In der Mathematik ist K-Theorie als die Studie eines Rings entstanden, der durch Vektor-Bündel über einen topologischen Raum oder Schema erzeugt ist. In der algebraischen Topologie ist es eine außergewöhnliche cohomology als topologische K-Theorie bekannte Theorie. In der Algebra und algebraischen Geometrie wird es algebraische K-Theorie genannt. Es hat auch einige Anwendungen in Maschinenbediener-Algebra. Es führt zum Aufbau von Familien von K-functors, die nützlich, aber häufig hard-compute Information enthalten.

In der Physik ist K-Theorie und in der besonderen gedrehten K-Theorie in der Schnur-Theorie des Typs II erschienen, wo es vermutet worden ist, dass sie D-branes, Ramond-Ramond Feldkräfte und auch bestimmten spinors auf verallgemeinerten komplizierten Sammelleitungen klassifizieren. Für Details, sieh auch K-Theorie (Physik).

Frühe Geschichte

sagen kann, beginnt das Thema mit Alexander Grothendieck (1957), wer es verwendet hat, um seinen Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatz zu formulieren. Es nimmt seinen Namen vom deutschen "Klasse", "Klasse" bedeutend. Grothendieck musste mit zusammenhängenden Bündeln an einer algebraischen Vielfalt X arbeiten. Anstatt direkt mit den Bündeln zu arbeiten, hat er ein Gruppenverwenden (Isomorphismus-Klassen) Bündel als Generatoren, Thema einer Beziehung definiert, die jede Erweiterung von zwei Bündeln mit ihrer Summe identifiziert. Die resultierende Gruppe wird K (X) genannt, wenn nur lokal freie Bündel, oder G (X) wenn alle zusammenhängenden Bündel verwendet werden. Jeder dieser zwei Aufbauten wird die Gruppe von Grothendieck genannt; K (X) hat cohomological Verhalten, und G (X) hat homological Verhalten.

Wenn X eine glatte Vielfalt ist, sind die zwei Gruppen dasselbe. Wenn es eine glatte affine Vielfalt ist, dann alle Erweiterungen des lokal freien Bündel-Spalts, so hat Gruppe eine alternative Definition.

In der Topologie, indem sie denselben Aufbau angewandt haben, um Bündel zu leiten, haben Michael Atiyah und Friedrich Hirzebruch K (X) für einen topologischen Raum X 1959 und das Verwenden des Periodizitätslehrsatzes von Bott definiert sie haben es die Basis einer außergewöhnlichen cohomology Theorie gemacht. Es hat eine Hauptrolle im zweiten Beweis des Index-Lehrsatzes (um 1962) gespielt. Außerdem hat diese Annäherung zu einer NichtersatzK-Theorie für C*-algebras geführt.

Bereits 1955 hatte Jean-Pierre Serre die Analogie von Vektor-Bündeln mit projektiven Modulen verwendet, um die Vermutung von Serre zu formulieren, die feststellt, dass jedes begrenzt erzeugte projektive Modul über einen polynomischen Ring frei ist; diese Behauptung ist richtig, aber wurde bis 20 Jahre später nicht gesetzt. (Der Lehrsatz des Schwans ist ein anderer Aspekt dieser Analogie.) 1959 hat Serre den Gruppenaufbau von Grothendieck für Ringe gebildet, und hat ihn verwendet, um eine schwache Form der Vermutung zu beweisen. Diese Anwendung war einer der Anfänge der algebraischen K-Theorie.

Entwicklungen

Der andere historische Ursprung der algebraischen K-Theorie war die Arbeit von Whitehead und anderen darauf, was später bekannt als Verdrehung von Whitehead geworden ist.

Dort ist einer Periode gefolgt, in der es verschiedene teilweise Definitionen der höheren K-Theorie functors gab. Schließlich wurden zwei nützliche und gleichwertige Definitionen von Daniel Quillen gegeben, der homotopy Theorie 1969 und 1972 verwendet. Eine Variante wurde auch von Friedhelm Waldhausen gegeben, um die algebraische K-Theorie von Räumen zu studieren, die mit der Studie von pseudo-isotopies verbunden ist. Viel moderne Forschung über die höhere K-Theorie ist mit der algebraischen Geometrie und der Studie von motivic cohomology verbunden.

Die entsprechenden Aufbauten, die mit einer quadratischen Hilfsform verbunden sind, haben den allgemeinen Namen L-Theorie erhalten. Es ist ein Hauptwerkzeug der Chirurgie-Theorie.

In der Schnur-Theorie wurden die K-Theorie-Klassifikation von Ramond-Ramond Feldkräften und die Anklagen von stabilem D-branes zuerst 1997 vorgeschlagen.

Siehe auch

• Algebraische K-Theorie
• Topologische K-Theorie
• Liste von cohomology Theorien
• K-Theorie (Physik)
• Maschinenbediener-K-Theorie
• KK-Theorie
• L-Theorie
• Periodizität von Bott

Referenzen

• Max Karoubi, K-Theorie, eine Einführung (1978) Springer-Verlag
• Allen Hatcher, Vector Bundles & K-Theory, (2003)

Links

• Die Seite von Max Karoubi
• K Theorie-Vorabdruck-Archiv