Teile

Während die oben erwähnte rekursive Definition richtig ist, ist es häufig langweilig, um sich zu erinnern und durchzuführen. Eine viel leichtere Sehdarstellung dieses Prozesses wird häufig Studenten unterrichtet und wird entweder "die tabellarische Methode synchronisiert" "der Standplatz und Liefern Methode", "schnelle wiederholte Integration" oder "die tic-tac-toe Methode". Diese Methode arbeitet am besten, wenn eine der zwei Funktionen im Produkt ein Polynom ist, d. h. nach dem Unterscheiden davon mehrere Male erhält man Null. Es kann auch erweitert werden, um für Funktionen zu arbeiten, die sich wiederholen werden.

Denken Sie zum Beispiel den integrierten

:

Lassen Sie u = x. Beginnen Sie mit dieser Funktion und Liste in einer Säule alle nachfolgenden Ableitungen, bis Null erreicht wird. Beginnen Sie zweitens mit der Funktion v (in diesem Fall weil (x)), und verzeichnen Sie jedes Integral von v, bis die Größe der Säule dasselbe als dieser von u ist. Das Ergebnis sollte wie folgt erscheinen.

Ordnen Sie jetzt einfach den 1. Zugang der Säule A mit dem 2. Zugang der Spalte B, dem 2. Zugang der Säule A mit dem 3. Zugang der Spalte B usw. paarweise an.. mit dem Wechseln von Zeichen (mit dem positiven Zeichen beginnend). Tun Sie so, bis weitere Paarung zu Summen von Nullen führt. Das Ergebnis ist das folgende (bemerken Sie die Wechselzeichen in jedem Begriff):

:

Der, mit der Vereinfachung, zum Ergebnis führt

:

Mit dem richtigen Verstehen der tabellarischen Methode kann es erweitert werden. Denken Sie

:

In diesem Fall im letzten Schritt ist es notwendig, das Produkt des zwei untersten Zellerreichens zu integrieren:

:der zu führt:

und Erträge das Ergebnis:

:

Höhere Dimensionen

Die Formel für die Integration durch Teile kann zu Funktionen von mehreren Variablen erweitert werden. Statt eines Zwischenraums muss man über einen N-Dimensional-Satz integrieren. Außerdem ersetzt man die Ableitung durch eine partielle Ableitung.

Nehmen Sie mehr spezifisch an, dass Ω eine offene begrenzte Teilmenge mit der glatten Grenze eines piecewise Γ ist. Wenn u und v zwei unaufhörlich differentiable Funktionen auf dem Verschluss von Ω sind, dann ist die Formel für die Integration durch Teile

:

wo die äußere Einheitsoberfläche ist, die dazu normal ist, ist sein i-th Bestandteil, und ich erstrecke mich von 1 bis n.

Indem

ich v in der obengenannten Formel mit v ersetze und darüber resümiere, gebe mich die Vektor-Formel

:

wo v eine Vektor-geschätzte Funktion mit Bestandteilen v..., v ist.

Das Setzen u gleich der unveränderlichen Funktion 1 in der obengenannten Formel gibt den Abschweifungslehrsatz

:

Weil, wo man bekommt

:

der die Identität des ersten Greens ist.

Die Regelmäßigkeitsvoraussetzungen des Lehrsatzes können entspannt werden. Zum Beispiel muss die Grenze Γ nur dauernder Lipschitz sein. In der ersten Formel oben, ist nur notwendig (wo H ein Raum von Sobolev ist); die anderen Formeln haben Voraussetzungen ähnlich entspannt.

Siehe auch

• Integration durch Teile für den Lebesgue-Stieltjes integrierten
• Integration durch Teile für Halbmartingale, ihren quadratischen covariation einschließend.
• Integration durch den Ersatz

Referenzen

Links

• Integration durch Teile - von MathWorld
• Methoden der Integration - Abteilung aus einem Online-Lehrbuch
• Tabellarische Integration durch Teile
• Tabellarische Integration durch Teile demonstrierter